2025版高考热点题型与考点专练数学热点9导数与不等式综合问题试题（Word版附答案）

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【典例1】(2024·湖北二模)设函数f(x)=4ln x-ax2+(4-2a)x,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)若函数f(x)存在极值,对任意的02x2+x1,即只需证明ln t>2(t-1)t+1(t>1),从而构造函数即可得证;(ⅱ)同构作差法并结合(ⅰ)中结论即可得解.
【解析】(1)f'(x)=4x-2ax+4-2a=-1x(2ax-4)(x+1),x>0,
若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
若a>0,由f'(x)=0得x=2a,
当x∈(0,2a)时,f'(x)>0;
当x∈(2a,+∞)时,f'(x)0,
f(x2)-f(x1)=4(ln x2-ln x1)-a(x22-x12)+(4-2a)(x2-x1)=4(ln x2-ln x1)-a(x2+x1)(x2-x1)+
(4-2a)(x2-x1),
由题设得f'(x0)=f(x2)-f(x1)x2-x1=4(ln x2-ln x1)x2-x1-a(x2+x1)+4-2a,
因为02x2+x1,
即证明ln t>2(t-1)t+1(t>1),
设g(t)=ln t-2(t-1)t+1(t>1),
则g'(t)=1t-2(t+1)-2(t-1)(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0,
所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,g(t)>g(1)=0,
所以ln t>2(t-1)t+1,即ln x2-ln x1x2-x1>2x2+x1得证,
(ⅱ)f'(x1+x22)=8x1+x2-a(x2+x1)+4-2a,f'(x0)-f'(x1+x22)=4(ln x2-ln x1)x2-x1-8x1+x2=4(ln x2-ln x1x2-x1-2x1+x2)>0,
所以f'(x0)>f'(x1+x22),
因为f'(x)=4x-2ax+(4-a)在(0,+∞)上是减函数,
所以x1+x22>x0.
【题后反思】
利用导数证明不等式问题的方法
(1)通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性与极值(最值),从而得出不等关系;
(2)利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题,从而判定不等关系;
(3)适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论,从而判定不等关系;
(4)构造“形似”函数,变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
【典例2】(2024·天津高考)设函数f(x)=xln x.
(1)求f(x)图象上点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)≥a(x-x)在x∈(0,+∞)时恒成立,求a的取值范围;
(3)若x1,x2∈(0,1),证明|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|12.
【审题思维】
(1)先对函数求导,结合导数的几何意义可知切线斜率,进而可求切线方程;
(2)设g(t)=a(t-1)-2ln t,命题等价于对任意t∈(0,+∞),都有g(t)≥0,利用特殊值赋值法,即可求解;
(3)结合重要不等式t-1≥ln t可先证明对0f(1-(1-x1))=f(x1)=0=f(x2),且2-x1和x2都大于1,
故由f(x)在(1,+∞)上的单调性知2-x12.
2.★★★☆☆(2024·威海二模)已知函数f(x)=ln x-ax+1.
(1)求f(x)的极值;
(2)证明:ln x+x+1≤xex.
【解析】(1)由题意得f(x)=ln x-ax+1的定义域为(0,+∞),则f'(x)=1x-a=1-axx,当a≤0时,f'(x)>0,
f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
当a>0时,令f'(x)1a,令f'(x)>0,则00(x>0),即h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(12)=32e12-30,
故∃x0∈(12,e),使得h(x0)=0,
当x∈(0,x0)时,h(x)0,g(x)在(x0,+∞)上单调递增,
故g(x)min=g(x0)=x0ex0-ln 1ex0-x0-1=0,
即g(x)≥0,即xex≥ln x+x+1,则ln x+x+1≤xex.
3.★★★★☆(2024·菏泽模拟)已知函数f(x)=txln x-x2+1(0b>0,证明:lna2+b2a2-b20可得0