2025版高考热点题型与考点专练数学热点8三角函数的图象与性质试题（Word版附答案）

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【考向一】三角函数图象变换
【典例1】(2023·全国甲卷)已知f(x)为函数y=cs(2x+π6)向左平移π6个单位所得函数①,则y=f(x)与y=12x-12的交点个数②为(C)
A.1B.2C.3D.4
【审题思维】
①y=-sin 2x→在同一坐标系内作出两个函数的图象②
【题后反思】
由y=sin x变换得到y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的方法
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
【提醒】
1.平移变换容易忽视x的系数;
2.先伸缩再平移,特别要注意平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.
【典例2】(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin (ωx+π3) (ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C①,若C关于y轴对称②,则ω的最小值是(C)
A.16B.14C.13D.12
【审题思维】
【题后反思】
1.求三角函数对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求y=Asin (ωx+φ)图象的对称轴方程,只需令ωx+φ=kπ+π2(k∈Z);求对称中心横坐标只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.
(2)求y=Acs(ωx+φ)图象的对称轴方程,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z);求对称中心横坐标只需令ωx+φ=kπ+π2(k∈Z),求x.
(3)求y=Atan(ωx+φ)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ2(k∈Z),求x.
2.三角函数奇偶性的判断及应用
三角函数奇偶性的判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质y=
Asin (ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z),若y=Asin (ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ+π2(k∈Z).
【考向二】三角函数的图象与性质
【典例1】(多选题)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-π4),下列正确的有(BC)
A.f(x)与g(x)有相同零点
B.f(x)与g(x)有相同最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【审题思维】
A选项,方法一:分别求出两个函数的零点,对照比较即可;方法二:特值验证.
BCD选项,分别求出两个函数的最大值、最小正周期及其对称轴方程,然后逐项判断即可.
【题后反思】
1.关于三角函数周期的几个重要结论
(1)函数y=Asin (ωx+φ),y=Acs(ωx+φ)的周期均为2π|ω|;y=Atan(ωx+φ)的周期为π|ω|;
(2)函数y=|Asin (ωx+φ)|,y=|Acs(ωx+φ)|,y=|Atan(ωx+φ)|的周期均为π|ω|.
2.求三角函数y=Asin (ωx+φ)(ω>0)的单调区间的方法
(1)函数的单调递增区间由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈Z)决定;
(2)函数的单调递减区间由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2(k∈Z)决定.
3.求三角函数值域(最值)的方法
(1)有界性:利用sin x,cs x的有界性;
(2)用性质:形式复杂的函数应化为y=Asin (ωx+φ)+b的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数值域;
(3)换元法:把sin x或cs x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
【提醒】
(1)求最小正周期时,带绝对值的函数容易用错公式;
(2)求y=Asin (ωx+φ)的单调区间时,要遵循复合函数“同增异减”的原则,最好把x的系数化为正值,然后利用整体代换,求出相应的变量x的范围,否则容易产生错解.
【典例2】 (2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin (ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线f(x)的两个交点,若|AB|=π6①,则f(π)= -32 .
【审题思维】
【题后反思】
确定函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,b=M+m2;
(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=2πT;
(3)求φ:常用的方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法:确定φ值时,往往寻找“五点”中的一个点解出φ值.“五点”的ωx+φ的值具体如下:
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=π2;
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=3π2;
“第五点”为ωx+φ=2π.
【提醒】一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个,如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减2πω的整数倍达到目的.
(★表示难度系数,全书同)
【真题再现】
1.★★☆☆☆(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时, 曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为(C)
A.3B.4C. 6D. 8
2.★★☆☆☆(2024·北京高考)已知f(x)=sin ωx,f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=π2,则ω=(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.★★★☆☆(2024·天津高考)已知函数f(x)=sin 3(ωx+π3) (ω>0)的最小正周期为π.则函数在[-π12,π6]的最小值是(A)
A.-32 B.-32 C.0 D.32
4.★☆☆☆☆(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-3cs x在[0,π]上的最大值是 2 .
5.★★★☆☆(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cs ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 [2,3) .
【模拟精选】
1.★★☆☆☆(2024·青岛三模)为了得到y=sin 2x+cs 2x的图象,只要把y=2cs 2x的图象上所有的点(A)
A.向右平移π8个单位长度B.向左平移π8个单位长度
C.向右平移π4个单位长度D.向左平移π4个单位长度
2.★★☆☆☆(2024·成都三模)将函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移π6个单位后,与函数g(x)=cs(ωx+φ)的图象重合,则ω的最小值为(C)
A.9B.6C.3D.2
3.★★★☆☆(2024·绍兴三模)已知函数f(x)=sin (x+φ) (-π2