2025版高考热点题型与考点专练数学热点8导数与函数的零点、恒成立与有解问题试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学热点8导数与函数的零点、恒成立与有解问题试题（Word版附答案），共10页。
【典例1】(2024·北京高考)已知f(x)=x+kln(1+x)(k≠0),在(t,f(t))(t>0)处切线为l.
(1)当k=-1时,求f(x)的单调区间;
(2)证明:切线l不经过(0,0);
(3)已知k=1,A(t,f(t)),C(0,f(t)),O(0,0),其中t>0,切线l与y轴交于点B时.当2S△ACO=15S△ABO时,符合条件的A有几个?
(参考数据:1.090),代入(0,0),-f(t)=-t(1+k1+t),f(t)=t(1+k1+t),
t+kln (1+t)=t+tk1+t,
则ln (1+t)=t1+t,ln (1+t)-t1+t=0,
令F(t)=ln (1+t)-t1+t,
若l过(0,0),则F(t)在t∈(0,+∞)上存在零点.
F'(t)=11+t-1+t-t(1+t)2=t(1+t)2>0,
故F(t)在(0,+∞)上单调递增,F(t)>F(0)=0,
不满足假设,故l不过(0,0).
(3)k=1,f(x)=x+ln (1+x),f'(x)=1+11+x=x+21+x>0,
S△ACO=12tf(t),设l与y轴交点B为(0,q),t>0时,若q0,则切线l的方程为y-t-ln(t+1)=(1+11+t)(x-t),
令x=0,则y=q=y=ln (1+t)-tt+1,
因为2S△ACO=15S△ABO,则2tf(t)=15t[ln(1+t)-tt+1],
所以13ln(1+t)-2t-15×t1+t=0,记h(t)=13ln (1+t)-2t-15t1+t(t>0),
所以满足条件的A有几个即h(t)有几个零点.
h'(t)=131+t-2-15(t+1)2=13t+13-2(t2+2t+1)-15(t+1)2=-2t2+9t-4(t+1)2=(-2t+1)(t-4)(t+1)2,
t∈(0,12)时,h'(t)0;x>1a,f'(x)0,当2a0时,令g'(x)=0,可得x=1a>0或x=2,
①当1a=2,即a=12时,
对任意的x>0,g'(x)>0,g(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当00,h(x)单调递增,
且h(53π)=259π2+1033π+2>0,
所以h(x)在(0,53π)上有唯一零点;
②当x≥53π时,由于sin x∈-1,1,cs x∈-1,1,
h(x)=x2-4xsin x-4cs x+4≥x2-4x-4+4=x2-4x=t(x),
而t(x)在5π3,+∞上单调递增,t(x)≥t(53π)>0,
所以h(x)>0恒成立,故h(x)在5π3,+∞无零点,
所以h(x)在(0,+∞)上有一个零点,
由于h(x)是偶函数,所以h(x)在(-∞,0)上有一个零点,而h(0)=0,
综上,h(x)在R上有且仅有三个零点.年份
2022
2023
2024
角度
题号
角度
题号
角度
题号
新高考Ⅰ卷
—
—
—
—
导数中的恒成立问题
18
新高考Ⅱ卷
—
—
—
—
—
—
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增区间
极大值18
减区间
极小值-14
增区间
x
13
(13,1)
1
(1,3)
3
g'(x)
-
0
+
g(x)
559
减区间
极小值3
增区间
293