2025版高考热点题型与考点专练数学热点9三角恒等变换与解三角形试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学热点9三角恒等变换与解三角形试题（Word版附答案），共7页。
【考向一】简单的三角恒等变换
【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)已知cs(α+β)=m①,tan αtan β=2②,则cs(α-β)③=(A)
A.-3mB.-m3C.m3D.3m
【审题思维】
【题后反思】
三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”:一般给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数,有时,虽不能转化为特殊角,但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消等达到化简求值的目的.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:将其转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.
【典例2】(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α-β)=13,cs αsin β=16①,则cs(2α+2β)②=(B)
A.79B.19C.-19D.-79
【审题思维】
【题后反思】
1.恒等变换常用结论
(1)sin 2α=1-cs2α2,cs2α=1+cs2α2.
(2)1+cs 2α=2cs2α,1-cs 2α=2sin 2α.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.恒等变换中的“三变”
(1)变角:对角的拆分要尽可能化成同角、特殊角;
(2)变名:尽可能减少函数名称;
(3)变式:对式子的变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.
3.常见的“变角”技巧
(1)单角变为和(差)角,如α=(α-β)+β,β=α+β2-α-β2等;
(2)倍角变为和(差)角,如2α=(α+β)+(α-β)等.
【提醒】(1)根据某一三角函数值求角时应注意角的范围;
(2)已知θ的某个三角函数值,求θ2的相应三角函数值时,常借助于半角公式sin2θ2=1-csθ2,cs2θ2=1+csθ2,tan θ2=sinθ1+csθ=1-csθsinθ来处理,由于上述式子中可能涉及解的不定性,故在求解时应注意θ2的范围.
【考向二】解三角形
【典例1】(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=π3,b2=94ac,则sin A+sin C=(C)
A.32B.2C.72D.32
【审题思维】
由正弦定理将b2=94ac转化为sin Asin C=49sin 2B=13→由余弦定理得b2=a2+c2-
2ac·cs B→a2+c2=134ac→由正弦定理转化为sin 2A+sin 2C=134sin Asin C=1312→
(sin A+sin C)2=sin 2A+sin 2C+2sin Asin C→最后开平方求得结果.
【题后反思】
1.利用余弦定理的变形判定角
在△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角;
c2>a2+b2⇔C为钝角;
c2c,a+c>b,b+c>a(两边之和大于第三边);
(2)大边对大角;
(3)在△ABC中,A+B+C=π,sin (A+B)=sin C,cs(A+B)=-cs C,tan(A+B)=-tan C.
3.解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A,B与一边a,由A+B+C=π及asinA=bsinB=csinC,可先求出角C及b,再求出c.
(2)已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccs A,先求出a,再求出角B,C.
(3)已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.
(4)已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理asinA=bsinB可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由asinA=csinC可求出c,而通过asinA=bsinB求角B时,可能有一解或两解或无解的情况.
【提醒】(1)边角互化易出错,如等式asin A-bsin B=csin C,有时将左边化为角,而未兼顾到右边.
(2)角的范围判断是难点,有时不能根据条件求出角的范围而致错.
【典例2】(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,
AD=2,CD=2BD①.当ACAB取得最小值②时,BD= 3-1 .
【审题思维】
【题后反思】
1.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
2.解三角形中的最值或范围问题的五种解题技巧
(1)利用基本不等式求范围或最值;
(2)利用三角函数求范围或最值;
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值;
(4)根据三角形解的个数求范围或最值;
(5)利用二次函数求范围或最值.
先建立所求量(式子)与已知角或边的关系,然后把角或边作为自变量,所求量(式子)的值作为函数值,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制以及三角形自身的范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范围过大.
【真题再现】
1.★☆☆☆☆(2024·全国甲卷)已知csαcsα-sinα=3,则tan(α+π4)=(B)
A.23+1B.23-1C.32D.1-3
2.★☆☆☆☆(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cs α=1+54,则sin α2=(D)
A.3-58B.-1+58C.3-54D.-1+54
3.★☆☆☆☆(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cs(α+β)=22csα+π4sin β,则(C)
A.tan(α-β)=1B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1D.tan(α+β)=-1
4.★★☆☆☆(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+
tan β=4,tan αtan β=2+1,则sin(α+β)= -223 .
【模拟精选】
1.★☆☆☆☆(2024·扬州模拟)已知tan α=3,则sin 2α+sin 2α=(B)
A.-32B.32C.14D.-14
2.★★☆☆☆(2024·泉州模拟)已知sin (α-β)=2cs(α+β),tan(α-β)=12,则tan α-tan β
=(C)
A.35B.53C.45D.65
3.★★☆☆☆(2024·九江三模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2c-a=2bcs A,则B=(B)
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
4.★★☆☆☆(2024·贵州模拟)如图,甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路,是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝,后楼毁重建,改名“来凤阁”,清代甲秀楼多次重修,并恢复原名,现存建筑是宣统元年(1909年)重建.甲秀楼上下三层,白石为栏,层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度,选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,
CD=11.2 m,在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°,则甲秀楼的高度约为(参考数据:tan 72.4°≈3.15,sin 53°≈0.8)(C)
A.20 mB.21 mC.22 mD.23 m
5.★★★☆☆(2024·太原三模)若sin 2α=33,sin (β-α)=66,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则cs(α+β)=(D)
A.5+26B.306C.63D.25-26
6.★★★☆☆(2024·西安模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c(sin A
-sin C)=(a-b)(sin A+sin B),若△ABC的面积为34,周长为3b,则AC边上的高为(B)
A.33B.32C.3D.23
7.★★★☆☆(一题多解)(2024·重庆三模)已知函数f(x)满足f(tan x)=1sin2x.若x1,x2是方程2 024x2+x-2 024=0的两根,则f(x1)+f(x2)= 0 .
【创新演练】
1.★★☆☆☆(2024·绵阳模拟)已知tan(α+β),tan(α-β)是函数f(x)=x2-6x+4的零点,则cs(3π2+2α)4sin 2β-2=(B)
A.-25B.-35C.-710D.-45
2.★★★☆☆(2024·昆明一模)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态:地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆,三个星体的位置如图所示.地球在E0位置时,测出∠SE0M=2π3;行星M绕太阳运动一周回到原来位置,地球运动到了E1位置,测出∠SE1M=3π4,∠E1SE0=π3.若地球的轨道半径为R,则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据:3≈1.73)(A)
年份
2022
2023
2024
角度
题号
角度
题号
角度
题号
新高考Ⅰ卷
—
—
简单的三角恒等变换
8
简单的三角恒等变换
4
新高考Ⅱ卷
简单的三角恒等变换
6
简单的三角恒等变换
7
简单的三角恒等变换
13
①
根据两角和的余弦公式将①式展开
②
将②式进行切化弦,结合①的展开式分别求得cs αcs β=-m,sin αsin β=-2m
③
利用两角差的余弦公式将③式展开,进而得解
①
根据给定条件,利用和角、差角的正弦公式求出sin (α+β)
②
利用二倍角的余弦公式计算即可
①
分别在两个不同的三角形中利用余弦定理求相应边长
②
将AC2AB2表示成关于m的代数式,运用基本不等式求最值
项目
A为锐角
A为钝角
或直角
图形
关系式
a=bsin A
bsin A