2025版高考热点题型与考点专练数学热点11空间几何体试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学热点11空间几何体试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了空间几何体的结构特征，空间几何体的表面积与体积等内容，欢迎下载使用。
考向一 空间几何体的结构特征
【典例1】(2024·北京高考)已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱长分别为4,4,22,22,则该四棱锥的高为(D)
A.22 B.32 C.23 D.3
【审题思维】
【题后反思】
1.正棱锥中直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于E,则PE为斜高.
(1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形,如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形,如图中Rt△POC.
2.正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面的中心,作O1E1⊥B1C1于E1,OE⊥BC于E,则E1E为斜高,
(1)斜高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形,如图中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形O1OCC1.
【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2①,其侧面展开图为一个半圆②,则该圆锥的母线长为(B)
A.2B.22C.4D.42
【审题思维】
【题后反思】
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2.与圆锥有关的截面问题的解决策略
求解有关圆锥的基本量的问题时,一般先画出圆锥的轴截面,得到一个等腰三角形,进而可得到直角三角形,将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时,都是通过取其轴截面,化归求解.巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决.
考向二 空间几何体的表面积与体积
【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为(B)
A.23πB.33πC.63πD.93π
【审题思维】
设出底面半径r,进而可得母线长,然后根据侧面积相等,求出半径r的大小,最后由体积公式求得圆锥的体积.
【题后反思】
柱、锥、台、球体的表面积和体积
【典例2】(1)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(7≈2.65)(C)
A.1.0×109 m3B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3D.1.6×109 m3
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,则该棱台的体积为 766 .
【审题思维】
首先求出棱台的上、下底面面积及台体的高,然后利用台体的体积公式计算即可.
【题后反思】
求空间几何体体积的常见类型及思路
(1)规则几何体:若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解.其中,求三棱锥的体积常用等体积转换法;
(2)不规则几何体:若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.
基本策略:
①“转”:转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高,即等体积法.
②“拆”:将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算,即分割法.
③“拼”:将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法,即补形法.
【真题再现】
1.★★★☆☆(2024·天津高考)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1.并已知AD=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为(C)
A.36B.334+12C.32D.334-12
2.★★★☆☆(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于934,则该圆锥的体积为(B)
A.πB. 6πC. 3πD. 36π
3.★★★☆☆(一题多解)(2023·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为(C)
A.22B.32C.42D.52
4.★★★☆☆(一题多解)(2022·天津高考)如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为120°,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为(D)
A.23B.24C.26D.27
5.★★☆☆☆(2024·全国甲卷)已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r2和r1,母线长分别为2(r1-r2)和3(r1-r2),则两个圆台的体积之比V甲V乙= 64 .
6.★★☆☆☆(一题多解)(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 28 .
【模拟精选】
1.★☆☆☆☆(2024·重庆三模)若圆锥的母线长为2,且母线与底面所成角为π4,则该圆锥的侧面积为(C)
A.2πB.2πC.22πD.4π
2.★★☆☆☆(2024·西安模拟)如图所示,在六面体ABEDC中,CB=CD=2CA=2,AB=DE=BE=AD=5,BD=AE=22,则CE=(B)
A.1B.3C.23D.4
3.★★☆☆☆(2024·安康模拟)已知正三棱台ABC-A1B1C1的上底面积为3,下底面积为43,高为2,则该三棱台的表面积为(A)
A.53+339B.339
C.53+18D.18
4.★★☆☆☆(2024·潍坊模拟)在正四棱锥P-ABCD中,AB=22,若正四棱锥P-ABCD的体积是8,则该四棱锥的侧面积是(C)
A.22B.222
C.422D.822
5.★★☆☆☆(2024·临汾三模)宋代是中国瓷器的黄金时代,涌现出了五大名窑:汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑.其中汝窑被认为是五大名窑之首.如图1,这是汝窑双耳罐,该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成,其直观图如图2所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米,中间圆的直径是20厘米,上底面圆的直径是8厘米,高是14厘米,且上、下两圆台的高之比是3∶4,则该汝窑双耳罐的体积是(D)
A.1 784π3立方厘米B.1 884π3立方厘米
C.2 304π3立方厘米D.2 504π3立方厘米
6.★★☆☆☆(2024·郑州模拟)已知圆台Ω的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=2r1,若半径为3的球与Ω的上、下底面及侧面均相切,则Ω的体积为(A)
A.73πB.83π
C.26π3D.28π3
7.★★★☆☆(2024·菏泽二模)已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,挖去一个以上、下底面各边中点为顶点的四棱柱,再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱,则原正方体剩下部分的体积为 83 .
【创新演练】
1.★★★★☆(2024·菏泽模拟)将一个圆柱整体放入棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,圆柱的轴线与正方体体对角线A1C重合,则圆柱的底面圆的半径的取值范围为(C)
A. (0,33)B. (0,233)
C. (0,64)D. (0,62)
2.★★★★☆(2024·济南二模)将一个圆形纸片裁成两个扇形,再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面,甲、乙两个圆锥的侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲V乙= 10 .
年份
2022
2023
2024
角度
题号
角度
题号
角度
题号
新高考Ⅰ卷
空间几何体的表面积与体积
4
空间几何体的表面积与体积
14
空间几何体的表面积与体积
5
新高考Ⅱ卷
空间几何体的表面积与体积
11
空间几何体的表面积与体积
14
—
—
第一步
由于四条侧棱长分别为4,4,22,22,所以应分相邻的棱长相等或相对的棱长相等两类分类讨论求解
第二步
通过构造面面垂直,利用面面垂直的性质作出锥体的高进而求解
①
圆锥的底面周长为2π·2
②
侧面展开图为扇形,其圆心角为π
项目
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧=2πrl
S圆锥侧=πrl
S圆台侧
=π(r1+r2)l
几何体名称
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=S底h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
V=13S底h
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=13(S上+S下+S上S下)h
球
S=4πR2
V=43πR3