广东省佛山市第一中学2024−2025学年高一下学期第一次教学质量检测数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市第一中学2024−2025学年高一下学期第一次教学质量检测数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．设均为单位向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（ ）
A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．14分钟
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．在锐角中，若，则的最小值为( )
A．4B．6C．8D．10
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中正确的有（ ）
A．平行向量就是共线向量
B．方向相反的向量就是相反向量
C．与同向，且，则
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．为函数的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数的最小值是
11．已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期是
B．若， 则
C．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个
D．若，则的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则 ．
13．如图，A，B和C，D分别为函数（，）图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD的面积为，直线AD过点，则 ．
14．定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 ， .
四、解答题（本大题共5小题）
15．函数的一个对称中心是．
(1)求并用“五点法”画出函数在上的简图.
(2)求函数的单调递减区间、对称轴；
16．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
(1)求实数的值；
(2)若，，求的坐标；
(3)已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
17．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为.
(1)请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式；
(2)2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗?
18．（1）证明：；
（2）设；
①求的最小正周期；
②，恒成立，求a的取值范围.
19．已知函数
(1)若函数图象的两相邻对称轴相距，
①求的解析式；
②求函数在上的最值.
(2)若函数在上恰有9个零点，求的整数值，并求出这9个零点之和.
参考答案
1．【答案】B
【详解】，
故选B
2．【答案】B
【详解】由于，,,由于点E是CD的中点，
所以，，，故，
故选B.
3．【答案】B
【分析】对两边平方可得答案.
【详解】
.
故选B.
4．【答案】C
【详解】解：因为平面向量，的夹角为，且，，
所以在方向上的投影向量为 ，
故选C
5．【答案】C
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选C.
6．【答案】B
【解析】由题可得此人相对于地面的高度与时间的关系是，再令求出的范围即可得出.
【详解】设时间为时，此人相对于地面的高度为，
则由题可得当时，，
在时间时，此人转过的角为，
此时此人相对于地面的高度，
令，则，
所以，解得，
故在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是.
故选B.
7．【答案】A
【详解】依题意，，
则，所以.
故选A
8．【答案】C
【详解】由，得，
两边同时除以，得.
令，
∵是锐角三角形，
∴，∴.
又在三角形中有：
，
故当时，取得最小值
故选C.
9．【答案】AD
【详解】对于A选项，平行向量就是共线向量，A对；
对于B选项，相反向量就是方向相反且长度相等的向量，B错；
对于C选项，任何两个向量都不能比较大小，C错；
对于D选项，“两个向量平行”推不出 “这两个向量相等”，
另一方面，“两个向量相等”推的出“这两个向量平行”，
所以，两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D对.
故选AD．
10．【答案】ABD
【详解】根据二倍角公式可得，.
则.
所以的周期，选项A正确；
令（），解得（）.
当时，，此时，
所以为函数的一个对称中心，选项B正确；
，则，则，
则函数在上单调递减，选项C错误；
因为正弦函数的值域为，所以的最小值为，
则的最小值为，选项D正确.
故选ABD.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以，
所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误；
对于B，因为，所以的图像关于点对称，
所以，故B正确；
对于C，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以，因为，所以，
又，所以，所以，
即满足条件的有且仅有1个，故C正确；
对于D，由题意可知为单调递减区间的子集，
所以，其中，解得，，
当时，，当时，，
故的取值范围是，故D正确.
故选BCD
12．【答案】
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，解得.
13．【答案】/
【详解】因为四边形ABCD的面积为，且（T为的最小正周期），
，梯形ABCD的高为2，所以，解得，
即．
又直线AD过点，由图象对称性可得的图象过点，
即，即．
又，所以，故．
故．
14．【答案】 2 4
【解析】根据函数为偶函数且，所以的周期为，的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为，从而可得参数的值，最后求出函数的解析式，代入求值即可.
【详解】解：因为为偶函数且，所以的周期为.因为时，，所以可作出在区间上的图象，而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，结合函数和函数在区间上的简图，可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为，所以，故.
因为，
所以.故.
15．【答案】(1)，作图见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意得，，故，
∴，
∵，∴，故，
五点法作图如下：
在上的简图如下：
（2）由，得，
∴函数单调递减区间为.
由得，
∴函数的对称轴为直线.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）．
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得；
（2）．
（3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以．
设，则．
因为，所以，解得，
即点A的坐标为．
17．【答案】(1)，
(2)不开空调
【详解】（1）因为，
所以，
所以，代入点
可得，所以，
所以， ；
（2）当.
所以不开空调.
18．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②．
【详解】（1），，
两式相减得，
所以.
（2）①依题意，
，
所以的最小正周期为.
②由①得，
依题意，，令，则，
于是，恒成立，
而当时，，当且仅当，即时取等号，
因此．则，所以的取值范围是．
19．【答案】(1)①；②最小值；最大值1；
(2)，
【详解】（1）①由题意得，，
设函数的最小正周期为，
∵函数图象的相邻两对称轴间的距离为，∴，可得．
∴.
②∵，∴，
当，即时，函数有最小值为，
当，即时，函数有最大值为，
∴函数在上的最小值为，最大值为.
（2）设，由得，，
由得，，
问题转化为方程在上恰有9个根，
∴，解得，
∵为整数，∴，故，
由，得，，，
∴，
设函数在上的9个零点分别为，
由得，，即，
∴，
综上得，， 这9个零点之和为.
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