广东省佛山市第一中学2022-2023学年高二数学下学期第一次教学质量检测试题（Word版附解析）

佛山一中2022~2023学年下学期高二级第一次教学质量检测试题

数　学

                                      2023年3月

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

第一部分选择题（共60分）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在等差数列中，已知，则数列的前项之和为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 用数学归纳法证明时，从“”到“”，左边需增添的代数式是（     ）

A．   B．  C．  D．

3. 等比数列的前项和，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知等差数列和的前项和分别为，，且，则的值为(     )

A.               B.            C.          D.
5. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数(    )

A.           B.               C.           D.
6. 如右图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，
AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（   ）
A．    B．  C．   D．

7. 已知，分别为椭圆的左右焦点，为上一动点，为的左顶点，若，则的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则

A.599 B.  C.554 D.568
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 以下四个命题表述正确的是(    )

A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引切线，为切点，则的最小值为4

10.  已知数列满足，，则(    )

A.
B. 当为偶数时，
C.
D. 数列的前项和为

11.  已知正方体 的 棱长为，点为侧面内一点，则(    )

A. 当时，四面体的体积为定值

B. 当时，异面直线与所成角的正切值为
C. 当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为抛物线的一部分
D. 当时，四面体的外接球的表面积为

12. 如图，是边长为的等边三角形，点、、依次将、、分成的两部分，得到，依循相同的规律、、依次将、、分成的两部分，得到，不断重复这个步骤，得到三角形，，，若的面积记为，的面积记为，现给出下列四个结论，其中正确的有：
A. 数列是公比为的等比数列
B. 数列为常数列
C. 数列的前项
D. 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，
则该蚂蚁所爬行的总距离小于．
                        第二部分非选择题（90分）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.记为等比数列的前项和若，，则           ．

14. 已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的最大值为         .
15.已知数列的通项公式为， 则=         ．

16. 图为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若是该抛物线上一点，则点到直线和直线的距离之和的最小值是          ，若以为直径的圆与轴的公共点坐标为，则点的横坐标为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列为等比数列，公比大于，且，．
求的通项公式；

若，求数列的前项和．

18.  本小题分

已知圆经过原点且与直线相切，圆心在直线上

求圆的方程；

已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程．

19. 本小题分
如图，在四棱锥中，已知底面ABCD是正方形，底面ABCD，且是棱PB上动点.

证明：.
线段PB上是否存在点E，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

20. 本小题分 已知各项为正数的数列的前项和为，且.

Ⅰ设，求数列的前项和为；

Ⅱ设为非零整数，，是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。

21.  本小题分
某企业年的纯利润为万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不进行技术改造，预测从年开始，此后每年比上一年纯利润减少万元如果进行技术改造，年初该企业需一次性投入资金万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计年的利润为万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多万元．

设从年起的第年以年为第一年，该企业不进行技术改造的年纯利润为万元进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和

设从年起的第年以年为第一年，该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，求和

依上述预测，从年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润

22.  本小题分
已知，，点满足，记点的轨迹为，

求轨迹的方程；

若直线过点，且与轨迹交于、两点．在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．

佛山一中2022~2023学年度下学期高二级第一次段考数学答案

13.7        14.110         15.             16.  

17.【答案】解：设等比数列公比为，由，，
得，解得：      ………………………………………………4分
，．        ………………………………………………………………………5分

由可得， ………………………………………………………6分

所以数列的前项和，
， …………………………………………7分
则

     …………………………………………………………8分

    ……………………………………………………………………………9分

  ……………………………………………………………………………10分

18.解：因为圆心在直线上，可设圆心为，    …………………………1分

则点到直线的距离，， …………………………3分

由题意，，则，  …………………………………………………4分
解得，  …………………………………………………………………………………………5分

则所求圆的方程是；   ……………………………………………………6分

当弦长为，则圆心到直线的距离为，……………………………………………7分

当直线斜率不存在时，直线，符合题意；……………………………………………………8分

当直线斜率存在时，设直线方程为，即，

圆心到直线的距离，………………………………………………………………………9分
，    …………………………………………………………………………………………10分

直线方程为．……………………………………………………………………11分

综上所述，直线方程为或．………………………………………………12分

19.解：证明：因为底面为正方形，所以,         …………………………1分

因为，，所以            …………………………2分

又因为，     …………………………………………………3分
所以      ……………………………………………………………………………4分
以C为坐标原点，CB、CD、CP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接BD交AC于O，则，…5分

设，设，，

则， 则，………………6分

由（1）平面PAC，可知是平面PAC的一个法向量，………………7分

设为平面EAC的一个法向量，则，即，

取则，则，……………………………………………9分

则⟨⟩，解得， ………………………11分
所以，故线段PB上是存在点E，当时二面角的余弦值是…12分

20.【答案】解：Ⅰ，

，   ………………………………………………………1分
得 ,化简得 

, =1       ………………………………………………3分
数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，
；  ………………………………………………………………4分
则，  ………………………………………………5分
  ……………6分
Ⅱ，，   ……………………………………………7分
假设存在确定的值，使对任意，都有恒成立，即对任意恒成立，
即对任意恒成立，   ……………8分
对任意恒成立．
当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为，；………9分
当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，．…10分
即， ………………………………………………………………………………………11分
又为非零整数，．  ………………………………………………………………………12分
综上所述：存在，使得对任意，都有．  

21.解：由题意可得为等差数列，且，，则；…………1分
由题意，，………………………………………………………………2分
所以，     ………………………………………………………………3分
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以；……………………………………………4分
依题意，是数列的前项和，
所以；   ……………………………………………6分
是数列的前项和减去，所以
       

； …………………………………………………8分

．  …………………………………………9分
因为函数在上为增函数，
当时，；
当时，．
仅当时，．  ………………………………………………………………………11分
答：至少经过年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．… 12分
22.解：由知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．…1分

且，即，，故，     …………………………………………2分
轨迹方程为．……………………………………………………………………4分

若直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立得得，  …………………………………5分
设，，由条件得  ……………………6分

解得．   设存在点满足条件，

由  ……7分

，得       ……………………………8分
对任意恒成立，所以解得，  ……………………………………9分

因此存在定点满足条件． …………………………………………………………………10分

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，联立得，，
将验证，结果也成立.          ……………………………………11分

综上所述，轴上存在定点，使恒成立.……………………………………12分

12.【解答】解：设正三角形的边长为，在中，由余弦定理有

，

对于，因为，所以，，故是首项为，公比为的等比数列，故A不正确；对于，在中，，所以，故B正确；对于，由，可得，而，所以，故C正确；

对于，可知，即数列是首项为，公比为的等比数列，一只蚂蚊从出发，沿着路径爬行的总距离为，而，故D正确．