广东省佛山市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次教学质量检测 数学试题（原卷版+解析版）（含解析）

这是一份广东省佛山市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次教学质量检测 数学试题（原卷版+解析版）（含解析），共23页。
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间150分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
第一部分 选择题（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3. 设均为单位向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（ ）
A. 8分钟B. 10分钟C. 12分钟D. 14分钟
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，若，则最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题中正确有（ ）
A. 平行向量就是共线向量
B. 方向相反的向量就是相反向量
C. 与同向，且，则
D. 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数周期为
B. 为函数的一个对称中心
C. 函数在上单调递增
D. 函数的最小值是
11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小正周期是
B. 若， 则
C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个
D. 若，则的取值范围是
第二部分 非选择题（92分）
三、填空题.（本题共3小题，每题5分，共15分.）
12. 已知向量，，若，则________．
13. 如图，A，B和C，D分别为函数（，）图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD的面积为，直线AD过点，则__________．
14. 定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________，__________.
四、解答题.
15. 函数的一个对称中心是．
（1）求并用“五点法”画出函数在上的简图.
（2）求函数的单调递减区间、对称轴；
16. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
17. 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为.
（1）请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式；
（2）2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗?
18. （1）证明：；
（2）设；
①求的最小正周期；
②，恒成立，求a的取值范围.
19. 已知函数
（1）若函数图象两相邻对称轴相距，
①求的解析式；
②求函数在上的最值.
（2）若函数在上恰有9个零点，求的整数值，并求出这9个零点之和.
佛山一中2024-2025学年第二学期高一级第一次教学质量检测试题
数学
2025年3月
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间150分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
第一部分 选择题（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逆用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】，
故选：B
2. 已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量之间的大小关系，进行代换得到答案.
【详解】由于，,,由于点E是CD的中点，
所以，，，故，
故选：B
3. 设均为单位向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】对两边平方，代入已知条件，再开方可得答案.
【详解】因为均为单位向量，则，且，
所以
.
故选：B.
4. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求解.
【详解】解：因为平面向量，的夹角为，且，，
所以在方向上的投影向量为 ，
故选：C
5. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
6. 如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（ ）
A. 8分钟B. 10分钟C. 12分钟D. 14分钟
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得此人相对于地面的高度与时间的关系是，再令求出的范围即可得出.
【详解】设时间为时，此人相对于地面的高度为，
则由题可得当时，，
在时间时，此人转过的角为，
此时此人相对于地面高度，
令，则，
所以，解得，
故在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是.
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是得出高度与时间的关系，再解三角函数不等式即可.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用差角的正弦公式化简给定等式得，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解.
【详解】依题意，，
则，所以.
故选：A
8. 在锐角中，若，则的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值.
【详解】由，得，
两边同时除以，得.
令，
∵是锐角三角形，
∴，∴.
又在三角形中有：
，
故当时，取得最小值
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题中正确的有（ ）
A. 平行向量就是共线向量
B. 方向相反的向量就是相反向量
C. 与同向，且，则
D. 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平行向量和相等相反向量的定义，逐一判断即可.
【详解】对于A选项，平行向量就是共线向量，A对；
对于B选项，相反向量就是方向相反且长度相等的向量，B错；
对于C选项，任何两个向量都不能比较大小，C错；
对于D选项，“两个向量平行”推不出 “这两个向量相等”，
另一方面，“两个向量相等”推的出“这两个向量平行”，
所以，两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D对.
故选：AD．
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 为函数的一个对称中心
C. 函数在上单调递增
D. 函数的最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】先利用三角函数的二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的性质逐一分析选项.
【详解】根据二倍角公式可得，.
则.
所以的周期，选项A正确；
令（），解得（）.
当时，，此时，
所以为函数的一个对称中心，选项B正确；
，则，则，
则函数在上单调递减，选项C错误；
因为正弦函数的值域为，所以的最小值为，
则的最小值为，选项D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小正周期是
B. 若， 则
C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个
D. 若，则取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A，根据中心对称即可求值，知B正确，由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，判断C，结合已知单调区间得出范围后判断D.
【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以，
所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误；
对于B，因为，所以的图像关于点对称，
所以，故B正确；
对于C，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以，因为，所以，
又，所以，所以，
即满足条件的有且仅有1个，故C正确；
对于D，由题意可知为单调递减区间的子集，
所以，其中，解得，，
当时，，当时，，
故的取值范围是，故D正确.
故选：BCD
第二部分 非选择题（92分）
三、填空题.（本题共3小题，每题5分，共15分.）
12. 已知向量，，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的线性运算表示，根据向量平行可得结果.
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，解得.
故答案为：.
13. 如图，A，B和C，D分别为函数（，）图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD的面积为，直线AD过点，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据四边形ABCD的面积得到方程，求出，代入，求出，得到函数解析式，计算出
【详解】因为四边形ABCD的面积为，且（T为的最小正周期），
，梯形ABCD的高为2，所以，解得，
即．
又直线AD过点，由图象对称性可得的图象过点，
即，即．
又，所以，故．
故．
故答案为：
14. 定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________，__________.
【答案】 ①. 2 ②. 4
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数且，所以的周期为，的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为，从而可得参数的值，最后求出函数的解析式，代入求值即可.
【详解】解：因为为偶函数且，所以的周期为.因为时，，所以可作出在区间上的图象，而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，结合函数和函数在区间上的简图，可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为，所以，故.
因为，
所以.故.
故答案为：；
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
四、解答题.
15. 函数的一个对称中心是．
（1）求并用“五点法”画出函数在上的简图.
（2）求函数的单调递减区间、对称轴；
【答案】（1），作图见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由可求得的值，列表作图可得结果.
（2）根据函数的解析式，利用整体代入法可得结果.
【小问1详解】
由题意得，，故，
∴，
∵，∴，故，
五点法作图如下：
在上的简图如下：
【小问2详解】
由，得，
∴函数单调递减区间为.
由得，
∴函数的对称轴为直线.
16. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据A，E，C三点共线，得，即可列等量关系求解，
（2）根据坐标运算即可求解，
（3）根据向量相等即可列方程求解.
【小问1详解】
．
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得；
【小问2详解】
．
【小问3详解】
因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以．
设，则．
因为，所以，解得，
即点A的坐标为．
17. 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为.
（1）请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式；
（2）2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗?
【答案】（1），
（2）不开空调
【解析】
【分析】（1）根据已知条件代入点计算求参即可得出解析式；
（2）应用已知代入求值即可判断.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，代入点
可得，所以，
所以， ；
【小问2详解】
当.
所以不开空调.
18. （1）证明：；
（2）设；
①求的最小正周期；
②，恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）利用和差角的正弦公式推理得证.
（2）①利用（1）的结论化简函数，进而求出周期；②利用①的结论，结合二倍角公式变形不等式，再换元并分离参数，借助基本不等式求出范围.
【详解】（1），，
两式相减得，
所以.
（2）①依题意，
，
所以的最小正周期为.
②由①得，
依题意，，令，则，
于是，恒成立，
而当时，，当且仅当，即时取等号，
因此．则，所以的取值范围是．
19. 已知函数
（1）若函数图象的两相邻对称轴相距，
①求的解析式；
②求函数在上的最值.
（2）若函数在上恰有9个零点，求整数值，并求出这9个零点之和.
【答案】（1）①；②最小值；最大值1；
（2），
【解析】
【分析】（1）①根据二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，利用两相邻对称轴间距离为半个周期可得结果.
②根据得，结合正弦函数的性质可得结果.
（2）设可得，根据在区间上的根的个数可求得的范围，结合与的关系可得结果.
【小问1详解】
①由题意得，，
设函数的最小正周期为，
∵函数图象的相邻两对称轴间的距离为，∴，可得．
∴.
②∵，∴，
当，即时，函数有最小值为，
当，即时，函数有最大值为，
∴函数在上的最小值为，最大值为.
【小问2详解】
设，由得，，
由得，，
问题转化为方程在上恰有9个根，
∴，解得，
∵为整数，∴，故，
由，得，，，
∴，
设函数在上的9个零点分别为，
由得，，即，
∴，
综上得，， 这9个零点之和为.
x
0
x
0