广东省佛山市第一中学2024−2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市第一中学2024−2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（ ）
A．12B．32C．36D．37
2．已知为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．B．2C．D．17
3．如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
6．设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为（ ）
A．(3，＋∞)B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)
8．已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有， .若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A．599B．C．554D．568
二、多选题（本大题共3小题）
9．以下命题正确的是（ ）
A．设集合，则
B．向量在向量上的投影向量为
C．若复数是纯虚数，则的共轭复数
D．函数，其导函数为
10．已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（ ）
A．B．C．D．
11．（多选题）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了类似如图所示的图形，后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列所有说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知分别为等差数列的前项和，，则 .
13．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
14．已知数列满足，则 ；数列的前项和为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点.
(1)证明：平面.
(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
16．已知函数，．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若，设，求函数的单调区间．
17．已知各项均为正数的数列，其前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和；
(3)若，求数列的前项和为
18．某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.
(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;
(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;
(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?
19．若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”．
(1)若，，判断，是否是“数列”；
(2)已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围；
(3)已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式．
参考答案
1．【答案】C
【详解】数列的前6项之和为.
故选C.
2．【答案】D
【详解】等比数列设公比为，因为，所以，
所以，计算得，
所以.
故选D.
3．【答案】B
【详解】当时，的增长速度越来越快；
当时，的增长速度越来越慢；
所以B选项符合.
故选B.
4．【答案】D
【详解】由题意知与轴有三个交点，不妨设为，
当，，当，,
当，，当，，
所以在区间，单调递减，故A、C错误；
在区间,单调递增，故B错误，故D正确.
故选D.
5．【答案】C
【详解】因，
且①
则，②
由①+②可得：，
故.
故选C.
6．【答案】B
【详解】根据与的关系，（）.
已知，，那么.
又因为，，所以.
所以公差.
已知，将其代入前项和公式，因为，所以.
又已知，那么.
已知，，，代入通项公式可得：
, 得.
故选B.
7．【答案】D
【解析】依题意对任意，即可得到对任意恒成立，从而求出参数的取值范围；
【详解】解：因为，由数列为递减数列知，对任意，，所以对任意恒成立，所以．
故选D．
8．【答案】D
【详解】因为，所以，又因为，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，
所以，，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，
所以，，
由得，所以，
所以
.
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，由集合的运算法则，结合数轴表示，可知A正确；
对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C ，是纯虚数，
，解得.则复数的共轭复数，故C正确；
对于D ，因，则，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】BC
【详解】由，得，
设切点坐标为，则，
则过切点的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：，即或.
当时，切线方程为;
当时，切线方程为.
故选BC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，由题意，得，故A错误；
对于B，以上n个式子累加可得，又满足上式，
所以，，故B正确；
对于C，由，
可得=84，故C正确；
对于D，由，
得，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由题意可得，
13．【答案】（
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，
所以在上递增，又，所以．所以的取值范围是．
14．【答案】
【详解】当时，，
所以是以为首项，公差为3的等差数列，
当时，，
所以是以为首项，公差为3的等差数列，
的前项中奇数项和，
前项中偶数项和，
所以数列的前项和为.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）连接，交于点，
四边形为正方形，；
平面，平面，，
又，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
假设在线段上存在点，使得二面角的余弦值为，
设，则，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
由（1）知：平面，平面的一个法向量为；
，解得：，
当，即时，二面角的余弦值为.
16．【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【详解】（1）当时，，则，
当x＞1时，，∴f(x)的单调递增区间为．
（2）(a＜0)，其定义域为，
∴(a＜0)，
令，，
①当，即时，
或时，；时，，
∴g(x)的减区间为：，增区间为：；
②时，，g(x)减区间为：，无增区间；
③当，即时，
或时，；时，，
∴g(x)的减区间为：，增区间为：.
综上，时，g(x)的减区间为：，增区间为：；
时，g(x)减区间为：，无增区间；
时，g(x)的减区间为：，增区间为：.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，由，得，得，
由，得，两式相减，
得，即，
即.
因为数列各项均为正数，所以，所以
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
因此，
（2）由（1）得，
，
则，
两式相减得
（3）由（1）知，所以.
所以.
所以
18．【答案】(1) ,(2) ,(3) 至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.
【详解】(1)由题意得 是等差数列，
所以
由题意得
所以
所以是首项为250，公比为的等比数列
所以
所以
(2) 是数列的前项和
所以
是数列的前项和减去600，所以
(3)
易得此函数当时单调递增
且时
时
所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润
将超过不进行技术改造的累计纯利润.
19．【答案】(1)数列是“数列”；数列不是“数列”；
(2)
(3)或
【分析】（1）直接根据“数列”的定义进行判断即可；
（2）由是等差数列结合是“数列”可知公差，结合等差数列求和公式用含的式子表示，进一步结合恒成立即可求解；
（3）由“数列”的每一项（）均为正整数，可得且，进一步可得单调递增，故将任意性问题转换为与1比较大小关系可得的范围，结合，或，注意此时我们还要分情况验证是否是“数列”，从而即可得解.
【详解】（1）对于数列而言，若，则,
所以数列是“数列”；
对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”；
（2）因为等差数列是“数列”，所以其公差．
因为，所以，
由题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，恒成立，故；
当时，对任意的恒成立，即
对任意的恒成立，
因为，所以．
所以的取值范围是.
（3）设等比数列的公比为，因为，所以，
因为“数列”的每一项均为正整数，由得，
所以且，
因为，
所以，所以单调递增，
所以在数列中，“”为最小项，
而，从而在数列中，“”为最小项．
因为是“数列”，则只需，所以，
因为数列不是“数列”，则，所以，
因为数列的每一项均为正整数，即，所以或，
（1）当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
（2）同理可知，当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
综上，或.
【关键点拨】第三问的关键是首先将恒成立任意性问题转换为与1比较大小得出的值，回过头去检验是否满足题意即可顺利得解.