广东省佛山市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份广东省佛山市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，集合，则.
故选：D.
2. 已知命题，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：，.
故选：B.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域需满足不等式，解得：且，
所以函数的定义域是.
故选：C.
4. 已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】设圆心角为，半径为，则，解得.
故选：B.
5. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题可知，函数的定义域为，关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，所以排除选项BD；又，所以排除选项C.
故选：A.
6. 函数的最小值和最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画出的图象如图：
画出图象如图：
将两个图象画在一起，取下方图象，画出的图象，如图：
根据图象可知，函数的最小值和最大值分别为.
故选：B.
7. 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为方程有两相异实根，且，
则，解得.
故选：C.
8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（ ）
A. 奇函数，在上单调递增B. 奇函数，在上单调递减
C. 偶函数，在上单调递增D. 偶函数，在上单调递减
【答案】A
【解析】因为，所以，得，
令，则，
得，则函数为奇函数，
设，且，得，则，
则
，
因为，所以，而，
则，
得，得，
故函数在上单调递增．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是第二象限角，且，角、、、的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A选项，因为是第二象限角，且，
则，
设角终边与单位圆（圆心为原点）的交点为，
由题意可知，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，A错；
对于B选项，角的终边与单位圆的焦点坐标为，则，B对；
对于C选项，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，C对；
对于D选项，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，D错.
故选：BC.
10. 某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（ ）参考数据：.
A. 的图象关于点中心对称
B. 的图象关于直线对称
C. 2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足
D. 预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过
【答案】ACD
【解析】对于A，
，
所以的图象关于点中心对称，故A正确；
对于B，
，
所以的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C，，因为，所以，所以，
所以，故C正确；
对于D，，因为，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示：
则下列说法正确的是（ ）
A. 三项活动都没有参与的人数为15
B. 三项活动都参与的人数最多为47
C. 恰好参与一个活动的人数最少为21
D. 恰好参与两个活动的人数最多为94
【答案】ABD
【解析】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为，
只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为，
只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为，
只参与佛山祖庙活动的人数为，
只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为，
对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105，
那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确；
对于B，根据已知条件可得：
，①
，②
，③
，④
将①②③得：，⑤
用⑤④可得：，即，
因为，即，解得，
所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确；
对于C，由④可得，
将代入可得：，
因为，所以，
即恰好参与一个活动的人数最少为11，选项C错误；
对于D，恰好参与两个活动的人数为，
因为，所以，所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：__________.
【答案】
【解析】原式.
13. 若正数满足，则的最小值为__________.
【答案】25
【解析】因为正数满足，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为25.
14. 定义在上的函数满足，当时，，则__________，不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】因为定义在上的函数满足，当时，，
则；
当时，由，此时，恒成立；
当时，则，则，
由，可得，
又因为，则，解得，此时，；
当且时，且当时，则，
则，
此时，不等式无解；
当时，，则，
由可得，
由于，可得，解得，此时，；
当且时，且当，则，
则，
此时，不等式无解.
综上所述，不等式解集为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合或.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
又因为或，所以.
（2）若，
当，即时，，满足；
当，即时，，
要满足，只需，
解得，又因，所以.
综上可知，实数的取值范围为.
16. 已知.
（1）求；
（2）若是第一象限角，求的值.
解：（1）
，
，解得：或.
（2）
，
是第一象限角，，，
由（1）知：，由得：，
.
17. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数.
（1）求曲线的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明.
解：（1）设，
则函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数，
所以函数的对称中心为.
（2）函数在上单调递减.
证明：，且，
则
，
因为，
所以，
又，所以，所以，即，
所以函数在上单调递减.
18. 已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若有两个零点有两个零点，求的取值范围.
解：（1）函数y=fx的零点即方程的根，
设，
则函数y=fx的零点个数转化为方程根的个数.
，显然hx在上单调递减，
在上单调递增，故.
所以，当时，y=fx没有零点；
当时，y=fx有1个零点；
当时，y=fx有2个零点.
（2）由（1）知有两个零点，则，
有两个零点，则有两个根，
令，则有两个不同的交点，
如图所示：
则，综合可得.
结合（1）即，可知，即.
同理可求得，
所以
，
当且仅当即取等号，所以.
因此的取值范围为.
19. 如图，有一块矩形空地，其中米，米，计划在图中的矩形内种植某种蔬菜，其中米，米，并过点修建一条笔直的小路（宽度忽略不计），点在线段上（含端点），点在线段上（含端点），设米，米.
（1）求的值；
（2）求面积的最小值，并求面积取得最小值时的值；
（3）在线段上取一点，过点作，，垂足分别为、，求矩形面积最大值.
解：（1）因为，所以；同理，由，得，
而，所以，即，所以.
（2）由（1）可知，
即，则，
当且仅当时，即当时等号成立.
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为平方米，面积取得最小值时的值为.
（3）由题可知，矩形的面积取决于点的位置，连接并延长交于点，
连接并延长交于点，
则点在和的内部及其边界上，
显然，只有当点位于线段和线段上时，矩形的面积才有可能取到最大值.
则，即，
即.
过点作于点，作于点，设.
如图1，当点在线段上时，由相似关系可得，即，
所以，
此时矩形的面积，
又，所以当时，矩形的面积取得最大值，最大值为平方米.
如图2，当点在线段上时，由相似关系可得，即，
所以，
此时矩形的面积，
又，所以当时，矩形的面积取得最大值，
最大值为平方米.
综上可知，矩形的面积的最大值为平方米.