广东省佛山市高明区第一中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市高明区第一中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，若向量，则实数的值为（ ）
A．B．3C．D．
2．已知，且为第一象限角，则（ ）
A．2B．4C．D．
3．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中．这些公式被编人计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．比如，用前三项计算，就得到．运用上述思想，可得到的近似值为（ ）
A．0.53B．0.54C．0.55D．0.56
4．将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）.
A．B．
C．D．
5．在中，，边上的高等于，则（ ）
A．B．C．D．
6．在平行四边形中，为的重心，，则（ ）
A．B．2C．D．1
7．据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（ ）（参考数据：，）
A．441量B．159量C．473量D．127量
8．定义域在上的奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于同一平面内的任意三个向量，下列四种说法错误的有（ ）
A．
B．若，且，则
C．若，则或
D．
10．关于函数,下列选项错误的有（ ）
A．函数最小正周期为B．表达式可写成
C．函数在上单调递增D．的图像关于直线对称
11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为中点，且，，则下列各式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12． .
13．已知点是角终边上一点，将角的终边逆时针旋转得到角，则 ．
14．如图所示，，圆与分别相切于点，，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的值．
16．已知向量与的夹角为，且，
(1)求；
(2)若，求；
(3)求向量在向量上的投影向量的模．
17．已知的内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)证明：.
18．已知函数，将函数的图象左移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．
（1）求函数的最小正周期及单减区间；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
19．如图，已知直线，是，之间的一个定点，且点到,的距离分别为1,2，是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点.设，的面积为.

(1)求的最小值；
(2)已知,,若对任意的,不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】向量，由，得，解得，
所以实数的值为3.
故选B.
2．【答案】D
【详解】由为第一象限角，得，
而，解得，
所以.
故选D.
3．【答案】B
【详解】由泰勒公式：可得：
，
故选B．
4．【答案】C
【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，
再的图象向左平移个单位长度，可得，
所以所求得象的函数解析式为.
故选C.
5．【答案】B
【详解】设边上的高为，因为边上的高等于，，
所以，，，
所以由勾股定理可得，
所以由余弦定理得.
故选B.
6．【答案】C
【详解】如图，设与相交于点，为的重心，
可得为的中点，,
可得,
故选C.
7．【答案】A
【详解】由题意可得，可得，
解得，所以，
当时，
（量）.
故选A.
8．【答案】D
【详解】∵是定义域在R上的奇函数，
∴，解得，检验得时，是奇函数，
∴，
由指数函数的性质可得在R上为减函数.
由得，
∴，即存在，使得，
记，，则，
，
∵，∴，
∴，∴，
∴，即实数k的取值范围为.
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】对于A：因为向量的数量积不满足结合律，故选项A错误；
对于B：若，则不一定成立，故选项B错误；
对于C：，但是与不一定是共线同向或反向，故选项C错误；
对于D：，故选项D正确；
故选ABC．
10．【答案】BC
【详解】对于,函数最小正周期,故正确;
对于,,故错误;
对于,在上不单调,故错误;
对于,的图像关于直线对称,故正确;
故选BC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，重心为G，有
故，故A正确
对于B，外心为O，有，
，故B错误
对于C，由欧拉线定理得，即
又有，相加可得，故C正确
对于D，由得，故
，故D正确
故选ACD.
12．【答案】
【详解】，
，
，
.
13．【答案】/
【详解】由题可知，
将角的终边逆时针旋转得到角，可得，
因此；
所以.
14．【答案】
【详解】因为，圆与分别相切于点，，所以四边形为正方形，所以
过点作圆的直径所在直线交圆于点， 所以
做平行四边形当点在点处时，四边形为正方形，取得最大值，
所以
同理可知，当点在点处时，所以.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简得到，再代入求值即可；
（2）求出，再化为齐次式，化弦为切，代入求值.
【详解】（1），
．
由（1）知，，故，
故
．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
又与的夹角为，所以．
∴
；
（2）因为，所以，
即，
即，解得.
（3）因为，，且与的夹角为，
所以
；
,
则在上的投影向量的模为.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得.
因为，所以由余弦定理可得，
两式联立，整理得，即.
在中，由余弦定理得.
（2）证明：因为，由正弦定理可得，
因为，所以，
则，
所以，
由，
得，
即，
则，
所以.
18．【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为；（2）最小值为，对应的的集合为.
【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，解不等式可得出函数的减区间；
（2）由可计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值及其对应的的值，即可得解.
【详解】（1），
因此，
所以，函数的最小正周期为，
解不等式，得，
因此，函数的单调减区间为；
（2）时，则，，
当时，即当时，函数取得最小值，此时，对应的的集合为.
19．【答案】(1)2
(2)答案见解析
【分析】（1）解和分别可得，，则的面积，根据的范围即可求的最小值；
（2）原不等式恒成立可转化为恒成立，接着令，从而可得，再令，根据的范围，讨论的值即可求解.
【详解】（1）在中，，则；
在中，，，则，
所以的面积.
因为，所以，
故当，即时，取得最大值1，此时取得最小值2.
（2）由（1）知，，
所以.
不等式对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立.
令，则，
因为，所以，所以，
又，
所以.
令，其中，
所以，.
①当时，，即；
②当时，函数在上单调递增，
所以，即；
③当时，函数在上单调递减，
所以，即.
综上，当时，实数的取值范围是；
当时，实数的取值范围.
【关键点拨】本题第二问得到对任意的恒成立后，利用与之间的关系进行换元转化是解决问题的关键.