广东省广州市天河外国语学校2024−2025学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份广东省广州市天河外国语学校2024−2025学年高一下学期3月月考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ）

A．＋B．＋
C．D．＋
3．平面向量，满足，，，则在上投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A．B．C．D．
5．在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）.
A．4B．5C．6D．6或
6．已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
7．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（ ）
A．最大值为B．最大值为1
C．最大值是2D．最大值是
11．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若D是AC边上的一点，且，则的面积的最大值为
C．若三角形是锐角三角形，则的取值范围是
D．若O是的外心，，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，若点在线段AB的中垂线上，则 .
13．已知是O坐标原点，，若点C满足，则a的值为 ．
14．已知点P为内一点，，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量．
(1)当且时，求；
(2)当，求向量与的夹角．
16．已知，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若锐角的内角的对边分别为，且，，求面积的取值范围．
17．在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点．
(1)求证：；
(2)的最小值．
18．在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
(1)求；
(2)若点M为AC中点，且，求的面积．
19．在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为.
(1)已知，，求；
(2)①已知，的夹角为，且，的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求.
参考答案
1．【答案】D
【详解】对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：设存在唯一的实数使，
则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确.
故选.
2．【答案】B
【详解】分别为的边上的中线,
则,
,
由于，，所以,
故解得
故选B.
3．【答案】C
【详解】，
其中，所以，解得，
则在上投影向量为.
故选C.
4．【答案】D
【详解】由题意，在中，由余弦定理得；
因为，所以，
在中，由正弦定理所以，
解得.
故选D.
5．【答案】C
【详解】由得，即，
又，，故，（舍），
故选C.
6．【答案】C
【详解】依题意设，，
由，所以，则，
又，且，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
即的最大值为.
故选C.
7．【答案】D
【详解】设分别为的中点，连接，
则，则∽，故,
则，故，
又因为，即，
当时，四边形面积最大，最大值为，
故的面积的最大值为，
且，所以的最大值为.
故选D.
8．【答案】D
【详解】设，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
因为，即，
且，可知，
则，即，
又因为，则，
可得，
则，
在中，由正弦定理可得，
在中，可知，
由正弦定理可得，
则，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确；
向量的数量积满足交换律，所以，故正确；
根据数量积定义知，数量积为一实数，
所以为，表示与共线的向量，
而为，表示与共线的向量，
所以不一定成立，故错误；
根据数量积定义知，故正确；
故选.
10．【答案】BCD
【详解】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，
则，，，
由，得且，
，故A错；
时，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
故选BCD.
11．【答案】BCD
【详解】因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，即，
且，所以.
对于选项A：因为
，
且，则，可得，
所以，故A错误；
对于选项B：因为，
则，
可得，
即，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的面积的最大值为，故B正确；
对于选项C：因为，
又因为，解得，
可得，则，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，则，
可知点在优弧上（端点除外），
因为，则，
又因为，
且，可得，即，
又因为，即，
解得，当且仅当时，等号成立，
可得，故D正确；
故选BCD.
2．正确理解并掌握向量的概念及运算注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用；
提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．
12．【答案】/
【详解】，，设AB的中点为M，则，，
由题意可知，，则，
所以，解得：.
13．【答案】
【详解】因为，则，
则，
可得，
则，
可得，解得.
14．【答案】2
【详解】设，
则，，
可得，
，
两式相减可得，
可得，
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为向量
则，，
又因为，则，
可得，解得或，
且，则，则，，
所以.
（2）由，则，
由，可得，解得，即，
可得，，，
则，
且，所以向量与的夹角.
16．【答案】(1)；
(2)．
【详解】
（1），
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得，得，
所以．
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）已知，由，得，
由正弦定理，得，
，
由是锐角三角形得，
得，，
则，所以，
即面积的取值范围是．
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）连接，如图
∵，∴
由得
即.
（2）∵，∴
则四边形为平行四边形，∥，
.
由，得，
∴，∴，
由得，，即
所以
18．【答案】(1)
(2)的面积为
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以，所以或，
当时，因为，
所以，此时，
所以，因为，
所以，所以；
（2）先证明以下定理：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，
如图，是中线，是高线，
因为，，，，
所以
，
回到题目中，设，
所以，，，
所以，
设，，，
因为，所以，
所以，，
所以.
19．【答案】(1)1
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）①因为
，
且，，则，所以.
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点P为的重心，则，
可得，，
则，
，
，
可得，
所以.