广东省佛山市南海区艺术高级中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市南海区艺术高级中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，，，则实数（ ）
A．2B．C．D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．平面内所有的单位向量都相等B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量D．若满足，且同向，则
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知角α的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，则实数（ ）
A．B．2C．1D．
7．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，设，则下列说法错误的是（ ）
A．B．边上的高是
C．外接圆的周长是D．内切圆的面积是
二、多选题（本大题共3小题）
9．如果是第二象限的角，下列各式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．向量是单位向量
B．与可以作为基底
C．在上的投影向量为
D．与的夹角为
11．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象向左平移个单位长度后得到函数
C．的图象关于直线对称
D．若方程在上有且只有6个根，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值等于 .
13．已知函数为奇函数，则 ．
14．已知的内角的对边分别为，面积为，若，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量与的夹角为，且，求
(1)
(2)
(3)设向量与的夹角为，求的值.
16．已知函数．
(1)写出函数的最小正周期以及单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值；
(3)时，函数有零点，求的取值范围．
17．已知平面向量．
(1)若，求的值；
(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围．
18．已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
19．已知A、B、C、D为平面四边形的四个内角．
(1)若，，求；
(2)如图，若，，，，.
①证明：；
②求的值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】已知，，所以，解得：
故选B.
2．【答案】B
【详解】对于A，单位向量的模为1，方向不一定相同，A错误；
对于B，模为0的向量与任意非零向量共线，B正确；
对于C，平行向量一定是共线向量，C错误；
对于D，向量的模能比较大小，而向量不能比较大小，D错误.
故选B.
3．【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，
故选B.
4．【答案】D
【详解】由题意知，，
所以.
故选D.
5．【答案】B
【详解】由，得，而，
所以.
故选B.
6．【答案】C
【详解】解：，
即
.
故.
故选C.
7．【答案】C
【详解】选项A中，选项B中，选项C中，选项D中，排除AB，
时，，递减，则递增，
时，，递增，则递减，
故选C．
8．【答案】D
【详解】对于A，，解得，故A正确，
对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确；
对于C，由B知，，所以外接圆的周长是，故C正确；
对于D，由等积法知，，故D不正确.
故选D.
9．【答案】ACD
【详解】由于，所以AD选项不成立.
由于第二象限角，所以，，
所以B选项成立，C选项不成立.
故选ACD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，，，故向量不是单位向量，选项A错误；
对于B，∵向量与是不共线的非零向量，故向量与可以作为基底，选项B正确；
对于C，在上的投影向量为，选项C正确；
对于D，由题知.
，，即与的夹角为，选项D正确；
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】由图象得，，而，则，
由的图象过点，得，解得，
而的周期有，即，解得，
因此，A正确；
函数的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是：
，非奇非偶函数，B错误；
，C正确；
显然，
若方程在上有且只有6个根，则，D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因三点共线，故.
，
.
13．【答案】
【详解】函数为奇函数，其定义域为，所以，
所以，
即，
所以，所以.
14．【答案】
【详解】由，得，
又因为，所以，
由正弦定理得，
由，则，
解得或，
因为，所以.
15．【答案】(1)4
(2)
(3)
【详解】（1）.
（2）由（1）得，
.
（3）由（1）（2）得，
.
16．【答案】(1)；，.
(2)当时，取得最小值为.
(3)
【详解】（1）函数的最小正周期为：；
由，，
得函数的单调递减区间为：，.
（2）因为，所以，
所以当时，取得最小值为.
（3）当时，，.
方程有解，所以.
即函数有零点，得.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
所以，.
又因为，所以，解得.
（2）因为，
所以.
因为与的夹角为锐角，
所以，且夹角不为.
当时，，解得；
当与的夹角为时，，解得，
故与的夹角不为时，；
综上可得：的取值范围是.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）.
19．【答案】(1)10
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）易知四边形是平行四边形
在中，由余弦定理得
同理在三角形得到：,
因为，，且有公共边AC，所以,
所以,又,所以,即,
所以在平行四边形中,,
故，
（2）证明：①等式左边==右边
所以等式成立．
②由，得，，
由①可知：
，
连结BD，
在中，由余弦定理有，
，，，，
在中，由余弦定理有，
所以，
则：
又，可知，
于是，
连结AC，同理可得：，
又，可知，
于是
所以