广东省佛山市南海区罗村高级中学2024−2025学年高一下学期段测一（3月） 数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市南海区罗村高级中学2024−2025学年高一下学期段测一（3月） 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）

A．B．
C．D．
2．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
3．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，，边上的高等于，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则与方向相同
B．若，则与方向相反
C．若，则与有相等的模
D．若，则与方向相同
10．要得到的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
11．下列四个等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
13．函数的图象如图所示，则
14．将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，，求与的夹角的余弦值．
16．已知，，、.
（1）求的值；
（2）求的值.
17．已知函数的最大值为1.
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求使成立的实数的取值集合.
18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要（参考数据）
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）
19．如图，已知直线．垂直于直线、，．点是的中点，是上一动点，作，且使与直线交于，设．
（1）写出的周长关于角的函数解析式；
（2）求的最小值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，且，所以，
即.
故选D.
2．【答案】D
【详解】根据题意得，2（）=,
由共线向量基本定理知与共线，因此不能作为基底；
故选D．
3．【答案】D
【详解】，
故选D.
4．【答案】D
【详解】因为
所以
则
故选D.
5．【答案】B
【详解】．
故选B.
6．【答案】C
【详解】由①，以及，
对等式①两边取平方得，②，故A正确；
因为，所以，所以由②可得，所以，故B正确；
所以③，故C错误；
①③联立解得，所以，所以，故D正确．
故选C．
7．【答案】B
【详解】设边上的高为，因为边上的高等于，，
所以，，，
所以由勾股定理可得，
所以由余弦定理得.
故选B.
8．【答案】B
【详解】由题可知，是该函数的周期的整数倍，即，
解得，又，故其最小值为．
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】根据平面向量的平行四边形或三角形法则，
当与不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
有.
当与同向时有，反之也成立；
当与反向时有，，反之也成立.
故选ABD.
10．【答案】AD
【解析】利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.
【详解】将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin(x)，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin(2x)．
也可以将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin2x，
再把所得各点向右平行移动个单位长度得到y＝sin2(x)＝sin(2x)．
故选AD．
11．【答案】ABD
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，故A正确；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】，
向量在向量上的投影向量坐标为.
13．【答案】
【详解】根据图象可知，且，所以，解得，
又图象过点，所以，
即，解得，
又，所以，可得.
14．【答案】
【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得，
再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得，
因为，且，则，
由题意可得：，解得，
所以的取值范围为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
因为，则，得，
则，所以；
（2）由已知，又，，
所以，得，
则，，
故．
16．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用二倍角公式求出和的值，然后利用两角差的余弦公式可求出的值；
（2）利用两角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范围，即可求出的值.
【详解】（1）且，.
，，
因此，；
（2）由（1）知，，
且，，
，
、，，因此，.
17．【答案】（1）（2）.（3）
【解析】（1）化简，求最大值，即可求解；
（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；
（3）运用正弦函数图像，即可求解.
【详解】解：
.
（1）函数的最大值为，所以.
（2）由，
解得，
所以的单调递增区间为.
（3）由（1）知.
因为，即.
所以，
所以.
所以，
所以使成立的的取值集合为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，
由题意可得，.
（2）当时，所以，
所以游客甲在开始转动后距离地面的高度约为.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.经过后甲距离地面
的高度为，
点B相对于点A始终落后，
此时乙距离地面的高度为.
则甲、乙距离地面的高度差，
因为，
所以.
当时，h的最大值为.
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.
19．【答案】（1），其中；（2）.
【详解】（1）因为，故，
为的中点，则，所以，，，
所以，，
所以，，其中；
（2）设，
，则，所以，，
且有，则，
所以，，
当且仅当时，取得最小值.