广东省东莞市翰林实验学校2024−2025学年高一下学期3月份月考数学试题（含解析）

这是一份广东省东莞市翰林实验学校2024−2025学年高一下学期3月份月考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共4小题）
1．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，若，，，则边（ ）
A．B．C．D．
3．若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
4．在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．有两解C．有一解D．有无数解
二、多选题（本大题共1小题）
5．关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
三、单选题（本大题共3小题）
6．平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形
B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形
D．等腰直角三角形
8．边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
四、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．B．若，则
C．D．
10．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．的最大值为B．若，则
C．若是与共线的单位向量，则D．当取得最大值时，
11．已知的内角所对的边分别为a，b，c，其中a为定值．若的面积，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．周长的最小值为
D．的取值范围是
五、填空题（本大题共3小题）
12．已知复数满足（是虚数单位），则 ．
13．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为 .
14．如图，已知为等边三角形，点是的重心．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，且．设的周长为，的周长为，设，记，则的值域为 ．

六、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数满足，是虚数单位.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
16．已知向量，，，且，．
(1)求向量、；
(2)若，，求向量，的夹角的大小.
17．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求.
18．如图，已知两条公路，的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁，异于点处设两个销售点，且满足，千米，千米，设.
(1)试用表示，并写出的范围；
(2)当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小即工厂与学校的距离最远注：
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④.
(1)设，求和；
(2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由；
(3)设，集合.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题，，故，
故选D
2．【答案】A
【详解】因为，，所以，
则，即，解得，
故选A.
3．【答案】D
【详解】对于A选项，，所以共线，不能作为基底；
对于B选项，，所以共线，不能作为基底；
对于C选项，，所以共线，不能作为基底；
对于D选项，易知不共线，可以作为基底.
故选D.
4．【答案】B
【详解】由正弦定理可得，
，
，
，，
，
得，
可能为锐角，也可能为钝角，
B有两个值，
故选:B.
5．【答案】BC
【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.
B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.
C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.
D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.
故选BC.
6．【答案】A
【详解】由题意，设，
四边形为平行四边形，
，
则，
即，解得，
故.
故选A.
7．【答案】D
【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，
以、为邻边作平行四边形，则，显然，
因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，
于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，，
而，因此有，从而得，
所以是等腰直角三角形.
故选D
8．【答案】D
【详解】如图，以正三角形的高为轴，以内切圆圆心为原点，建立直角坐标系，

因为正三角形边长为2，
根据三角形面积公式得到，
所以内切圆半径为，则设，，
则，
因为，
即，
所以，解得，
则，
因为，则，
则，所以.
故选D
9．【答案】AC
【详解】设
对于A，，
故选项A正确；
对于B，因为，
则，则或，
所以中至少有一个0，
故选项B不正确；
对于C，由复数模的运算性质可知，
，
=
故选项C正确；
对于D，当，则，
，所以
故选项D错误.
故选AC.
10．【答案】AD
【详解】∵，∴是单位向量，设，，则，当，方向相反，即时取等号，∴的最大值为，故A正确；
等价于即，即，∴，故B错误；
与共线的单位向量为，故C错误；
最大，当且仅当向量在向量上的投影最大，即向量与同向，亦即，此时，故D正确.
故选AD
11．【答案】ACD
【详解】
，
，
∴，
设边上的高为，
对于A，根据余弦定理，
，，
，
，当时，即时，等号成立，
所以两边平方可得
,所以的最大值为，故A正确.
对于B，,当时，等号成立，由A可知，
所以，则的最小值为，故B错误；
对于C，周长为，当时，等号成立，，
所以周长的最小值为，故C正确；
对于D，
两边同时除以，，计算可得
的取值范围是，故D正确；
故选ACD.
1.边的范围或最值方法：根据边角的各自特点，利用正（余）弦定理进行合理转化，在利用三角函数的范围或基本不等式进行求解；
2.周长范围或最值方法：周长问题可看作边长问题，解决周长问题可类同求边的范围或最值；
3.角的范围或最值方法：可借助三角函数的有界性，或利用正（余）弦定理把三角转化成边，在结合不等式的相关性质进行求解；
4.面积的范围或最值方法：通常利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后三角函数的有界性或者实数的不等式求解
12．【答案】5
【详解】由（1+i）z=1﹣7i，
得，
则|z|=．
13．【答案】7
【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒
∴ ，
∴由余弦定理可得 ，
，
∵，即 ，
∴ ,解得,
14．【答案】
【详解】

延长，交于，因为为的重心，所以，为中点，
所以，，所以，
，得
，整理得，，设的边长为1，则，，在中，由余弦定理得，，所以，
，因为，所以
，
因为，，所以，，，又，则有
，因为，所以，，因为，
，所以的最小值为，最大值为，所以，
单调递增，则，所以，，即的值域为
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
若是纯虚数，则有，所以.
（2）复数在复平面内对应的点为，
由在复平面上对应的点在第二象限，得，解得，
所以实数的取值范围为.
16．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：因为，，，且，，
所以，，
所以，，
所以，；
（2）解：设向量，的夹角的大小为．
由题意可得，，，
所以，
因为，所以．
17．【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.
【详解】试题分析：（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可
试题解析：（1）根据正弦定理，设===k（k>0）．
则a=ksinA，b=ksinB，c=ksin C．
代入+=中，有+=，变形可得
sin Asin B=sinAcs B+cs Asin B=sin（A+B）．
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）="sin" C，
所以sin Asin B=sinC．
（2）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有cs A==．
所以sin A==．
由（Ⅰ），sin Asin B="sin" Acs B+cs Asin B，所以sin B=cs B+sin B，
故tan B==4．
考点：余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理
18．【答案】(1)
(2)当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小
【详解】（1）如图，，
在中，由正弦定理得：，
；
（2）在中，，
，
当且仅当，即时，取得最大值36，即取得最大值6.
当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小.
19．【答案】(1)；
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）由，
得，；
（2）设，，，、、、、、，
，，，
，
因为，，
所以，
，故正确；
（3）不妨令，则，
则
，
当，时取得最小值2，
此时，
设满足条件的，， ，
则，，