广东省佛山市南海区罗村高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市南海区罗村高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知等差数列中，，则等于（ ）
A. 13B. 16C. 15D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】利用计算公差，根据等差数列的通项公式即可得到结果.
【详解】由得，，故，
∴.
故选：D.
2. 在等比数列中，已知，，则公比（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等比数列的性质得到，即可求出公比.
【详解】由已知有，所以，从而.
故选：D．
3. 已知函数的导函数为，若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】.
故选：B.
4. 曲线在处的切线倾斜角是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可.
【详解】设曲线在处的切线倾斜角为，
因为，则.
所以曲线在处的切线倾斜角是，
故选：D.
5. 函数的单调增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得.
【详解】由求导得，，
则当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减，
故函数的单调递增区间为.
故选：D.
6. 已知等差数列公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】因为，，，
由成等比数列，得，解得，
所以，
则，
则.
故选：D.
7. 已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可.
【详解】 ，若函数在区间上单调递减，
即在上恒成立，
即在[1,2]上恒成立.
令，则在上单调递减，,
所以,,
即
故选：C.
8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得.
【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得：
第1次还款后欠银行贷款为，
第2次还款后欠银行贷款为，
…，
第12次还款后欠银行贷款为
，
因贷款12个月还清，所以，即，
所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据导数几何意义和常用函数的导数对选项一一分析即可.
【详解】对于A，由，可得，无解，所以A不符合题意；
对于B，由，可得，有解，所以B符合题意；
对于C，由，可得，有解，所以C符合题意；
对于D，由，可得，有解，所以D符合题意.
故选：BCD.
10. 已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. S16为Sn的最小值
C. D. 使得成立的n的最大值为33
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知条件求得，结合等差数列前项和公式确定正确选项.
【详解】，
当时，，
当时，，也符合上式，所以，A正确.
由于开口向下，对称轴为，所以是的最大值，B错误.
由解得，
所以，C正确.
，所以使成立的的最大值为，D错误.
故选：AC
11. 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（ ）
A.
B.
C. 是奇函数
D. 当与和共有3个交点时，
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，根据定义计算得到；B选项，利用求导法则计算出答案；C选项，根据函数的奇偶性进行判断；D选项，先根据导函数得到和的单调性和极值最值情况，从而数形结合得到答案.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，的定义域为R，且，
是奇函数，C正确；
D选项，的导数为，令，则，
又为增函数，故当时，，当时，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
故，
由于在上单调递增，且当时，，
当时，，
当与和共有3个交点时，，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等差数列中，若，则的值为__________．
【答案】40
【解析】
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由可得，故，
则，
故答案为：40
13. 已知函数，则的极小值为______
【答案】
【解析】
【分析】对求导，得到，再利用极值的定义及求极值的步骤，即可求解.
【详解】易知函数的定义域为，由题知，
令，得到，当时，，当时，，
所以在处取得极小值，极小值为，
故答案为：.
14. 等差数列，的前项和分别为，，且，则_________；若的值为正整数，则_________．
【答案】 ①. ②. 或.
【解析】
【分析】由等差数列的性质结合前项和公式可得，代入化简即可得出答案；又，要使的值为正整数，则或或，求解即可.
【详解】由等差数列的性质可得：，，
，因为，
所以；
因为，
所以,
要使的值为正整数，所以为的约数，
所以或或，因为，所以或.
故答案为：；或.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
15. 已知公差的等差数列满足，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求
【答案】（1）
（2）20
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式表达和成等比数列，解出，即可求解；
（2）求出，再并项求和即可.
【小问1详解】
解：由题设，
因为成等比数列，即，
所以，
由，可解得
所以
【小问2详解】
解：因为，
所以
.
16 已知函数．
（1）若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）
（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解.
【小问1详解】
，则
即解得，经验证满足题意，
【小问2详解】
令解得或
1°当时，在上单调递增
2°当时，在，上单调递增，上单调递减
3°当时，在，（上单调递增，上单调递减
17. 已知函数
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）指出极值点的个数，并说明理由.
【答案】（1）
（2）在，单调递增，在单调递减
（3）2个，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）由（1），求得，结合和，即可求解；
（3）由（2）中函数得到单调性，分，和，三种情况讨论，结合零点的存在性定理，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得其定义域为，且，
可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即.
【小问2详解】
解：由（1）知，可得，
令，即，解得或，
当，；当，；当，，
所以函数在，单调递增，在单调递减.
【小问3详解】
解：函数有2个极值点，理由如下：
由（2）知，①当时，函数在区间上单调递增，
且，，
所以存在唯一，使；
②当时，函数在区间上单调递减，
且，，
所以存在唯一，使；
③当时，在区间上单调递增，
且，恒有，故该区间内无零点，
综上可得：当，；当，；当，，
所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有2个极值点.
18. 已知数列的前项和满足：,．
（1）求；
（2）若，求的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，求出的值，当时，由可得，作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）对任意的，计算出，问题转化为求数列的前项和，利用错位相减法结合分组求和可求得.
【小问1详解】
因为数列的前项和满足：，
则，则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
令，可得，则，解得，
所以，，且，
所以，数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，，故.
【小问2详解】
因为，
对任意的，，
问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为，
，
则，
上式下式得
，
化简得，
因此，.
19. 已知数列满足，，设.
（1）写出，，并证明是一个等比数列：
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），证明见解析；
（2），；
（3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由题可得，，然后由与关系可完成证明；
（2）由（1）可得为奇数时，，后由为偶数时，可得数列的通项公式；
（3）由（2），若，，成等比数列，可得关于的等式，即可完成判断.
【小问1详解】
由题.
因为，
所以，
因为，所以，
则为以为首项，公比为2的等比数列；
【小问2详解】
由（1）可知，
当为奇数时，，故
当为偶数时，，
综上，，；
【小问3详解】
由（2），，，.
若，，成等比数列，则，
等式左边为奇数，右边为偶数，故该等式不成立，
则不存在正整数使，，成等比数列.