广东省佛山市南海区罗村高级中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市南海区罗村高级中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列中，，则等于（ ）
A．13B．16C．15D．14
2．在等比数列中，已知，，则公比（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的导函数为，若，则（ ）
A．1B．2C．D．-2
4．曲线在处的切线倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
6．已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ）
A．元B．元C．元D．元
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．S16为Sn的最小值
C．D．使得成立的n的最大值为33
11．意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．当与和共有3个交点时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．在等差数列中，若，则的值为 ．
13．已知函数，则的极小值为
14．等差数列，的前项和分别为，，且，则 ；若的值为正整数，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知公差的等差数列满足，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求
16．已知函数．
(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；
(2)讨论的单调性．
17．已知函数
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)指出极值点的个数，并说明理由.
18．已知数列的前项和满足：,．
(1)求；
(2)若，求的前项和．
19．已知数列满足，，设.
(1)写出，，并证明是一个等比数列：
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由得，，故，
∴.
故选D.
2．【答案】D
【详解】由已知有，所以，从而.
故选D．
3．【答案】B
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】.
故选B.
4．【答案】D
【详解】设曲线在处的切线倾斜角为，
因为，则.
所以曲线在处的切线倾斜角是，
故选D.
5．【答案】D
【详解】由求导得，，
则当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减，
故函数的单调递增区间为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】因为，，，
由成等比数列，得，解得，
所以，
则，
则.
故选D.
7．【答案】C
【详解】 ，若函数在区间上单调递减，
即在上恒成立，
即在[1,2]上恒成立.
令，则在上单调递减，,
所以,,
即
故选C.
8．【答案】C
【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得：
第1次还款后欠银行贷款为，
第2次还款后欠银行贷款为，
…，
第12次还款后欠银行贷款为
，
因为贷款12个月还清，所以，即，
所以.
故选C.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，由，可得，无解，所以A不符合题意；
对于B，由，可得，有解，所以B符合题意；
对于C，由，可得，有解，所以C符合题意；
对于D，由，可得，有解，所以D符合题意.
故选BCD.
10．【答案】AC
【详解】，
当时，，
当时，，也符合上式，所以，A正确.
由于开口向下，对称轴为，所以是的最大值，B错误.
由解得，
所以，C正确.
，所以使成立的的最大值为，D错误.
故选AC.
11．【答案】AC
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，的定义域为R，且，
是奇函数，C正确；
D选项，的导数为，令，则，
又为增函数，故当时，，当时，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
故，
由于在上单调递增，且当时，，
当时，，
当与和共有3个交点时，，D错误.
故选AC.
12．【答案】40
【详解】由可得，故，
则.
13．【答案】
【详解】易知函数的定义域为，由题知，
令，得到，当时，，当时，，
所以在处取得极小值，极小值为.
14．【答案】 或.
【详解】由等差数列的性质可得：，，
，因为，
所以；
因为，
所以,
要使的值为正整数，所以为的约数，
所以或或，因为，所以或.
15．【答案】(1)
(2)20
【详解】（1）解：由题设，
因为成等比数列，即，
所以，
由，可解得
所以
（2）解：因为，
所以
.
16．【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【详解】（1），则
即解得，经验证满足题意，
（2）
令解得或
1°当时，在上单调递增
2°当时，在，上单调递增，上单调递减
3°当时，在，（上单调递增，上单调递减
17．【答案】(1)
(2)在，单调递增，在单调递减
(3)2个，理由见解析
【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即.
（2）解：由（1）知，可得，
令，即，解得或，
当，；当，；当，，
所以函数在，单调递增，在单调递减.
（3）解：函数有2个极值点，理由如下：
由（2）知，①当时，函数在区间上单调递增，
且，，
所以存在唯一，使；
②当时，函数在区间上单调递减，
且，，
所以存在唯一，使；
③当时，在区间上单调递增，
且，恒有，故该区间内无零点，
综上可得：当，；当，；当，，
所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有2个极值点.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为数列的前项和满足：，
则，则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
令，可得，则，解得，
所以，，且，
所以，数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，，故.
（2）因为，
对任意的，，
问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为，
，
则，
上式下式得
，
化简得，
因此，.
19．【答案】(1)，证明见解析；
(2)，；
(3)不存在，理由见解析.
【详解】（1）由题.
注意到，因为为奇数，所以，
因为为偶数，所以，
所以为以为首项，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可知，
当为奇数时，，故，
当为偶数时，，
综上，，；
（3）由（2），，，.
若，，成等比数列，则，
等式左边为奇数，右边为偶数，故该等式不成立，
则不存在正整数，使，，成等比数列.