广东省佛山市南海区艺术高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

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高一级数学科试卷
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟
一､单选题（共40分）
1 已知，，，则实数（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据共线向量的坐标表示即可求得结果.
【详解】已知，，所以，解得：
故选：B
2. 下列命题正确的是（ ）
A. 平面内所有的单位向量都相等B. 模为0的向量与任意非零向量共线
C. 平行向量不一定是共线向量D. 若满足，且同向，则
【答案】B
【解析】
【分析】结合单位向量、零向量、平行向量的意义逐项判断.
【详解】对于A，单位向量的模为1，方向不一定相同，A错误；
对于B，模为0的向量与任意非零向量共线，B正确；
对于C，平行向量一定是共线向量，C错误；
对于D，向量的模能比较大小，而向量不能比较大小，D错误.
故选：B
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦二倍角公式和弦化切思想即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：B.
4. 已知角α的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数定义求出，结合二倍角的正弦公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：D
5. 如图，已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出．
【详解】由，得，而，
所以.
故选：B
6. 若，则实数（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用三角函数的二倍角公式以及两角差的正弦对原式进行变换即可求出的值.
【详解】解：，
即
.
故
故选：C
7. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性与单调性判断．
【详解】选项A中，选项B中，选项C中，选项D中，排除AB，
时，，递减，则递增，
时，，递增，则递减，
故选：C．
8. 在中，设，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 边上的高是
C. 外接圆的周长是D. 内切圆的面积是
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积公式、余弦定理、三角形面积公式、正弦定理以及三角形内切圆相关知识，结合已知条件，来逐一分析各个选项.
【详解】对于A，，解得，故A正确，
对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确；
对于C，由B知，，所以外接圆的周长是，故C正确；
对于D，由等积法知，，故D不正确.
故选：D.
二､多选题（共18分）
9. 如果是第二象限的角，下列各式中不成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于，所以AD选项不成立.
由于第二象限角，所以，，
所以B选项成立，C选项不成立.
故选：ACD
10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量是单位向量
B. 与可以作为基底
C. 在上的投影向量为
D. 与的夹角为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据单位向量的定义及向量模长的坐标运算即可判断选项A；根据基底的定义即可判断选项B；根据投影向量的定义与计算公式即可判断选项C；根据向量夹角的定义及坐标运算即可判断选项D.
【详解】对于A，，，故向量不是单位向量，选项A错误；
对于B，∵向量与是不共线的非零向量，故向量与可以作为基底，选项B正确；
对于C，在上的投影向量为，选项C正确；
对于D，由题知.
，，即与的夹角为，选项D正确；
故选：BCD.
11. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数
C. 的图象关于直线对称
D. 若方程在上有且只有6个根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象得到 再由得到，然后由的图象过点求得解析式后逐项判断.
【详解】由图象得，，而，则，
由的图象过点，得，解得，
而的周期有，即，解得，
因此，A正确；
函数的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是：
，非奇非偶函数，B错误；
，C正确；
显然，
若方程在上有且只有6个根，则，D正确.
故选：ACD
三､填空题（共15分）
12. 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由三点共线可得，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因三点共线，故.
，
.
故答案为：
13. 已知函数为奇函数，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数的定义求解即可.
【详解】函数为奇函数，其定义域为，所以，
所以，
即，
所以，所以.
故答案为：
14. 已知的内角的对边分别为，面积为，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式及正弦定理化边为角，计算即可得解.
【详解】由，得，
又因为，所以，
由正弦定理得，
由，则，
解得或，
因为，所以.
故答案为：.
四､解答题（共77分）
15. 已知向量与的夹角为，且，求
（1）
（2）
（3）设向量与的夹角为，求的值.
【答案】（1）4 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由数量积的定义代入计算，即可得到结果；
（2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，结合数量积的运算律以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由（1）得，
.
【小问3详解】
由（1）（2）得，
.
16. 已知函数．
（1）写出函数的最小正周期以及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值；
（3）时，函数有零点，求的取值范围．
【答案】（1）；，.
（2）当时，取得最小值为.
（3）
【解析】
【分析】结合余弦函数的图象和性质可求解.
【小问1详解】
函数的最小正周期为：；
由，，
得函数的单调递减区间为：，.
【小问2详解】
因为，所以，
所以当时，取得最小值为.
【小问3详解】
当时，，.
方程有解，所以.
即函数有零点，得.
17. 已知平面向量．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为锐角，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算出向量，，再根据向量垂直列出方程求解即可.
（2）先根据与的夹角为锐角得出，且夹角不为，再分别求出和夹角不为时的取值范围即可.
【小问1详解】
因为
所以，.
又因为，所以，解得.
【小问2详解】
因为，
所以.
因为与的夹角为锐角，
所以，且夹角不为.
当时，，解得；
当与的夹角为时，，解得，
故与的夹角不为时，；
综上可得：的取值范围是.
18. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化弦为切，再代入计算即可；
（2）先运用诱导公式化简，再利用代换化为的齐次分式并化弦为切代入计算即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
.
19. 已知A、B、C、D为平面四边形的四个内角．
（1）若，，求；
（2）如图，若，，，，.
①证明：；
②求的值．
【答案】（1）10 （2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）利用三角形全等得到，再利用余弦定理即可求得结果.
（2）①利用二倍角公式与同角三角函数的商数关系即可证明，
②先对所求式子化简得到，原式即是求的结果，再多次利用余弦定理即可求得结果.
小问1详解】
易知四边形是平行四边形
在中，由余弦定理得
同理在三角形得到：,
因为，，且有公共边AC，所以,
所以,又,所以,即,
所以在平行四边形中,,
故，
【小问2详解】
证明：①等式左边==右边
所以等式成立．
②由，得，，
由①可知：
，
连结BD，
在中，由余弦定理有，
，，，，
在中，由余弦定理有，
所以，
则：
又，可知，
于是，
连结AC，同理可得：，
又，可知，
于是
所以