广东省佛山市南海中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市南海中学2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ）
A．33B．31C．39D．27
2．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A．6B．2C．3D．
3．已知函数，则（ ）
A．1B．C．2D．
4．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．在上既有极大值也有极小值，实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．下列四个不等式①，②，③，④中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．2160的不同正因数个数为（ ）
A．42B．40C．36D．30
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
11．设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有 种.
13．已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是 ．
14．函数上的点到直线的最短距离是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)写出函数的单调区间；
(2)求函数在上的最大值、最小值．
16．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
17．如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
18．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求正实数的取值范围.
19．已知函数在处取得极值
(1)求实数的值
(2)求证：
(3)证明：对于任意的正整数，不等式都成立.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由已知可得，所以，
所以时物体的瞬时速度是.
故选.
2．【答案】A
【详解】由题意，，
即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6.
故选A.
3．【答案】A
【详解】由于函数，则其导函数为：，
代入，可得：，解得：.
故选A．
4．【答案】A
【详解】因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故选A.
5．【答案】A
【详解】由求导得，
因函数在上既有极大值也有极小值，故必有两个相异实根，即，解得.
不妨设方程的两根为且则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，单调递增，
即在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意.
故选A.
6．【答案】C
【分析】首先证明、，利用判断①②③，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可说明④.
【详解】令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以（当且仅当时取等号）；
令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以（当且仅当时取等号）；
对于①：当时，所以，故①正确；
对于②：因为（当且仅当时取等号），所以，当且仅当时取等号，故②正确；
对于③：（当且仅当时取等号），故③错误；
对于④：令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以（当且仅当时取等号），故④正确；综上可得①②④正确．
故选C.
【思路导引】结合题中的4个不等式，分别构造函数，，并求导，计算出函数的单调区间和最小值，从而判断不等式的正误.
7．【答案】D
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选D.
8．【答案】B
【详解】，
所以2160的不同正因数个数为：
.
共40个.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】根据基本初等函数的导数公式有：，A正确；
根据复合函数求导公式：，B错误；
根据基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则有：，C正确；
根据基本初等函数的导数公式有：，D错误.
故选AC.
10．【答案】AB
【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C错误；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误．
故选AB.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，由于，故
.
所以，从而对有，所以是的极大值点，故A错误；
对于B，当时，由于，故
，
且由，，可得.
故B正确；
对于C，当时，由于，故由，可知
，
所以，故C正确；
对于D，当时，有，故
，
所以，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】9
【详解】解：由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，
若从第二层取书，则有3种不同的取法，
若从第三次取书，则有2种不同的取法，
所以不同的取法有种.
13．【答案】
【详解】令，得．对求导，得，
所以，故曲线在点处的切线方程为．
14．【答案】
【详解】要使上的点到直线的最短，则该点切线平行于，
由且，令，
∴，解得（舍）或，
∴切点为，故最短距离为.
15．【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为.
(2)最大值为，最小值为.
【详解】（1）由题意，函数的定义域为，，得或，当时，或；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）由（1）知，，，的变化情况如下表：
所以函数的极大值为，极小值为，又，所以函数在上的最大值为，最小值为.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意，数列满足，即，
则，
又由，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，得到，
所以数列的前项和.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以， 根据平面知识可知，
又平面，平面，所以平面．
（2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，
因为平面，所以平面平面，而平面平面，
所以平面，又，所以平面，
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
即，即．
因为，设，则，由等面积法可得，，
又，而为等腰直角三角形，所以，
故，解得，即．
18．【答案】（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）且，
∴时，即单调递增；
时，有，即在上单调递增；有，即在上单调递减；
综上，时在上单调递增；时在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题设，，即恒成立，
令，则，
∴由（1）知：时有极小值也是最小值，故只需即可.
若，则，即在上递减，又，
∴时，，即恒成立.
∴正实数的范围为.
19．【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)利用建立方程求解即可；
(2)利用导数考查函数在定义域上的单调性，找到最大值点，求值即可；
(3)根据（2）的结论，得到，令，则有，
利用此不等式即可证明.
【详解】（1）
由题知，，
为的极值点，
（2）由（1）知，，定义域为,
则，
令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
故恒成立.
（3）因为，可化为，此不等式恒成立，
令，则有，
即，
，
即
即.极大值
极小值