广东省东莞市众美中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份广东省东莞市众美中学2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．若满足且与同向，则
C．对于任意向量，必有D．平行向量不一定是共线向量
2．已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知菱形的边长为2，,点是上靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知向量，若间的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
6．中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ）

A．10B．13C．18D．26
8．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A．13B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．B．复数的虚部为
C．若复数为纯虚数，则D．
10．已知的内角A，B，C，所对的边分别为,,，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是钝角三角形
B．若，则
C．若，则是锐角三角形
D．若，，，则只有一解
11．在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的面积是B．若，则的外接圆半径是
C．若，则D．的最小值是
三、填空题（本大题共3小题）
12．在中，若，，，则 ；
13．已知是虚数单位，若复数对应的点在虚轴上，则的值是
14．已知点，且，若点在第一､三象限的角平分线上，则的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
16．已知复数z=m＋2i是方程的根（i是虚数单位，m∈R）
(1)求|z|：
(2)设复数，（是z的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求b，c的值．
18．为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆上. 记.
(1)为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于 km2，则应设计在什么范围内?
(2)若BC = AD， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值.
19．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为

(1)在斜坐标系中的坐标，已知，求
(2)在斜坐标系中的坐标，已知，，求的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】A，方向相同，模相等的向量为相等向量，单位向量的方向不一定相同，故A错误；
B，向量模能比较大小，向量不能比较大小，故B错误；
C，根据向量加法的几何意义可得，故C正确；
D，平行向量也是共线向量，故D错误.
故选C
2．【答案】C
【详解】由，得
，
故选C.
3．【答案】C
【详解】若，则为纯虚数；
若为纯虚数，，则有，解得.
所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件.
故选C
4．【答案】A
【详解】如图，作，，因为是上靠近的三等分点，
所以也都是三等分点，
所以，
，
故选A.
5．【答案】A
【详解】因为，间的夹角为，
所以，
又，
所以，
故选A
6．【答案】C
【详解】，则，
即，
因为，所以，所以，
故选C.
7．【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求出与，再根据平面向量的运算可得出结论．
【详解】是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选B．
8．【答案】B
【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）
则，可得，，
所以，即，故，，
所以，当且仅当即时等号成立．
故选B．
9．【答案】AD
【详解】因为，A正确；
复数的虚部为，B不正确；
若，则，，C不正确；
设，所以，
，D正确.
故选AD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，因为的三个角满足，所以由正弦定理化简得，设，为最大边，由余弦定理得，则为钝角，即是钝角三角形，故A正确；
对于B，由及正弦定理得，解得，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，所以A为锐角，但无法确定B和是否为锐角，故C错误；
对于D，由正弦定理得，解得，因为，所以，所以只有一解，故D正确.
故选：ABD.
11．【答案】ACD
【详解】因为，角的平分线交于，所以，，所以，，
由正弦定理得，
所以，
所以，故A正确；
因为，所以，设的外接圆半径是，由正弦定理，，所以，故B错误；
因为，由正弦定理，因为和互补，所以，所以，故C正确；
设，则，
因为，
所以
若，则，
若，则
，令，，
，当且仅当，即或时，则或，故或（舍去），
综上：当为等边三角形时，的最小值是，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为，又，所以，则，解得（负值已舍去），
由正弦定理，即，解得.
13．【答案】
【详解】因为对应点在虚轴上，
所以
14．【答案】/0.5
【详解】，则点坐标为，
由于点在第一､三象限的角平分线上，则，解得．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，所以，所以；
（2）由已知，
又，所以，解得.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知
∴
即
，
（2）
∴
17．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由正弦定理及．
得，
即，
即，
因为，所以，
所以，所以．
（2）由题意得的面积，所以①．
又，且，所以②．
由①②得．
18．【答案】(1)
(2)，10km
【详解】（1）解：，
，
由题意， ，
，
因为，所以，
解得；
（2）由BC = AD可知，
，
故，
，
从而四边形ABCD周长最大值是10km， 当且仅当， 即时取到.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知： ,
,
∴.
（2）由题意可知,
∴,
由（1）可得：,
令 ,
又因为,
且，所以，
，∴，
又因为函数在单调递增，
即：时，函数取到最大值3，
即，则有，
∴当时，的最大值为.