广东省东莞市东莞中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省东莞市东莞中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，点在线段上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．2B．C．1D．
4．已知、是两个不共线的向量，且向量，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
5．已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值为
A．B．C．D．
6．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，．粒子B相对粒子A的位移为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以，由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图直线与的边、分别相交于点、．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，设是平面内相交成的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．下列说法正确的是（ ）
A．零向量与任意向量共线
B．已知非零平面向量，，若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
C．已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则
D．平面上三点的坐标分别为，，，若四边形为平行四边形，则的坐标是
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则为等边三角形
B．若点是边上的点，且，则的面积是面积的
C．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
D．若，则为锐角三角形
三、填空题
12．设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 .
13．如果向量满足，则与的夹角是 ．
14．如图，在直角中，，为上的点，为上的点，若，，，，则 ．
四、解答题
15．实系数一元二次方程有虚根，另一根为.
(1)求实数的值；
(2)求的值.
16．在中，，，，分别为边、上的点，且，.
（1）用向量方法求证：；
（2）求.
17．在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了米后，到达点，在点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图）.
第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对国贸中心，将镜子前移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.
实际操作中，第一小组测得米，，，最终算得国贸中心高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心高度为；假设他们测量者的“眼高”都为米.
（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：，,答案保留整数结果）；
（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.
18．已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求周长.
条件①：中线长为；条件②：的面积为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意得，，
所以．
故选B
2．【答案】A
【详解】在中，由，得，则，
所以.
故选A
3．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以.
故选D
4．【答案】B
【详解】对于A，因为，
所以，所以三点不共线，故A错误；
对于B，因为
所以，
所以，又是与的公共点，
所以三点共线，故B正确；
对于C，因为，
所以，
所以，所以三点不共线，故C错误；
对于D，因为，
所以，所以三点不共线，故D错误.
故选B
5．【答案】C
【详解】 ,选C.
点睛：平面向量数量积的类型及求法
（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.
（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
6．【答案】C
【详解】由向量，，可得粒子相对粒子的位移为，
可得且，
所以 在上的投影向量为.
故选C.
7．【答案】A
【详解】如下图所示，过点作，
在中，，取单位向量，
则，即，
，，，
所以，，即.
故选A.
8．【答案】B
【详解】由平面向量数量积的定义可得，
由题意可得
所以，
，
设，
因为，所以，
，，
由
可得，
解得（舍去），，
由，
因为所以
故选B.
9．【答案】AD
【详解】A选项，，故A选项正确.
B选项，的虚部为，故B选项错误.
C选项，，对应坐标为在第三象限，故C选项错误.
D选项，表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故D选项正确.
故选AD
10．【答案】ABD
【详解】对于选项A，根据零向量的定义可知，零向量与任意向量共线，故选项A正确；
对于选项B，由不是基底，所以，
则，解得，故选项B正确，
对于选项C，由，得到，所以或，故选项C错误；
对于选项D，设，则由，，
所以，解得，所以，故选项D正确，
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对于选项A，因为，，分别为单位向量，
所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为，
即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A正确；
对于B，已知，则.
这说明在线段BC上，且，那么.
因为和高相同，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比等于它们底边MC与BC之比，即的面积是面积的，选项B错误.
对于C，因为，故，即，又，
所以，故，由于，故，
同理可得，结合，
故，可得，故为等边三角形，C正确；
对于D，，
而，所以A，B，C都为锐角，D正确；
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为为纯虚数，所以，即，
所以.
13．【答案】/
【详解】因为，设与的夹角为，
则
，
得，因为，所以，
即与的夹角是
14．【答案】/
【详解】由题意，，
所以有，
一方面在中运用正弦定理得，即，
另一方面由以及，
得，又，
所以;
又在中运用正弦定理得，
即，所以；
注意到，
所以有.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入方程中得，即，根据复数相等可解得答案；
（2）由（1）利用一元二次方程韦达定理求解．利用复数代数形式的乘除运算化简得到答案；
【详解】（1）根据题意得，化简，
根据复数相等可得，解得.
（2）由（1）可知，
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）因为，所以,
又因为，所以，
因为,，所以，
所以，
即，得证.
（2）由题意,
，
由勾股定理可得，
所以.
17．【答案】（1）见解析（2）见解析
【详解】（1）对于第一小组，利用锐角三角函数解答；第二小组利用三角形相似可求；
（2）从测量难易程度以及数据的误差，对比分析.
【详解】解：（1）第一小组：在中得，；在中得，
因为即
得米
米
第二小组：,得
同理得，
因为得
所以=米
所以米
（2）优点：①测量方法较好理解，普适性强；②计算思路简洁；
不足：①的距离较长，测量要求高，难度大；②角度测量较难精准，容易造成误差；③场地要求较高；
第二组方案
优点：①测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）；②相对距离短，比较好测量；③只需测量距离，需要的工具少；
不足：①两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；②镜面放置较难保持水平，容易造成误差；③如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误差；④人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差
18．【答案】（1）
（2）选择见解析，
（3）
【详解】（1）中，已知，
由正弦定理得，
又，
则有，
由，，得，
则有，
由，有，所以，得．
（2）若选择条件①：
因为，由余弦定理得，
又，有，得，
由，解得，或，，所以周长为.
若选择条件②；
由，得，
又的面积，得，
由，解得，或，，所以周长为.
（3）由（1）知，所以，
因为，
又为锐角三角形，则，得到，
所以，则，所以的取值范围为.
19．【答案】（1）
（2），
（3）存在，
【详解】（1）解：由向量的相伴函数为，
当时，可得，
又由，可得，所以，
所以.
（2）解：由，
可得函数的相伴特征向量，
所以与方向相同单位向量为.
（3）解：因为函数的相伴特征向量，
所以，
，
设点，因为，
所以，
若，则，
即，，
因为，则，故，
又因为，故当且仅当时，成立，
故在的图象上存在一点，使得.