2024-2025学年广东省东莞市翰林高级中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省东莞市翰林高级中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=2i+11+i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知直线l1，l2，平面α，l1//l2，l1//α，那么l2与平面α的关系是( )
A. l2//αB. l2⊥αC. l2//α或l2⊂αD. l2与α相交
3.下列叙述中正确的是( )
A. 已知向量a，b，且a//b，则a与b的方向相同或相反
B. 若|a|=|b|，则a=b
C. 若a//b，b//c，则a//c
D. 对任一非零向量a，aa是一个单位向量
4.已知在“斜二测”画法下，▵ABC的直观图是一个边长为4的正三角形，则▵ABC的面积为( )
A. 6B. 8 6C. 16 6D. 4 3
5.下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，D，E，F为正方体的三个顶点，则能得出平面ABC//平面DEF的是( )
A. B.
C. D.
6.已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( )
A. a=0，b=e1−e2B. a=3e1−3e2，b=e1−e2
C. a=e1−2e2，b=e1+2e2D. a=e1−2e2，b=2e1−4e2
7.已知某圆锥的侧面积为4π，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的底面半径为( )
A. 33B. 2 33C. 3D. 4 33
8.已知复数z1=2+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，若复平面内满足z−z1=p+q的点Z的集合为图形M，则M围成的面积为( )
A. πB. 16πC. 25πD. 81π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,−2),b=(1,3)，则下列结论正确的是( )
A. a−b=(0,−5)B. |a+b|=5
C. 向量a与b的夹角为π4D. 若a在b上的投影向量为−12,−32
10.对于▵ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 若sin2A+sin2BB，则sinA>sinB
C. 若b=8,c=10, B=60°，则符合条件的▵ABC有两个
D. 在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积
11.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列说法正确的是( )
A. A1C⊥BD
B. 直线BC1与平面A1B1CD所成的角为30°
C. 三棱锥C1−A1BD的体积为16 23
D. M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1内的动点．若MP//平面AB1C，则MP的最大值为4 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简AC−BD+CD−AB=
13.已知复数z在复平面内对应的点在射线y=2x(x≥0)上，且|z|= 5，则复数z的虚部为 ．
14.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,2)，b=(−3,2)．
(1)若ta+2b与a+b垂直，求实数t的值；
(2)若ka+2b与2a−4b的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若asinB= 33bcsA．
(1)求角A的大小；
(2)若a=4,b+c=6，求▵ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知复数z=m2−1+(m−1)i(m∈R)
(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；
(2)已知−3+2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，其中p，q∈R，求p+q的值．
18.(本小题17分)
已知四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB/\!/CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= 3，∠ACB=90°．

(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
19.(本小题17分)
常用测量距离的方式有3种．设Ax1,y1,Bx2,y2，定义欧几里得距离d(A,B)= x1−x22+y1−y22，定义曼哈顿距离m(A,B)=x1−x2+y1−y2，定义余弦距离e(A,B)=1−cs(A,B)，其中cs(A,B)=csOA,OB(O为坐标原点)．
(1)若A(1,2),B(2,1)，求A,B之间的欧几里得距离d(A,B)和余弦距离e(A,B)；
(2)若点P(x,y)在函数y=3x的图象上且x∈Z，点Q的坐标为(1,27)，求m(P,Q)的最小值；
(3)若C 4x−x2,x−2,D−1, 33，求e(C,D)的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.B
6.C
7.B
8.A
9.AD
10.ABD
11.AD
12.0
13.−2
14.315r
15.解：(1)因为a=(1,2)，b=(−3,2)，
所以ta+2b=(t−6,2t+4)，a+b=(−2,4)，
因为ta+2b与a+b垂直，所以ta+2b⋅a+b=0，
即−2(t−6)+4(2t+4)=0，解得t=−143．
(2)ka+2b=(k−6,2k+4)，2a−4b=(14,−4)，
因为ka+2b与2a−4b的夹角为钝角，
所以ka+2b⋅2a−4b