2024-2025学年广东省东莞市翰林实验学校高一下学期3月份月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省东莞市翰林实验学校高一下学期3月份月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则z=( )
A. −1+2iB. 1+2iC. 1−2iD. −1−2i
2.在▵ABC中，若A=105∘，C=30∘，b=2 2，则边c=( )
A. 2B. 3C. 2D. 1
3.若a,b是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是( )
A. a−b,b−aB. 2a+b,a+12b
C. 2b−3a,6a−4bD. a⃗+b⃗,a⃗−b⃗
4.在▵ABC中，若a=25，b=30，A=42°，则此三角形解的情况为( )
A. 无解B. 有两解C. 有一解D. 有无数解
5.关于非零向量a，b，下列命题中，正确的是( )
A. 若a=b，则a=bB. 若a=−b，则a//b
C. 若a//b，b//c，则a//cD. 若a>b，则a>b
6.平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(1,3)，C(3,4)，则顶点D的坐标为( )
A. (0,2)B. (2,2)C. (2,1)D. (−2,3)
7.▵ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若S▵ABC=a2+b2−c24且(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，则▵ABC的形状是( )
A. 有一个角是π6的等腰三角形B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形D. 等腰直角三角形
8.边长为2的正三角形ABC的内切圆上有一点P，已知AP=xAB+yAC，则2x+y的取值范围是( )
A. 3− 3,3+ 3B. 13,1
C. 13,1D. 3− 33,3+ 33
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1，z2，下列结论正确的有( )
A. z1+z2=z1+z2B. 若z1z2=0，则z1=z2=0
C. z1z2=z1z2D. z12=z12
10.已知向量a=(csα,sinα)，b=(2,1)，则下列命题正确的是( )
A. |a−b|的最大值为 5+1
B. 若|a+b|=|a−b|，则tanα=12
C. 若e是与b共线的单位向量，则e=(2 55, 55)
D. 当f(α)=a⋅b取得最大值时，tanα=12
11.已知▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，其中a为定值．若▵ABC的面积S=12a2，则( )
A. tanA的最大值为43B. b2+c2的最小值为2a2
C. ▵ABC周长的最小值为 5+1aD. bc的取值范围是 5−12, 5+12
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知复数z满足(1+i)z=1−7i(i是虚数单位)，则|z|= ．
13.如图，为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且A,B,C,D四点共圆，则AC的长为 km．
14.如图，已知▵ABC为等边三角形，点G是▵ABC的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E.设AD=λAB,AE=μAC，且λμ≠0.设▵ADE的周长为c1，▵ABC的周长为c2，设t=λμ，记f(t)=c1c2−t，则f(t)的值域为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知复数z满足(1−i)z=2+4mi，(m∈R,i是虚数单位)．
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面上对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
16.已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，c=(2,y)，且a//b，a⊥c．
(1)求向量b、c；
(2)若m=2a−b，n=a+c，求向量m，n的夹角的大小．
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csAa+csBb=sinCc．
(Ⅰ)证明：sinAsinB=sinC；
(Ⅱ)若b2+c2−a2=65bc，求tanB．
18.如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N(异于点A)处设两个销售点，且满足∠A=∠PMN=75°，MN= 6+ 2(千米)，PM=2 3(千米)，设∠AMN=θ．
(1)试用θ表示AM，并写出θ的范围；
(2)当θ为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远).(注：sin75°= 6+ 24)
19.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对z1,z2z1,z2∈C看作一个向量，记a=z1,z2，称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于a=z1,z2,b=z3,z4,z1､z2､z3､z4､λ∈C，我们有如下运算法则：①a±b=z1±z3,z2±z4；②λa=λz1,λz2；③a⋅b=z1z3+z2z4；④a= a⋅a．
(1)设a=1,2−i,b=1+i,2i，求a⋅b和a+b；
(2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论a⋅b+c=a⋅b+a⋅c，判断其是否正确并说明理由；
(3)设α=2+2i,2，集合Ω=p∣p=z1,z2,z2=z1+2,z1,z2∈C,β∈Ω.求α−β的最小值；并证明当α−β取最小值时，对于任意的γ∈Ω,α−β⋅β−γ=0．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.B
5.BC
6.A
7.D
8.D
9.AC
10.AD
11.ACD
12.5
13.7
14.29, 36
15.【详解】(1)由(1−i)z=2+4mi，得z=2+4mi1−i=(2+4mi)(1+i)(1−i)(1+i)=1−2m+(1+2m)i，
若z是纯虚数，则有1−2m=01+2m≠0，所以m=12．
(2)复数z在复平面内对应的点为(1−2m,1+2m)，
由z在复平面上对应的点在第二象限，得1−2m0，解得m>12，
所以实数m的取值范围为m>12．

16.【详解】(1)解：因为a=(1,2)，b=(3,x)，c=(2,y)，且a//b，a⊥c，
所以x−2×3=0，a⋅c=2+2y=0，
所以x=6，y=−1，
所以b=(3,6)，c=(2,−1)；
(2)解：设向量m，n的夹角的大小为θ．
由题意可得，m=2a−b=(2,4)−(3,6)=(−1,−2)，n=a+c=(3,1)，
所以csθ=m⋅n|m||n|=−1×3−2×1 5× 10=− 22，
因为0≤θ≤π，所以θ=3π4．

17.试题解析：(1)根据正弦定理，设asinA=bsinB=csinC=k(k>0)．
则a=ksinA，b=ksinB，c=ksin C．
代入csAa+csBb=sinCc中，有csAksinA+csBksinB=sinCksinC，变形可得
sin Asin B=sinAcs B+cs Asin B=sin(A+B)．
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=，
所以sin Asin B=sinC．
(2)由已知，b2+c2–a2=65bc，根据余弦定理，有cs A=b2+c2−a22bc=35．
所以sin A= 1−cs2A=45．
由(Ⅰ)，sin Asin B=，所以45sin B=45cs B+35sin B，
故tan B=sinBcsB=4．
考点：余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理

18.【详解】(1)如图，∠AMN=θ，
在▵AMN中，由正弦定理得：MNsin75∘=AMsin75∘+θ，
∵MN= 6+ 2,∴AM=4sin75∘+θ,0∘