广东省东莞市翰林实验学校高二下学期3月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省东莞市翰林实验学校高二下学期3月月考数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分：150分考试 时间：120分钟
制卷人：何方 审核：高二数学组
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案.
【详解】由，得，
故由，得，
故选：B
2. 若函数在时取得极值，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】求出导函数，由，解得值，并确定是极值点即可得．
【详解】对函数求导可得，，
∵在时取得极值，所以
此时，
时，，时，，是极值点．
故选：D.
3. 已知函数，则（ ）
A. －12B. 12C. －26D. 26
【答案】A
【解析】
【分析】求导代入可得，进而求得即可
【详解】，故，解得，故，故
故选：A
4. 函数（）的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】求导可得，求即可得解.
【详解】（），
令，解得，
故在上单调递增，
故选：B．
5. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接求出的单调区间，再结合时，，逐一分析各个选项，即可求解.
【详解】因为，则，
当或时，，当时，，
则在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
又当时，，结合图象可知，选项A，B，C错误，选项D正确，
故选：D.
6. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 有极大值B. 有极小值
C. 有极大值D. 有极小值
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的图象，可得函数的单调性，则答案可求.
【详解】函数的图象如图所示，
当时，；当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
有极大值，无极小值，
故选：.
7. 函数的最小值为（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，判断在上的单调性，进而可求最小值.
【详解】，令，因为，解得或，
所以可得函数在和上单调递减，在上单调递增．
因为，所以函数的最小值为．
故选：A．
8. 已知f(x)=，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为
A. B. （）C. D. （0，）
【答案】B
【解析】
【分析】由方程可解得f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；从而可得方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根；再分析函数f（x）的单调性及大致图像即可．
【详解】解方程得，
f（x）＝1或f（x）＝-m﹣1；
解f（x）＝1得x＝0，
故方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0的根；
当x≥1时，
f（x），f′（x）；
故f（x）在（1，e上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；
f（1）＝0，f（e），且x>1时，；
当x＜1时，
f（x）＝在（﹣∞，1）上是减函数；故f（x）的大致图像如下：
故若使方程f（x）＝-m﹣1有3个不是0根，
则0＜-m﹣1；
即m＜-1；所以实数的取值范围为（），
故选B．
【点睛】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，利用导数研究函数的单调性及最值，研究函数零点的分布情况，考查了数形结合思想，函数与方程转化的思想，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据奇函数的判断方法可先排除C，再根据函数导数在上的符号逐项判断ABD.
【详解】易知A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；
对于A，，所以在上单调递增；
对于B，（不恒为零） ，所以在上单调递增；
对于D，，所以在上单调递减．
故选：AB．
10. 已知函数图象上任一点处的切线方程为，那么下列结论正确的有（ ）
A.
B. 在处的切线平行或重合于x轴
C. 切线斜率的最小值为1
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由导数的概念对选项逐一判断
【详解】由题意函数图象上任一点处的切线方程为
，
可得，
对于A，，A正确;
对于B，当时，，故在处的切线平行或重合于x轴，B正确;
对于C，，最小值为，故C错误
对于D，，D错误
故选：AB
11. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ）

A. 函数的极值点的个数为3
B. 函数单调递减区间为
C. 若时，的最大值是2，则t的最大值为4
D. 当时，方程有4个不同的实根
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A：由的图象可知，当时，，再由导函数的符号可判断；
对于B：由图象得当时，，当时，，根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可判断；
对于C：由时，函数的最大值是2可判断；
对于D：作出函数的大致图象可判断．
【详解】解：对于A：由的图象可知，当时，，且当时，，当时，，当时，，当时，，所以0，2，4是函数的极值点，故A选项正确；
对于B：由导函数的正负与函数之间的关系可知，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，，故B选项错误；
对于C：当时，函数的最大值是2，而的最大值不是4，故C选项错误；对于D：作出函数的大致图象如图所示，当时，直线与函数的图象有4个交点，故D选项正确．
故选：AD．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的导函数___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解
【详解】
故答案为：
13. 若直线与曲线相切于点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】将代入得到关于，的方程，当时，导函数的值为，联立解方程即可．
【详解】直线与曲线相切于点，
则，故．
又，当时，，所以，则．
故答案：3
14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解
【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号，
又，令，则有两个不同的实数根，
令，则，
令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.
且当时，当时，且，，
故作出图象.
可得当有两根时
故答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）令，利用导数研究其单调性与最值即可证明；
（2）令gx=x−1−lnxx>0，利用导数研究其单调性与最值即可证明.
【小问1详解】
令，则，
当时，；当时，,
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以.
【小问2详解】
令gx=x−1−lnxx>0，则，
当时，；当时，,
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以.
16. 已知函数.
（1）若函数的图象恒过定点，且在定点处的切线方程与直线平行，求定点的坐标和实数的值；
（2）若函数的图象存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围.
【答案】（1）,的值为;
（2）.
【解析】
【分析】（1）令可求出定点的坐标，由导数的几何意义可得，根据两直线平行对应的斜率相等列方程可求实数的值；
（2）由题意可得有解，分离参数即可求解.
【小问1详解】
令，可得，
所以函数的图象恒过定点.
因为，所以.
因为在定点处的切线方程与直线平行，且直线的斜率为，
所以，解得.
验证，点不在直线上，故成立.
所以定点的坐标为，的值为.
【小问2详解】
，直线的斜率为，
若函数的图象存在与直线垂直的切线，
所以有解，即有解.
因为，所以，即，
所以实数的取值范围是.
17. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；
（2）“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求.
【详解】解：由题意可知函数的定义域为R.
（1）因为.
所以，
由，得，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为.
（2）因为，
所以为一个零点.
所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”.
令，则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，有最小值，时，，时，.
若方程有两个非零实根，则，即.
若，方程只有一个非零实根，
所以.
综上，.
【点睛】本题考查函数极值的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.
18. 已知函数的两个极值点之差的绝对值为.
（1）求的值；
（2）若过原点的直线与曲线在点处相切，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求，设的两根分别为，，由韦达定理可得：，，由题意知，进而可得的值；再检验所求的的值是否符合题意即可；
（2）设，则，由列关于的方程，即可求得的值，进而可得的值，即可得点的坐标.
【详解】由可得：
设的两根分别为，，
则，，
由题意可知：，即，
所以解得：，
当时，，
由可得或，
由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以为极大值点，为极小值点，满足两个极值点之差的绝对值为，符合题意，
所以.
（2）由（1）知，，
设，则，
由题意可得：，
即，整理可得： ，
解得：或，
因为即为坐标原点，不符合题意，所以，
则，
所以.
19. 已知函数.
（1）若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；
（2）当时，求函数在上最大值和最小值；
（3）当时，对任意的正整数，求证：.
【答案】（1）；
（2）最大值，最小值0；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，根据对恒成立，即可由求解,
（2）根据函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值，即可求解最值，
（3）利用（1）的结论，结合可得.
【小问1详解】
由已知：，
依题意：对恒成立，因为，
，对恒成立，即，对恒成立，
即.
【小问2详解】
当时，，
若，则，单调递减，
若，则，单调递增，
故是函数在区间上唯一的极小值点，也就是最小值点，
故.
又，则，
，
，
在上最大值是，
在上最大值为，最小值为0.
【小问3详解】
当时，由（1）知，在是增函数.
当时，令，则，
即.
【点睛】结论点睛：常用的不等式：，.
-1
0
2
4
5
1
2
0
2
1