广东省东莞市东莞实验中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份广东省东莞市东莞实验中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设复数，则的虚部为（ ）
A．4B．-4C．4iD．-4i
2．已知向量，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
3．下面命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则
4．在三角形中，，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
5．已知向量，满足，，，则（ ）
A．3B．C．D．4
6．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ）

A．B．
C．D．
7．已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ）
A．米B．米C．米D．米
二、多选题（本大题共3小题）
9．在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，则点z的集合所构成的图形的面积为
11．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（ ）
A．
B．的周长的最大值为
C．当最大时，的面积为
D．的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在复平面内，复数的模为 .
13．已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围： .
14．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量；
(1)求与的夹角；
(2)求．
16．已知，，，是复平面内的四个点，其中，且向量对应的复数分别为，且．
(1)求；
(2)若复数，，在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求b，c的值．
18．如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
19．在三角形中，点在线段上，平分．
(1)尝试利用等面积法证明角平分线定理，即请证明：；
(2)尝试利用正弦定理证明角平分线定理，即请证明：；
(3)若，，则是多少？
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意复数，则的虚部为-4.
故选B.
2．【答案】B
【详解】向量，则，，
由，得，
所以.
故选B
3．【答案】C
【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误；
对于，向量无法比较大小，故选项错误；
对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确；
对于，若，则，故选项错误.
故选C
4．【答案】A
【详解】由正弦定理得，，解得，
因为，所以或，
又因为，所以，
故选A．
5．【答案】D
【详解】∵向量满足，，，
，，
，
，
故选D
6．【答案】A
【详解】依题意在平行四边形中，，
又是的中点，则，
又与交于点，
所以，则，
所以，
又，
所以
故选A.
7．【答案】A
【详解】由题意，，
所以在上的投影向量为，
故选A．
8．【答案】B
【详解】设，则可得，
由，可得B是AC的中点，所以，
而，则，
，中，由余弦定理可得：，
解得：，所以该建筑的高度米.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】对于A，由于，故不共线，可以作为基底，
对于B，，共线，不可以作为基底，
对于C, 由于，故不共线，可以作为基底，
对于D，由于，故，因此，当时，此时共线，不可以作为基底，
故选BD
10．【答案】ACD
【详解】设，,
对于A，，，故选项A正确；
对于B，当为虚数时，可以比较大小，不能比较大小，故选项B不正确；
对于C，由复数模的运算性质可知，
，
，
所以，故选项C正确；
对于D，若，则复平面内点z的集合所构成的图形是以为圆心，半径为1和的两圆之间的圆环，
面积为，故选项D正确.
故选ACD
11．【答案】BCD
【详解】对于A选项，因为，
由正弦定理可得，整理可得，
由余弦定理可得，
因为，故，A错；
对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得
，即，
当且仅当时，等号成立，故的周长为，
即的周长的最大值为，B对；
对于C选项，由正弦定理可得，则，
当且仅当时，取最大值，此时，，，C对；
对于D选项，由正弦定理可得，则，，
所以，
，
因为，则，可得，则，D对.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】的模为
13．【答案】
【详解】与所成的角为钝角即且与不平行，
即，
所以.
14．【答案】
【详解】取中点为，
则
，
其中易得，故．
15．【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）由于，
则，
又，则与的夹角为；
（2），则
16．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1），，，，
，则，解得：，
，.
（2）由（1）知：，
则对应的复平面内的点为，又位于第四象限，
，解得：，即实数的取值范围为.
17．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由正弦定理及．
得，
即，
即，
因为，所以，
所以，所以．
（2）由题意得的面积，所以①．
又，且，所以②．
由①②得．
18．【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1），
；
（2），
又，故，
故三点共线.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）利用等面积法证明：设，BC边上的高为h.
由，又，故；
（2）利用正弦定理证明：设，则，
，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
因，两式相比，可得：；
（3）由角平分线定理得，故，
于是，
两边平方得：
，故.