备战高一数学下学期期中（人教A）专题01 第六章 平面向量（考点梳理）（原卷版）

这是一份备战高一数学下学期期中（人教A）专题01 第六章 平面向量（考点梳理）（原卷版），共18页。

清单01 平面向量基本概念
（1）向量
在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
（2）向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母,,,…表示
（3）两种特殊的向量
零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.
单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量
(4)平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
(5)相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
清单02 平面向量线性运算
知识点01：向量的加法法则
（1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）
已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
（2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）
已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
知识点02：向量的减法法则
已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示
如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
清单03 平面向量共线定理
知识点01：向量共线定理
（1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
（2）向量共线定理的注意问题：
①定理的运用过程中要特别注意．
特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
知识点02：三点共线等价形式：
（，为实数），若，，三点共线
清单04 平面向量平行垂直的坐标表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
清单05平面向量数量积
平面向量数量积的概念
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).
记作：，即.
规定：零向量与任一向量的数量积为0
（2）平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
清单06 计划恒等式法求数量积最值（范围）
知识点01：极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
清单07 向量的模
向量模的坐标表示
若向量，由于，所以．
清单08 向量的夹角
已知非零向量，是与的夹角，则．
清单09向量投影
如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
特别提醒:
①为向量在上的投影的数量；
②为向量在上的投影的数量；
③投影的数量（）是一个值，不是向量.
【考点题型一】平面向量基本概念（）
【例1-1】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【例1-2】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（ ）
A．与同向B．
C．且D．
【变式1-1】.（2024·广西柳州·一模）对于非零向量，，“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】.（多选）（24-25高一下·山西·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【变式1-3】.（多选）（23-24高一下·广西百色·阶段练习）下列关于向量的结论正确的是（ ）
A．若，则或
B．非零向量与平行，则与的方向相同或相反
C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
D．若向量与同向，且，则
【考点题型二】平面向量线性运算（）
【例2-1】（23-24高二下·浙江·期末）在中，为边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2-1】.（23-24高一下·江苏镇江·期中）化简（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】.（24-25高三下·广西·开学考试）在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】.（2025高三下·全国·专题练习）化简：
(1)
(2)
【考点题型三】平面向量共线定理（）
【例3-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 .
【例3-2】（24-25高一下·广东湛江·开学考试）设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值
【变式3-1】.（24-25高三上·辽宁·期末）已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】.（24-25高一下·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ．
【变式3-3】.（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，不共线，且，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求证：，，三点共线．
【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（）
【例4-1】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为 .
【例4-2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知点.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【变式4-1】.（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】.（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知向量.若，则（ ）
A．3B．4C．5D．
【变式4-3】.（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知向量，，．
(1)若，求实数x的值，并求的值；
(2)若，求实数x的值．
【考点题型五】平面向量数量积（）
【例5-1】（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．8
【例5-2】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 .
【例5-3】（24-25高三下·河南周口·开学考试）如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ．
【变式5-1】.（2025·江苏·一模）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．1B．C．D．
【变式5-2】.（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ．
【变式5-3】.（2025高一·全国·专题练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为 .
【变式5-4】.（24-25高三下·北京·阶段练习）如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 .
【变式5-5】（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的长；
(3)求的取值范围．
【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围）（）
【例6】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】.（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】.（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为 ．
【变式6-3】.（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是 ．
【考点题型七】向量的模（）
【例7-1】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知向量，则的最大值为 .
【例7-2】（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知为坐标原点，向量，，（点，，不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】.（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）设两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A．1B．21C．D．
【变式7-2】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【变式7-3】.（2025·海南·三模）在同一平面内，向量满足，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
【考点题型八】量的夹角（）
【例8-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，设，则与的夹角为 .
【例8-2】（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】.（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知向量，满足，，，则 .
【变式8-2】.（23-24高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ．
【变式8-3】.（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知向量，，其中，.
(1)求，；
(2)求与的夹角的余弦值.
【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（）
【例9-1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量与的夹角为，且，．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
【例9-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，其中是夹角为的单位向量．
(1)当，求与夹角的余弦值；
(2)若与夹角为钝角，求的取值范围．
【变式9-1】.（24-25高一下·广西·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-2】.（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知单位向量，，夹角为，向量，，且与的夹角为.
(1)求及；
(2)求在上的投影向量；
(3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围.
【变式9-3】.（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
【考点题型十】投影向量（）
【例10-1】（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【例10-2】（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】.（2025·四川成都·二模）已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】.（2025·贵州安顺·模拟预测）已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】.（2025·河北秦皇岛·一模）已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为 ．
【考点题型十一】新定义题（）
【例11-1】（多选）（24-25高一下·河北·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，则
D．若为的内心，且，则
【例11-2】（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.
(1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，；
(2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
(3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中，则.
【变式11-1】.（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ．
【变式11-2】.（2024·全国·模拟预测）在直角坐标平面内，对于向量，记．设，，为直角坐标平面内的向量，．
(1)若，求；
(2)设，若，求的最大值；
(3)若，，求证：．
【变式11-3】.（24-25高三上·河南·阶段练习）已知非零向量，，，均用有向线段表示，现定义一个新的向量以及向量间的一种运算“”：．
(1)证明：是这样一个向量：其模是的模的倍，方向为将绕起点逆时针方向旋转角（为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且），并举一个具体的例子说明之；
(2)如图1，分别以的边AB，AC为一边向外作和，使，．设线段DE的中点为G，证明：；
(3)如图2，设，圆，B是圆O上一动点，以AB为边作等边（A，B，C三点按逆时针排列），求的最大值．
提升训练
一、单选题
1．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
A．9B．13C．15D．18
2．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（河北省保定市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（河北省保定市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高三下·广东·开学考试）中，点满足，且，则（ ）
A．1B．C．D．2
6．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ）

A．B．5C．3D．4
7．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A．B．3C．D．7
8．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（ ）
A．的面积恒为B．存在，使得
C．D．的取值范围是
10．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）关于平面非零向量，向量的夹角为，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量为
C．若，则与的夹角为钝角
D．
11．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
三、填空题
12．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知为内切圆的圆心，且，则 .
13．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为 ；若，则的值是 ．
14．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 .
四、解答题
15．（河北省保定市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）如图，，E是线段的中点，过点E的直线交线段于M，交线段于N，，，其中，.
(1)用向量，表示.
(2)证明：.
(3)若，，，且，求m，n的值.
16．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.
(1)已知，求；
(2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，角的平分线与交于点，且，若，求.