第六章 平面向量及其应用（客观题题型全覆盖）- 学年高一数学下学期期末备考专题全攻略（人教A版2019）学案

第六章 平面向量及其应用

客观题题型全覆盖

典例一：向量相关的概念问题

1．给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；

②若，都是单位向量，则；

③若，则或；

则所有正确命题的号是（    ）

A．③ B．① C．①③ D．①②

【答案】B

【详解】零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确

单位向量是指长度为1的向量，两个单位向量不一定相等，故②错误

两个向量长度相等，推不出这两个向量相等或者是相反向量，故③错误

故选：B

2．已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（ ）

A．或 B．与平行

C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得

【答案】A

【详解】非零向量与共线，

对于，，，故错误；

对于，向量与共线，向量与平行，故正确；

对于，向量与共线，与方向相同或相反，故正确；

对于，与共线，存在实数，使得，故正确.

故选：A.

3．下列结论中，正确的是（    ）

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B．若向量与都是单位向量，则

C．若向量与是平行向量，则与的方向相同

D．若两个向量相等，则它们的模相等

【答案】D

【详解】A．两个向量相等，则两个向量可以平移至起点和终点重合，但两个向量不一定起点和终点重合，故错误；

B．单位向量的模长都相等，但是方向不一定相同，故错误；

C．若两个向量是平行向量，则这两个向量的方向也可以相反，故错误；

D．相等向量的模长相等，方向相同，故正确，

故选：D.

4．下列关于向量的命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【详解】选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；

选项B，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；

选项C，显然可得出，该选项正确；

选项D，得不出，比如不共线，且，该选项错误.

故选：C.

（多选）5．已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（    ）

A．若，则

B．若，且，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ABC

【详解】

A，若，可取，，则，故A错误；

B，若，且，当， 时，则与不一定相等，故B错误；

C，若，当时，与不一定平行，故C错误；

D，若，则，所以，

，故，故D正确.

故选：ABC

（多选）6.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ）

A．若，则

B．，若与平行，则

C．非零向量和满足，则与的夹角为

D．点，与向量同方向的单位向量为

【答案】BCD

【详解】

对于A，若且，可满足条件，但，故A不正确；

对于B，由条件，若这两向量平行，有，解得，故B正确；

对于C，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故C正确；

对于D，可得，因此与同方向的单位向量为，故D正确.

故选：BCD.

典例二、平面向量的线性运算

1．在平行四边形中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为四边形为平行四边形，

所以,

所以，

故选：D

2．已知，是两个不共线的非零向量，若，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，所以存在，使得，

所以，

又因为是两个不共线的非零向量，

所以，解得

故选：A

3．设，是两个不共线的平面向量，若，，且与共线，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由与共线，即，

所以有=，

所以，消去

可得，则．

故选：C．

4．已知平面向量，，满足，设向量，向量，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【详解】

，

故选：D

5．若点是所在平面内的一点，满足，则（    ）

A． B．4 C． D．3

【答案】C

【详解】

，

，得．

故选：C．

6．如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，

则，

，，

则向量在向量上的投影向量为：

，

故选：D

7．如图，在平行四边形中，，若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【详解】

,

又∵，不共线 ，

根据平面向量基本定理可得,

∴,

故选：D.

8 ．设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由，所以

设为的中点，由为的中点.

则,

所以,则三点共线，且,如图.

所以,则点到的距离是点到的距离的倍.

所以

故选：C

9．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【详解】

因为分别表示向量方向上的单位向量，

所以的方向与的角平分线一致，

又因为，

所以，

所以向量的方向与的角平分线一致

所以点的轨迹一定经过的内心．

故选：B．

（多选）10．设点M是所在平面内一点则下列说法正确的是（    ）

A．若点M是边的中点，则

B．若，则点M在边的延长线上

C．若点M是的重心，则

D．若且，则的面积是的面积的

【答案】ACD

【详解】

对于A选项：因为点M是边的中点，由向量的加减法运算得：

则

整理得：，故A选项正确；

对于B选项：因为所以即,

所以点M在边的延长线上，故B选项错误；

对于C选项：点M是的重心，所以,故C选项正确；

对于D选项：因为且，

所以，整理得,

如图取AC，AB三等分点靠近A点，则,所以，

故的面积是的面积的，故D选项正确.

故选：ACD.

典例三：平面向量的坐标运算

（多选）1．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若与的夹角为120°，则或

D．若与的夹角为锐角，则

【答案】AB

【详解】

由，得，故A正确；

由，得，故B正确；

当与的夹角为120°时，，

即，解得或.代入验证为增根，则舍去，故，故C错误；

当与的夹角为锐角时，有，则

解得且，故D错误；

故选：AB.

2．已知，，，，则锐角x等于（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【详解】

.解，，，或，，或.

故选：D．

3．如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

如图所示，以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系，

，，即，

，，即，

又，，

，解得，，

故选：B

4．在三角形中，为线段上的动点，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

根据题意得点为线段三等分点靠近点的点，点为线段三等分点靠近点的点，

所以，

，

所以，所以.

故选：B.

5．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则的值为（    ）

A．1 B． C．5 D．

【答案】A

【详解】

解：以所在直线为轴，以为原点，如图建立坐标系，则，

则，所以，，则.

故选:A

6．已知向量，，，则的最小值为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【详解】

因为向量，，

所以，

因此，

当且仅当时，取得最小值.

故选：D.

（多选）7.已知平面向量，，都是单位向量，且，则的值可能为（    ）

A．0 B．1 C．-1 D．2

【答案】ABD

【详解】

因为平面向量，，都是单位向量，且，所以不妨设，，

，则

，

因为，所以，

当时，取最大值为，

当时，取最小值为，

故选:ABD.

（多选）8．已知等腰中，P为内部及边上的点，则的值可能是（    ）

A． B． C．24 D．16

【答案】ACD

【详解】

如图，以为轴，的中垂线为轴建立如图所示的直角坐标系，显然在轴上，

由，得，

设，则，

，

因为为内部及边上的点，所以

时，取得最小值，

时，取得最大值24（内部及边上到点距离最大），

故选：ACD．

典例四：平面向量的数量积

（多选）1．已知m，n是实数，为向量，则下列运算中正确的有（    ）

A． B．若，则

C． D．

【答案】AD

【详解】

A选项：，满足向量的运算法则，所以A正确；

B选项：当时，，但是，不一定相等，所以B不正确；

C选项：表示与共线的向量，表示与共线的向量，

所以两个向量不一定相等，所以C不正确；

D选项：，满足向量的数量积的运算法则，所以D正确.

故选：AD

2．已知向量满足，且，向量与与的夹角都是，则与的夹角为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【详解】

设与的夹角为θ，

,

得，解得.

故选：C.

3．已知，若向量，，则向量与所成的角为锐角的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

向量与所成的角为锐角等价于，且与不同向，

则，则满足的向量有，，，，，，其中或时，与同向，故舍去，共有4种情况满足条件，

又的取法共有种，

则向量与所成的角为锐角的概率是

故选：B

4．已知向量，，，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意可得，

所以，，

因为，因此，.

故选：C.

5．已知满足则与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，向量满足，

可得，所以，

又由，所以，

设向量与夹角为，则.

故选：A.

6．已知向量、满足，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，可得，

因为，因此，.

故选：D.

7．己知非零平面向量满足，则的最小值是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【详解】

依题意，，，

，

当时，上述最后等式不成立，从而有，

，当且仅当时取“=”，

又，当且仅当与同方向时取“=”，

则有，解得，当且仅当=时取“=”，

所以的最小值是4.

故选：A

（多选）8.已知O为的外心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】

由题知：，

，

则，故A错误；

同理，；

，故B正确；

，

，C正确；

，

则，

由外心的性质有，，，

则，

即 ，

由正弦定理有：，D正确；

故选：BCD.

9．已知向量，，且对任意，恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由得

，

即对任意恒成立，

所以，，

所以，

所以A错误；

由得，

由，所以B错误；

由，得，所以C正确；

由，所以D错误.

故选：C.

10．如图，在中，，点P为边上的一动点，则最小值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】A

【详解】

由题意，设，，，

所以，，

又，，

所以

，

当时，是最小值，

所以的最小值是．

故选：A

典例五：与平面向量有关的最值问题

1．已知平面向量、满足，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由已知可得，，

由三角不等式可得，即，

故选：C.

2．已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．4

【答案】C

【详解】

因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，

所以

当且仅当，即时等号成立．

故选：C

3．已知的外心为，角的对边为，则的值是（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【详解】

取BC中点D，连接OD，AD，如图所示：

因为O为的外心，所以OD为BC的垂直平分线，

所以，即，

所以，

又，

同理，

根据题意得：，

所以，所以.

故选：D

4．如图，在等腰△中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

在等腰△中，，则，

∵分别是边的点，

∴，，而，

∴两边平方得：，而，

∴，又，即，

∴当时，最小值为，即的最小值为.

故选：C

5．半径为的圆上有三点､､满足，点是圆内一点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

如图，与交于点，由得：

四边形是菱形，且，则，，

由图知，，而，

∴，

同理，，而，

∴，

∴，

∵点是圆内一点，则，∴，

故选：A.

6．已知、、是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数、满足，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

∵，∴，

由于、、是直线上三个相异的点，

所以，又，，

由基本不等式得，

当且仅当时取等号．

故选：B．

7．如图，在平面四边形ABCD中，，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

连接BD,可知为等腰三角形，而，

所以为等边三角形，，

设

=

所以当时，上式取最小值 ，

故选：A.

8．在边长为1的菱形中，，若点，满足，，其中且，则的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【详解】

由题意可得

由可得，

由可得，

又，所以

则

，

当且仅当，即时取等号，此时

故选：C.

（多选）9．如图，点是直线上的动点，点在直线外，点在直线上，则（    ）

A．有最小值

B．有最大值

C．

D．直线上有且只有一点(不同于点)，使得

【答案】ACD

【详解】

，

为定点，则为定值，，为定值，设为，则，这是关于的二次函数，由二次函数性质知它有最小值，无最大值，A正确B错误；

，由图可知，

所以，即，C正确；

若，则，

，，

记与的夹角为，则，

不重合，则，所以，，即与夹角为钝角，这样的点只有一个，D正确．

故选：ACD．