备战高一数学下学期期中（人教A）专题02 第六章 解三角形及其应用（考点梳理）（原卷版）

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清单01解三角形
（1）在中，内角，所对的边分别是,则：
；
（2）余弦定理的推论
；
；
（3）在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
清单02 三角形面积
三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
【考点题型一】解三角形（）
【例1-1】（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则 .
【变式1-1】.（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）在中，已知，，则（ ）
A．B．C．或D．或
【变式1-2】.（多选）（2025高三下·全国·专题练习）（多选）在中，，则角A为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】.（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且，则 .
【考点题型二】判断三角形的形状（）
【例2-1】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）设是空间不共面的四点，且满足，则是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【例2-2】（多选）（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，，则有两解
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，，则为等边三角形
【变式2-1】.（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形或等腰三角形
【变式2-2】.（23-24高二下·河南新乡·期末）已知的内角的对边分别为，且，则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【变式2-3】.（多选）（23-24高一下·河南·阶段练习）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（ ）
A．若,则是等边三角形
B．若,则是等腰三角形
C．若,则是等腰直角三角形
D．若,则是锐角三角形
【考点题型三】边角互化的应用（）
【例3】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为 ．
【变式3-1】.（2025高三·全国·专题练习）已知的三个内角、、满足，则当的值最大时，的值为 ．
【变式3-2】.（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且满足．若，则的最大值为 ．
【变式3-3】.（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ．
【变式3-4】.（2025·河南·二模）的内角，，的对边分别为，，，若，则 .
【考点题型四】三角形周长（）
【例4-1】（2025·山西·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)求证：；
(2)若.
（i）求；
（ii）若，且的面积为，求的周长.
【例4-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）设函数．
(1)当时，求函数的最小值并求出对应的；
(2)在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围．
【变式4-1】.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，面积为，且满足
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长.
【变式4-2】.（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，角的对边分别是，．
(1)求；
(2)若，的面积是，求的周长．
【变式4-3】.（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围.
【考点题型五】三角形面积（）
【例5-1】（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）在中，，则的面积等于（ ）
A．B．2C．D．
【例5-2】（2024·湖北荆州·模拟预测）已知.
(1)求的单调区间和值域；
(2)在中，的对边分别为，，求的面积.
【例5-3】（24-25高三下·重庆·阶段练习）记的内角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【变式5-1】.（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为 ．
【变式5-2】.（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积是 ．
【变式5-3】.（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求.
【变式5-4】.（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知函数
(1)求单调递增区间：
(2)在中的对边分别为，求的值和的面积.
【考点题型六】正余弦定理的应用（）
【例6-1】（24-25高一下·福建福州·阶段练习）为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设，分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线，使得，，三点在同一直线上，在，两点用测角仪测得的仰角分别是和，测角仪器的高度是，，由此可计算出建筑物的高度.若，，则此建筑物的高度是 （答案用，表示）
【例6-2】（24-25高一下·河南·阶段练习）某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米．
(1)求该人工圆形湖泊的直径；
(2)若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围．
【变式6-1】.（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）

(1)请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）；
(2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式）
【变式6-2】.（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 .

(1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米):
(2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ).
【变式6-3】.（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，其中．小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，经过的路程为．
(1)求函数的解析式；
(2)在锐角中，角的对边分别为，若，求的取值范围．
【考点题型七】新定义题（）
【例7】（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知若存在整数x，使满足，则称和互为“x级绝配角”
(1)已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值；
(2)若对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”，求：；
(3)是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由.
【变式7-1】.（2024·贵州铜仁·模拟预测）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)若，求实数的最小值.
【变式7-2】.（23-24高一下·安徽·期末）如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记.
(1)在仿射坐标系中.
①若，求；
②若，且，的夹角为，求；
(2)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值.
【变式7-3】.（23-24高一下·湖南邵阳·期中）定义三边长分别为，，，则称三元无序数组为三角形数．记为三角形数的全集，即．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)若锐角内接于圆O，且，设．
①若，求；
②证明：．
提升训练
一、单选题
1．（2025·辽宁·模拟预测）在中，，为的中点，为上一点，且，，则（ ）
A．0或B．C．D．0或
2．（广西南宁市2025届普通高中毕业班第二次适应性考试（二模）数学试题）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（ ）
A．B．2C．D．4
3．（2024·陕西渭南·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ）
A．3B．
C．D．3
4．（2025·山东枣庄·二模）已知中，，若的平分线交于点，则的长为（ ）
A．或B．或C．D．
5．（24-25高三下·河南·开学考试）在梯形ABCD中，，则（ ）
A．B．3C．D．
6．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在平面四边形中，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
7．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边长分别为，且的面积满足，点为的外心，满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三下·河南驻马店·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有一解
B．若，则无解
C．若，则有一解
D．若，则有两解
10．（23-24高一下·宁夏·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
11．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．四边形ABCD的面积为
C．外接圆的周长为D．
三、填空题
12．（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是 ．
13．（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 .
14．（2025·内蒙古赤峰·一模）锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 .
四、解答题
15．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）青岛海尔学校为了美化校园环境，在校园的一角设计了一个扇形的景观区域.该扇形区域的圆心角，半径米，学校计划在弧上选一点，并在点处修建一个小型的服务站、从服务站向半径、分别作通道、，与线段、分别垂直相交于、，这样就形成了一个四边形区域，此区域计划用来摆放一些供学生休息的长椅.
(1)设，将四边形的面积表示成的函数；
(2)如果你是学校绿化设计师，点选在何处时，可使四边形的面积取得最大值？并求出这个最大值.
16．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若点D在线段AB上，，，求a的值．
17．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 nmile，为钝角，且.
(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积；
(2)记为，为，求的值.
18．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求边上的高．
19．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求四边形面积的最大值.