备战高二数学下学期期中（人教A）专题07 第六章  二项式定理（考点梳理）（原卷版）

这是一份备战高二数学下学期期中（人教A）专题07 第六章  二项式定理（考点梳理）（原卷版），共12页。

清单01 二项式定理
二项展开式：
清单02 二项式系数（和）
①最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
②各二项式系数和： ；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
【考点题型一】二项式定理展开及其逆应用（）
【例1】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）的值是（ ）
A．B．1C．0D．22024
【变式1-1】.（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】.（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知，若，则 ．
【变式1-3】.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）的值为 .
【考点题型二】二项展开式第项（）
【例2】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）的二项展开式中各项系数之和为64，则的二项展开式中第七项为 ．
【变式2-1】.（24-25高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是 ．
【变式2-2】.（23-24高三上·广东珠海·开学考试）写出的展开式的第4项的系数： ．（用数字表示）
【变式2-3】.（23-24高二下·天津·阶段练习）在二项式的展开式中，第3项的系数是 ．
【考点题型三】二项式系数（和）
【例3】（多选）（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式3-1】.（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）在的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第4项和第5项
【变式3-2】.（23-24高二下·重庆·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（ ）
A．80B．C．40D．
【变式3-3】.（23-24高二下·广东中山·阶段练习）二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求的值；
(2)求展开式中各项的二项式系数和；
(3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.
【考点题型四】指定项系数（有理项）
【例4】（24-25高二上·江西·阶段练习）完成下列问题：
(1)求的展开式中的常数项；
(2)求的展开式中有理项的个数.
【变式4-1】.（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在的展开式中，系数为整数的项数是（ ）
A．8B．5C．3D．2
【变式4-2】.（23-24高二下·新疆·期中）在二项式的展开式中，有理项的项数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-3】.（多选）（23-24高二下·河南信阳·期末）展开式的有理项为（ ）
A．第1项B．第2项C．第5项D．第8项
【变式4-4】.（24-25高二下·全国·课后作业）写出展开式中一个有理项的系数 ．
【考点题型五】系数和
【例5】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若，则 .
【变式5-1】.（24-25高二上·山东东营·期末）已知，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式5-2】.（23-24高三下·全国·自主招生）已知，则 （ ）
A．B．C．0D．1
【变式5-3】.（24-25高二下·上海·阶段练习）设且.
(1)求、的值;
(2)求展开式中各项系数和；
【变式5-4】.（24-25高二上·北京大兴·期末）已知的展开式中各二项式系数的和为．
(1)求的值；
(2)求该展开式中所有项的系数和．
【考点题型六】系数最大（小）项
【例6】（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）在的展开式中，求：
(1)常数项；
(2)含的项的系数；
(3)系数的绝对值最大的项．
【变式6-1】.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在 的展开式中系数最大的项为 .
【变式6-2】.（24-25高二·全国·课堂例题）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求系数最大的项与系数最小的项．
【变式6-3】.（24-25高二上·辽宁大连·期末）在的展开式中，求：
(1)含的项；
(2)各项系数和（用数字作答）；
(3)系数最大的项是第几项？
【变式6-4】.（23-24高二下·湖北襄阳·期末）已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.
(1)求n的值及展开式中所有含x的有理项的个数；
(2)求展开式中系数最小的项．
【考点题型七】三项展开式系数问题
【例7】（2024高三·全国·专题练习）的展开式中常数项为（ ）
A．B．C．0D．20
【变式7-1】.（2025·福建漳州·一模）的展开式中，常数项为 .
【变式7-2】.（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中的系数为 .
【变式7-3】.（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，的系数是 .
【变式7-4】.（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）在的展开式中项的系数 ．
【考点题型八】两个二项式相乘展开系数问题
【例8】（2025·湖北·模拟预测）的展开式中的系数为 .
【变式8-1】.（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 ．
【变式8-2】.（2024·全国·模拟预测）的展开式中，含的项的系数为 .（用数字作答）
【变式8-3】.（2025·湖北·二模）的展开式中的系数为 .
【变式8-4】.（24-25高二·全国·课堂例题）求的展开式中的系数．
【考点题型九】二项式定理应用
【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（ ）
A．二B．三C．四D．五
【变式9-1】.（23-24高二下·陕西西安·期中）被8除所得的余数为（ ）
A．1B．2C．0D．5
【变式9-2】.（23-24高二下·重庆·阶段练习）若能被12整除，则的值可以是（ ）
A．1B．2C．10D．11
【变式9-3】.（23-24高二下·山东枣庄·期中）若能被64整除，则正整数的最小值为 .
【考点题型十】杨辉三角形
【例10】（23-24高二下·福建泉州·期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.

【变式10-1】.（2025高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ）
A．66B．120C．165D．220
【变式10-2】.（2025高三·全国·专题练习）如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则为（ ）．
A．351B．360C．361D．358
【变式10-3】.（23-24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2．
【考点题型十一】二项式定理中的新定义题
【例11】（23-24高二下·江苏镇江·期中）（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①，②.
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：.
【变式11-1】.（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）我们曾用组合模型发现了组合恒等式：，，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范．再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-2】.（多选）（2024高三上·山东济南·专题练习）我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13.把m位n进制中的最大数记为，其中，，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-3】.（2025·江西南昌·一模）通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到点数，则．记数列的前n项和为为除以4的余数．
(1)若，求的概率；
(2)若，比较与的大小，说明理由；
(3)若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率．
提升训练
一、单选题
1．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ）
A．B．90C．40D．
2．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）二项式的展开式的第4项的系数是（ ）
A．8B．35C．280D．60
3．（2025·四川自贡·二模）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．（24-25高二下·山西·阶段练习）在展开式中，含的项的系数是，则（ ）
A．B．C．3D．6
5．（2025高三·全国·专题练习）对任意实数，有.则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（ ）
A．1B．C．13D．14
7．（2025·山东枣庄·二模）已知，则被4除的余数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
8．（2025·河北保定·模拟预测）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．20
二、多选题
9．（2025·浙江温州·二模）已知二项展开式，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知的展开式共有7项，则（ ）
A．二项式系数和为128
B．展开式的所有项的系数和为1
C．含项的系数与含项的系数和为
D．所有项的系数绝对值之和为729
三、填空题
11．（2025·湖南邵阳·二模）的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为 ．
12．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知均为常数，对任意的实数恒成立，则 .
四、解答题
13．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求：
(1)；
(2)；
(3).
14．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）完成下列问题.
(1)求的展开式中的常数项；
(2)求的展开式的中间项.
15．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）图1是我国数学史上的一个伟大成就——杨辉三角，利用它我们可以将展开，
如：，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别为；
，它有四项，系数分别为；
……
将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角，如图2所示.
(1)求的值；
(2)记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为，求的值；
(3)证明：莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和.