备战高二数学下学期期中（人教A）专题06 第六章 两个计数原理及排列组合（考点梳理）（原卷版）

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清单01 两个计数原理综合
（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
（2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.
清单02 排列数计算
排列数公式
①（连乘形式）：，，
②（阶乘形式），，
清单03 组合数的计算和性质
或：（，）.
（1）性质1：
（2）性质2：
【考点题型一】两个计数原理综合（）
【例1】（24-25高三上·四川成都·开学考试）某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有（ ）
A．420种B．840种C．476种D．896种
【变式1-1】.（24-25高三上·上海宝山·期中）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，，，…，若，则 ．
【变式1-2】.（24-25高三上·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 .
【变式1-3】.（23-24高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研．
(1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？
(2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？
【变式1-4】（22-23高二下·河南郑州·期中）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？
(1)组成五位偶数；
(2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数．
【考点题型二】排列数计算（）
【例2】（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）（1）计算：；
（2）若，求的值.
（3）化简求值：.
【变式2-1】.（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）下列等式中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】.（24-25高二下·河北保定·阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
【变式2-3】.（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)若，求值.
【变式2-4】.（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）计算：；
（2）解不等式：.
【考点题型三】捆绑法和插空法（）
【例3】（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ）
A．24B．48C．144D．240
【变式3-1】.（24-25高二下·天津·阶段练习）五名同学元旦期间去华侨城湿地公园参观，结束后在门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有 种.
【变式3-2】.（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为 .
【变式3-3】.（24-25高二下·山东·阶段练习）《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 ．（用数字作答）
【变式3-4】.（24-25高二下·河南·阶段练习）高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（ ）种
A．B．C．D．
【考点题型四】特殊元素（位置）法（）
【例4】（24-25高二下·上海松江·阶段练习）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为 .
【变式4-1】.（2025高三·全国·专题练习）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（ ）
A．18B．36C．48D．60
【变式4-2】.（24-25高三上·河北唐山·期末）甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．12种B．6种C．24种D．60种
【变式4-3】.（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114B．120C．126D．132
【变式4-4】.（2025·江苏泰州·模拟预测）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为 .
【考点题型五】间接法（）
【例5】（多选）（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】.（24-25高二下·山东·阶段练习）某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【变式5-2】.（24-25高二·全国·课堂例题）从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有 种．
【变式5-3】.（24-25高三上·河北邢台·期末）某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有 种．（用数字作答）
【变式5-4】.（2025高三下·全国·专题练习）某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．若其中某一种假货不能在内，则不同的取法有多少种？
【考点题型六】部分定序问题（）
【例6】（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（ ）
A．480种B．240种C．120种D．60种
【变式6-1】.（24-25高二下·上海·阶段练习）在一张节目单中原有7个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有7个节目前后相对顺序，则一共有 种不同的插法．
【变式6-2】.（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种.
【变式6-3】.（23-24高二下·天津·期中）由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有 ．（用数字作答）
【考点题型七】组合数的计算及性质的应用（）
【例7】（24-25高二上·江西上饶·期末）（1）解方程：
（2）计算．
【变式7-1】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】.（24-25高二上·江苏常州·期末）（ ）
A．55B．120C．165D．220
【变式7-3】.（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）计算下列各式．
(1)解方程：.
(2)证明：
【考点题型八】分组，分配问题（①不平均分组问题②部分平均分组③平均分组）（）
【例8】（24-25高二上·辽宁大连·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A．1440种B．1560种C．1920种D．5760种
【变式8-1】.（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（ ）
A．36种B．48种C．56种D．72种
【变式8-2】.（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（ ）
A．120B．300C．180D．150
【变式8-3】.（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到 5 个不同班级指导学生体育活动，要求每位体育老师至少指导一个班级，每个班级只有一位体育老师指导，则不同的分配方案有 种．
【变式8-4】.（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为 .
【考点题型九】隔板法（）
【例9】（湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷）二十名校国旗班成员站成一排参加训练，教育计划在20人中选9人进行第一项训练，若这9人在原来队列中互不相邻、则教官的选择方式一共有（ ）
A．220种B．55种C．210种D．110种
【变式9-1】.（2023·辽宁·模拟预测）方程的非负整数解的组的个数为（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-2】.（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）的非负整数解有 组.
【变式9-3】.（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是 （用数字作答）
【变式9-4】（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）现将11个相同的小球放入编号为1、2、3、4的四个不同的盒子中．
(1)若要求每个盒子至少得到一个小球，问共有多少种分配方案？
(2)若放完后，允许有盒子中没有小球，问共有多少种分配方案？
【考点题型十】涂色问题（）
【例10】（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A．216种B．180种C．192种D．168种
【变式10-1】.（2025·云南·一模）如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A．400 种B．460 种C．480 种D．496 种
【变式10-2】.（23-24高二下·四川成都·阶段练习）给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．48B．60C．72D．84
【变式10-3】.（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)．
提升训练
一、单选题
1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为（ ）
A．15B．18C．30D．36
2．（24-25高二下·山东泰安·阶段练习）用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A．52B．58C．56D．50
3．（24-25高二下·安徽·阶段练习）有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ）
A．24种B．48种C．96种D．144种
4．（24-25高二下·湖南·阶段练习）某校文艺汇演上有一个合晿节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（ ）
A．194B．240C．388D．480
5．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）某班级要从5名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少1名女生，那么不同的选派方案有（ ）
A．14种B．20种C．30种D．35种
6．（24-25高二下·安徽滁州·阶段练习）将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球，要使得恰有1个小球与所在盒子编号相同，则有（ ）种不同的放球方法.
A．20B．15C．12D．8
7．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ）
A．72种B．36种C．24种D．18种
8．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种
A．540B．684C．756D．792
二、多选题
9．（24-25高二·全国·课堂例题）已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．可以组成无重复数字的四位数96个B．可以组成有重复数字的四位数404个
C．可以组成无重复数字的四位偶数66个D．可以组成百位是奇数的四位偶数28个
10．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）下列有关排列数､组合数的等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（24-25高二下·天津宝坻·阶段练习）今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有 种
12．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变，则这10个节目的不同排法有 种．
四、解答题
13．（24-25高二下·天津·阶段练习）高二年级(1)班有6人参加数学小组，(2)班有5人参加物理小组，(3)班有4人参加化学小组，问：
(1)选其中1人担任数理化小组组长，有多少种不同的选法?
(2)每班选1人参加全国数理化竞赛，有多少种不同的选法?
(3)选取其中两人参加不同的学科竞赛，有多少种不同的选法?
14．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）（1）解方程：；
（2）计算：；
（3）计算.
15．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）（1）求值:
（2）求不等式：的解集．
16．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目．
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种?
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式?