备战高一数学下学期期中（人教A）专题04 第七章 复数（考点梳理）（原卷版）

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清单01 复数的有关概念
知识点01：复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
清单02 复数的分类
知识点01：复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
清单03 复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
清单04 复数的模
知识点01：复数的模
（1）向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
（2）()的几何意义
在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
清单05 复数的四则运算
知识点01：复数代数形式的乘，除法运算
（1）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（2）复数的除法法则
（）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
清单06 共轭复数
知识点01：共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
知识点02：共轭复数的性质
设，（）
①；②为实数；③且为纯虚数
④；⑤，，
【考点题型一】复数的有关概念（）
【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数．当为何值时，．
【变式1-1】.（2025·河北保定·一模）的虚部为（ ）
A．B．C．D．3
【变式1-2】.（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知复数，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】.（23-24高三上·江苏·期末）已知，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式1-4】（23-24高一下·浙江金华·期中）设，若，其中是虚数单位，则
【考点题型二】复数的分类（）
【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)若z是虚数，求实数m的取值范围；
(3)若z是纯虚数，求实数m的值．
【变式2-1】.（24-25高三下·重庆·阶段练习）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【变式2-2】.（浙江省温州市2024-2025学年高三下学期第二次适应性考试数学试题）若复数是纯虚数，则实数 ．
【变式2-3】.（2024高一下·江苏·专题练习）复数，其中.
(1)若复数为实数，求的值；
(2)若复数为纯虚数，求的值.
【变式2-4】.（23-24高一·全国·随堂练习）求实数的值，使复数分别是：
(1)实数；
(2)纯虚数；
(3)零．
【考点题型三】复数的几何意义（）
【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围．
(1)在虚轴上；
(2)在第二，四象限；
【变式3-1】.（24-25高一下·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【变式3-2】.（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（ ）
A．B．C．3D．4
【变式3-3】.（多选）（2024·江西新余·模拟预测）若复数满足：，则的取值可以是：（ ）.
A．B．C．D．
【考点题型四】复数的模（）
【例4-1】（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么（ ）
A．B．
C．D．
【例4-2】（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知，则复数的模的取值范围是 .
【变式4-1】.（湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷）若是复数，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】.（24-25高三上·江苏淮安·期中）若复数满足（为虚数单位），则的模（ ）
A．1B．C．D．
【变式4-3】.（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】.（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）设z为复数，若=1，则的最大值为 .
【考点题型五】复数的四则运算（）
【例5】（河北省衡水市2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式5-1】.（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学（二）练习卷）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】.（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【变式5-3】.（2025届山东省潍坊市高三模拟预测数学试题）在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-4】.（2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题）复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【考点题型六】共轭复数（）
【例6】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】.（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式6-2】.（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．2D．
【变式6-3】.（辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题）若复数，则的共轭复数的模为（ ）
A．B．C．D．2
【变式6-4】.（2025·河北保定·模拟预测）已知复数为虚数单位，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【考点题型七】新定义题（）
【例7】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；
(3)记，由棣莫弗定理得，从而得，复数，我们称其为1在复数域内的三次方根. 若为64在复数域内的6次方根.求取值构成的集合，其中，.
【变式7-1】.（23-24高一下·江苏南京·期末）欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ．
【变式7-2】.（23-24高一下·四川内江·期末）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.
材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.
请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将写成三角形式；
(2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值；
(3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值.
【变式7-3】.（23-24高一下·上海·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：
①；②；③；④.
(1)设，，求和.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②.试判断这两个结论是否正确，并说明理由.
(3)若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
提升训练
1．（广西南宁市2025届普通高中毕业班第二次适应性考试（二模）数学试题）若复数，则（ ）
A．B．3C．D．
2．（山东名校考试联盟2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
3．（河北省衡水市2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图，向量对应的复数是，则的值为（ ）
A．6B．C．13D．
5．（湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷）若是复数，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知复数的实部与虚部互为相反数，且，则满足条件的复数的个数为（ ）
A．0B．2C．4D．无数个
7．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知，且，其中i是虚数单位，则（ ）
A．20B．12C．D．
二、多选题
9．（山西省部分学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）已知复数，，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则是实数
C．若，则是纯虚数D．若，则
11．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）若复数z满足，则（ ）
A．B．z的虚部为C．D．
三、填空题
12．（2025·福建厦门·二模）已知，则 .
13．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知复数满足，则复数 ．
14．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为 .
四、解答题
15．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知复数（为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若复数是实数，求实数的值；
(3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
16．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足.
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值.
17．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足
(1)求的值；
(2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.