还剩44页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
第六章 平面向量及其应用【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）
展开
这是一份第六章 平面向量及其应用【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019），共47页。试卷主要包含了给出下列命题，下列说法中正确的是，有下列命题，下列命题中，正确的是，已知向量不共线，，，若，则，给出下列六个命题，下列说法中，已知向量，，等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）
第六章 平面向量及其应用专项训练
考点一 向量的基本概念
解决向量的概念问题应关注五点
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．
一．选择题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
③为实数），则必为零
④，为实数，若，则与共线
其中正确的命题个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，①错误；
对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，
但它们的模能比较大小，②正确；
对于③，时为实数），或，③错误；
对于④，若时，，此时与不一定共线，④错误；
综上，其中正确的命题为②，共1个．
故选A．
2．下列说法中正确的是
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．对于任意向量，，必有
【答案】D
【解析】平行向量是共线向量，故不正确；
单位向量的模相等，方向不一定相同，故不正确；
若，满足且与同向，则显然不正确，向量不能比较大小，故错误；
向量的加法的平行四边形法则，可知对于任意向量，，必有，故正确；
故选D．
3．有下列命题：
①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；
②若，则；
③若，则四边形ABCD是平行四边形；
④若，，则；
⑤若，，则；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中，假命题的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若，则、不一定相同，②错误；
对于③，若，、不一定相等，
四边形不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若，，则，④正确；
对于⑤，若，，
当时，不一定成立，⑤错误；
对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑥错误；
综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．
故选C．
4．（共线向量的概念）下列命题中，正确的是
A．若，则与方向相同或相反
B．若，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，，则
【答案】D
【解析】由于零向量的方向是任意的，取，则对于任意向量，都有，知错；
取，则对于任意向量，都有，，但得不到，知错；
两个单位向量互相平行，方向可能相反，知错；
由两向量相等的概念知正确．
故选D．
5．已知向量不共线，，，若，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】向量不共线，，，，
，
，
解得，．
故选D．
6．已知向量，不共线，且，，若与方向相反，则实数的值为
A． B． C．1或 D．或
【答案】A
【解析】由，，且与方向相反，
所以，
即，
解得或，
当时，，，与反向，
当时，，，与同向，
所以实数的值为．
故选A．
二．填空题
7．给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则；
③若，则，，，四点构成平行四边形；
④在平行四边形中，一定有；
⑤若，，则；
⑥若向，，则．
其中错误的命题有 ．（填序号）
【答案】①②③⑥
【解析】在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故①错误；
在②中，若，则与大小相等，方向不一定相同，故②错误；
在③中，若，则，，，四点不一定构成平行四边形，故③错误；
在④中，在平行四边形中，由向量相等的定义得一定有，故④正确；
在⑤中，若，，则向量相等的定义得，故⑤正确；
在⑥中，若向，，当时，与不一定平行，故⑥不正确．
故答案为：①②③⑥．
8．下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
②若，则；
③若非零向量共线，则；
④向量，则向量共线；
⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确的序号为 ．
【答案】①④
【解析】对于①，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；
对于②，当时，与不一定相等，命题②错误；
对于③，若非零向量共线，则不一定成立，命题③错误；
对于④，向量时，向量共线，命题正确；
对于⑤，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题⑤错误；
综上，正确的命题序号是①④．
故答案为：①④．
三．解答题
9．已知向量，，．
（Ⅰ）若，求，的值；
（Ⅱ）若向量满足，，求的坐标．
【答案】
【解析】（Ⅰ）向量，，，
由，所以，，，，，
所以，
解得；
（Ⅱ）设，则，，
由，且，
所以，
解得或，
所以或．
10．设两个非零向量与不共线．
（Ⅰ）若，，且与平行，求实数的值；
（Ⅱ）若，，，求证：，，三点共线．
【解答】（Ⅰ）解：由，，
所以，，
因为与平行，所以有，
解得．
（Ⅱ）证明：因为，，，
所以，
即，所以与共线，
因此，，三点共线．
考点二 平面向量的线性运算
平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．
(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
一．选择题
1．已知等边三角形ABC的边长为6，点满足，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，
故，
故，
故，
故选C．
2．在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在平行四边形中，设对角线与相交于点，
则．
故选B．
3．已知点是正方形ABCD的中心，点为正方形ABCD所在平面外一点，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，，，，，
．
故选A．
4．已知向量，，若，则
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【解析】，，得，．
故选A．
5．在平行四边形ABCD中，，，若是DC的中点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
平行四边形中，，，
则，
又是的中点，
则．
故选C．
6．在等腰梯形ABCD中，，为BC的中点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，
等腰梯形中，
，，；
又为的中点，
，
又，
；
；
．
故选B．
7．在中，，．若点满足，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，；如图；
，
又，
；
；
故选C．
8．如图，在中，点是BC边上靠近的三等分点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．
故选C．
二．填空题
9．在直角坐标系中，为原点，，则 ．
【答案】0
【解析】，
，
，
，，，
故答案为：0．
10．在中，已知是边上一点，若，，则 ．
【答案】
【解析】中，是边上一点，，，
如图所示，
①，
，
②；
①②得，，
；
．
故答案为：．
三．解答题
11．如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，．
（1）用，分别表示向量，；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）由题意，为的中点，且，
，
，
；
（2），
，
，，共线，
，
．
12．如图所示，在中，，，与相交于点，设，．
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，．记，，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，，三点共线，可设，
由，，三点共线，可设，
因为，不共线，
所以，解得，，
故．
（2）因为，，三点共线，
设，
由（1）知，，
即，，
所以，
故．
考点三 平面向量数量积的运算
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
一．选择题
1．已知，，且与的夹角为，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，且与的夹角为，
，
，
故，
故选A．
2．已知向量满足，，，，则
A．3 B．7 C． D．
【答案】D
【解析】由，，，，
所以．
故．
故选D．
3．已知向量是单位向量，若，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设与的夹角为，
向量，，则，
若，则，变形可得，
又由，则，
故选C．
4．若非零向量，满足，，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设与的夹角为，，则，
若，则，
即，
又由，则，
故选C．
5．已知向量，，，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，设与的夹角为，
因为，所以，即，
向量，则，
则有，解得，
又由，则，
故与的夹角为；
故选D．
6．向量，，，若，则实数等于
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】根据题意，，，则，
若，则，
解可得：，
故选B．
7．已知向量，满足，，且，则
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由得,
即,解得．
故选C．
8．已知，，且，则
A．6 B．8 C．3 D．
【答案】A
【解析】
．
故选A．
9．已知向量，，且，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，解得，
，，
．
故选C．
二．填空题
10．设非零向量满足，且，则向量与的夹角为 ．
【答案】
【解析】根据题意，设，则，向量与的夹角为，
若，则，
解可得，
又由，则，
故答案为：．
11．已知单位向量，的夹角为，则 ．
【答案】1
【解析】因为，所以．
故答案为1．
三．解答题
12．已知，，．
（1）求与的夹角；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，．
所以，即，所以，
，，，，，
可得，
（2）．
13．在平面直角坐标系中，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，若，即，
则，
故，
（2）若向量，则，
解可得，
故．
考点四 平面向量数量积的性质应用
平面向量数量积求解问题的三个策略
(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
一．选择题
1．在中，，点在AB上，，，则
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】因为中，，点在上，，，
故，
所以，
故选C．
2．若的外心为，且，，，则等于
A．5 B．8 C．10 D．13
【答案】C
【解析】取的中点，的中点，的中点，连接，，，，
为的外心，
故，
，
同理可得：，，
，，，
，
则，
故选C．
3．已知，，均为单位向量，且满足，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，均为单位向量，且满足，
故，，围成，
设的中点为，连接，，，，
因为，
，
故，，三点共线，且，
，
故为等腰三角形，
故有，即，且，，
，
．
故选B．
4．在中，，，点是BC的中点，则的值为
A． B．6 C． D．8
【答案】A
【解析】在中，，，点是的中点，
．
故选A．
5．点是边长为2的正的边BC上一点，且，则
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】点是边长为2的正的边上一点，且，
，
，
故选C．
6．在中，，，，点，分别为CA，CB的中点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，，，可知，
所以三角形是直角三角形，如图：建立如图所示的坐标系，
则，，点，分别为，的中点，
所以，，
所以，，
所以，，．
故选B．
7．已知为的外心，，，则
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】过点分别作于，于，则、分别是、的中点，
可得中，
，
同理可得，
，
故选C．
8．四边形ABCD中，，，，则
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以
故选B．
二．填空题
9．已知矩形中，，，设与交于点，则 ．
【答案】
【解析】
，
故答案为：．
10．在中，为中线上的中点，若，则等于 ．
【答案】
【解析】由题意画出草图：
由于点为中边的中点，
，
．
为中线上的中点，即、、三点共线，
，
．
故答案为：．
三．解答题
11．（1）已知平面向量、，其中．若，且，求向量的坐标表示；
（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且，求的值．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1），，
设，且，
，解得，
或；
（2），，
，
又，
，解得．
12．在中，若，，．
（1）用，表示，；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）如图，，
，；
（2），，，
．
考点五 平面向量基本定理及应用
应用平面向量基本定理表示向量的实质
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．
一．选择题
1．正方形ABCD中，点，分别是DC，BC的中点，那么
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，分别是，的中点，
，
故选C．
2．在中，为AB边的中点，为AC边上的点，BD，CE交于点．若，则的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】设，
因为，
所以，
因为，，三点在同一条直线上，
所以，所以，
所以．
故选C．
3．在所在平面中，点满足，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，
即，
则．
故选A．
4．中，点为AC上的点，且，若，则的值是
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以，
所以，
若，
则，，．
故选C．
5．在五边形ABCDE中，，，，分别为AE，BD的中点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，分别为，的中点，
所以
．
故选C．
6．已知等边内接于，为线段OA的靠近点的三等分点，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：设中点为，
则
．
故选D．
7．在中，点在线段BC上，且，若，则
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
故，
若，
则，，
所以．
故选D．
8．如图，在中，为线段AC上靠近的三等分点，点在BN上且，则实数的值为
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】，
为线段上靠近的三等分点，
所以，因为点在上，即，，三点共线，
所以，解得．
故选D．
二．填空题
9．平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】平行四边形中，为的中点，点满足，
所以，
，
则根据平面向量基本定理可得，，
解可得，，，
则，
故答案为：．
10．已知中，、分别为、的中点，，，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，
，
所以，，所以，
故，
当且仅当时取等号，的最大值．
故答案为：．
三．解答题
11．如图，在平行四边形中，，，，为的中点，为线段上靠近点的四等分点，记，．
（1）用，表示，；
（2）求线段的长．
【答案】（1）．；（2）.
【解析】（1）．
．
（2），
即，
即．
12．如图，四边形中，已知．
（Ⅰ）用，表示；
（Ⅱ）若，，当，，三点共线时，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（Ⅰ）．
，
则．
（Ⅱ）．，
，
，，
，
若，，三点共线时，
则，得，
得，得．
考点六 利用正弦、余弦定理解三角形
正、余弦定理的应用原则
(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．
(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
一．选择题
1．已知在角、、的对边分别是、、，且，，．则的最大角的正弦值是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】最大角是，根据余弦定理：，且，
．
故选D．
2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，且，
，
，且，
．
故选A．
3．的三内角，，对的边分别为，，．若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为：，
所以：，可得，
由余弦定理可得，
则．
故选B．
4．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则
A．6 B．3 C．6或3 D．6或4
【答案】C
【解析】因为，，，
所以由余弦定理，可得，整理可得，
解得或6．
故选C．
5．的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】，，，
由余弦定理可得：．
故选B．
6．在中，角，，的对边分别为，，，点在边AC上，已知，，，，则
A．8 B．10 C． D．
【答案】A
【解析】如图，在中，，，，
由余弦定理可得，，得，
因为，
由正弦定理得，得，
得，
由，可得，
得，
所以，，
所以三角形为等边三角形，即．
故选A．
7．在中，，，分别为内角，，的对边，且，则的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,
,
即，
得，
即，
得，
则，
由,
得内角，
故选B．
8．中，角，，所对的边分别为，，，满足，，，则
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，
由正弦定理可知，
所以．
故选C．
二．填空题
9．在中，内角，，对应的边分别是，，，若，则的大小为 ．
【答案】
【解析】在中，由正弦定理可得，
所以，
又，
所以．
故答案为：．
10．在中，，，，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，
则．
故答案为：．
三．解答题
11．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，．
（1）求；
（2）求的周长．
【答案】（1）；（2）9.
【解析】（1）因为，
所以，
解得，或（舍，
由为三角形内角得，
（2）因为，
由正弦定理得，，
因为，
故，
所以，
故，
所以的周长．
12．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2），.
【解析】（Ⅰ）因为，
所以由正弦定理可得，即，
又因为，
所以，
因为为锐角，
所以．
（Ⅱ）
，
因为，可得，
所以，，即，．
考点七 正弦定理和余弦定理的应用
1.求距离问题的两个注意点
(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
2.求解高度问题应注意
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
3.解决测量角度问题的三个注意点
(1)明确方位角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
一．选择题
1．渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头出发北航行到北岸．假设游船在静水中航行速度大小为，水流速度的大小为．设速度与速度的夹角为，北岸的点A'在码头的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应
A．在东侧 B．在西侧 C．恰好与重合 D．无法确定
【答案】A
【解析】如图建立直角坐标系，时，
水流速度为，
轮船的速度，，
，，
这说明船有轴正方向的速度，即向东的速度，
故该游船航行到达北岸的位置应在的东方，
故选A．
2．某中学为推进智能校园建设，拟在新校区每个教室安装“超短距”投影仪，如图：投影仪安装在距离墙面20cm处，其发射的光线可以近似的看作由一个点发出，光线投影在墙面上的屏幕AB上，已知AB高度为120cm，光线上界SA的俯角为，则投影仪的垂直视角的余弦值
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图及题意知：，，，
所以，，，
在中有余弦定理可得，
故选D．
3．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术-- “过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则约为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知六指为（厘米），
所以，
所以．
故选B．
4．如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则此山的高
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，由题意可得：中，，．
在中，，．
又，
在中，由余弦定理可得：，
解得．
故选A．
5．如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即，．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为
A．北纬 B．南纬 C．北纬 D．南纬
【答案】B
【解析】由题意知，天安门广场的太阳高度角为，
由汉白玉华表的高和影长相等可知，
所以，
所以该天的太阳直射纬度为南纬．
故选B．
6．测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点在同一水平面内的两个观测点和，如图，测得，，，并在处测得建筑物顶端的仰角为，则建筑物AB的高度为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，在中，，，
，
又，
由正弦定理得，
；
在中，，，
；
则建筑物高为．
故选B．
7．如图，为测量出山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高MN为 ．
A．100 B．150 C．200 D．250
【答案】B
【解析】由题意：点的仰角，山高，
勾股定理，可得．
在中，，，那么
．
正弦定理：
即
可得：．
在中，，
可得：．
故选B．
8．如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达处，此时测得俯角为，已知此山的高，小车的速度是，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，平面，
所以，，
所以，为直角三角形，且，，，
可得，，
可得，
所以．
故选A．
二．填空题
9．如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪，经测量得，，，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路（其中点在边上，点在边上），若恰好将该草坪的面积平分，则，两点间的最小距离为 ．
【答案】
【解析】由，，，由余弦定理可得，
由图知，
由题意可得，所以，
由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
所以，
所以的最小值为，
故答案为：．
10．如图所示，在山脚测得山项的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了100米到山腰，在处测得山顶的仰角为，则山高 ．
【答案】
【解析】中，，，
，，
山高．
故答案为：．
三．解答题
11．某公园有一矩形空地，，，市政部门欲在该空地上建造一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中是的中点，，分别落在线段和线段上（如图）．
（1）记为，的周长为，求关于的函数关系式；
（2）如何设计才能使的周长最小？
【答案】（1）;（2），．
【解析】（1）在上，在上，
当与重合时，取最小值；当与重合时，取最大值，．
在中有，在中有．
在中有，
的周长．
（2）由（1）可设，则，
其中．
，，
，
，
．
显然在上单调递减，
当时，的周长最小，
此时，．
12．如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；
（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点、在半径、上，且，，求花圃面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，，
又，设，，
在中，由正弦定理可知，，
，，
的周长，．
化简得．
时，的周长有最大值为米．
答：周长的最大值为米；
（2）图2中与图1中面积相等，
而在中，，，，
．
由余弦定理知，，
，
，当且仅当时取“”．
平方米．
答：花圃面积的最大值为平方米，此时米．
2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）
第六章 平面向量及其应用专项训练
考点一 向量的基本概念
解决向量的概念问题应关注五点
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．
一．选择题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
③为实数），则必为零
④，为实数，若，则与共线
其中正确的命题个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，①错误；
对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，
但它们的模能比较大小，②正确；
对于③，时为实数），或，③错误；
对于④，若时，，此时与不一定共线，④错误；
综上，其中正确的命题为②，共1个．
故选A．
2．下列说法中正确的是
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．对于任意向量，，必有
【答案】D
【解析】平行向量是共线向量，故不正确；
单位向量的模相等，方向不一定相同，故不正确；
若，满足且与同向，则显然不正确，向量不能比较大小，故错误；
向量的加法的平行四边形法则，可知对于任意向量，，必有，故正确；
故选D．
3．有下列命题：
①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；
②若，则；
③若，则四边形ABCD是平行四边形；
④若，，则；
⑤若，，则；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中，假命题的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若，则、不一定相同，②错误；
对于③，若，、不一定相等，
四边形不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若，，则，④正确；
对于⑤，若，，
当时，不一定成立，⑤错误；
对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑥错误；
综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．
故选C．
4．（共线向量的概念）下列命题中，正确的是
A．若，则与方向相同或相反
B．若，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，，则
【答案】D
【解析】由于零向量的方向是任意的，取，则对于任意向量，都有，知错；
取，则对于任意向量，都有，，但得不到，知错；
两个单位向量互相平行，方向可能相反，知错；
由两向量相等的概念知正确．
故选D．
5．已知向量不共线，，，若，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】向量不共线，，，，
，
，
解得，．
故选D．
6．已知向量，不共线，且，，若与方向相反，则实数的值为
A． B． C．1或 D．或
【答案】A
【解析】由，，且与方向相反，
所以，
即，
解得或，
当时，，，与反向，
当时，，，与同向，
所以实数的值为．
故选A．
二．填空题
7．给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则；
③若，则，，，四点构成平行四边形；
④在平行四边形中，一定有；
⑤若，，则；
⑥若向，，则．
其中错误的命题有 ．（填序号）
【答案】①②③⑥
【解析】在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故①错误；
在②中，若，则与大小相等，方向不一定相同，故②错误；
在③中，若，则，，，四点不一定构成平行四边形，故③错误；
在④中，在平行四边形中，由向量相等的定义得一定有，故④正确；
在⑤中，若，，则向量相等的定义得，故⑤正确；
在⑥中，若向，，当时，与不一定平行，故⑥不正确．
故答案为：①②③⑥．
8．下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
②若，则；
③若非零向量共线，则；
④向量，则向量共线；
⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确的序号为 ．
【答案】①④
【解析】对于①，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；
对于②，当时，与不一定相等，命题②错误；
对于③，若非零向量共线，则不一定成立，命题③错误；
对于④，向量时，向量共线，命题正确；
对于⑤，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题⑤错误；
综上，正确的命题序号是①④．
故答案为：①④．
三．解答题
9．已知向量，，．
（Ⅰ）若，求，的值；
（Ⅱ）若向量满足，，求的坐标．
【答案】
【解析】（Ⅰ）向量，，，
由，所以，，，，，
所以，
解得；
（Ⅱ）设，则，，
由，且，
所以，
解得或，
所以或．
10．设两个非零向量与不共线．
（Ⅰ）若，，且与平行，求实数的值；
（Ⅱ）若，，，求证：，，三点共线．
【解答】（Ⅰ）解：由，，
所以，，
因为与平行，所以有，
解得．
（Ⅱ）证明：因为，，，
所以，
即，所以与共线，
因此，，三点共线．
考点二 平面向量的线性运算
平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．
(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
一．选择题
1．已知等边三角形ABC的边长为6，点满足，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，
故，
故，
故，
故选C．
2．在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在平行四边形中，设对角线与相交于点，
则．
故选B．
3．已知点是正方形ABCD的中心，点为正方形ABCD所在平面外一点，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，，，，，
．
故选A．
4．已知向量，，若，则
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【解析】，，得，．
故选A．
5．在平行四边形ABCD中，，，若是DC的中点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
平行四边形中，，，
则，
又是的中点，
则．
故选C．
6．在等腰梯形ABCD中，，为BC的中点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，
等腰梯形中，
，，；
又为的中点，
，
又，
；
；
．
故选B．
7．在中，，．若点满足，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，；如图；
，
又，
；
；
故选C．
8．如图，在中，点是BC边上靠近的三等分点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．
故选C．
二．填空题
9．在直角坐标系中，为原点，，则 ．
【答案】0
【解析】，
，
，
，，，
故答案为：0．
10．在中，已知是边上一点，若，，则 ．
【答案】
【解析】中，是边上一点，，，
如图所示，
①，
，
②；
①②得，，
；
．
故答案为：．
三．解答题
11．如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，．
（1）用，分别表示向量，；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）由题意，为的中点，且，
，
，
；
（2），
，
，，共线，
，
．
12．如图所示，在中，，，与相交于点，设，．
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，．记，，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，，三点共线，可设，
由，，三点共线，可设，
因为，不共线，
所以，解得，，
故．
（2）因为，，三点共线，
设，
由（1）知，，
即，，
所以，
故．
考点三 平面向量数量积的运算
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
一．选择题
1．已知，，且与的夹角为，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，且与的夹角为，
，
，
故，
故选A．
2．已知向量满足，，，，则
A．3 B．7 C． D．
【答案】D
【解析】由，，，，
所以．
故．
故选D．
3．已知向量是单位向量，若，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设与的夹角为，
向量，，则，
若，则，变形可得，
又由，则，
故选C．
4．若非零向量，满足，，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设与的夹角为，，则，
若，则，
即，
又由，则，
故选C．
5．已知向量，，，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，设与的夹角为，
因为，所以，即，
向量，则，
则有，解得，
又由，则，
故与的夹角为；
故选D．
6．向量，，，若，则实数等于
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】根据题意，，，则，
若，则，
解可得：，
故选B．
7．已知向量，满足，，且，则
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由得,
即,解得．
故选C．
8．已知，，且，则
A．6 B．8 C．3 D．
【答案】A
【解析】
．
故选A．
9．已知向量，，且，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，解得，
，，
．
故选C．
二．填空题
10．设非零向量满足，且，则向量与的夹角为 ．
【答案】
【解析】根据题意，设，则，向量与的夹角为，
若，则，
解可得，
又由，则，
故答案为：．
11．已知单位向量，的夹角为，则 ．
【答案】1
【解析】因为，所以．
故答案为1．
三．解答题
12．已知，，．
（1）求与的夹角；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，．
所以，即，所以，
，，，，，
可得，
（2）．
13．在平面直角坐标系中，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，若，即，
则，
故，
（2）若向量，则，
解可得，
故．
考点四 平面向量数量积的性质应用
平面向量数量积求解问题的三个策略
(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
一．选择题
1．在中，，点在AB上，，，则
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】因为中，，点在上，，，
故，
所以，
故选C．
2．若的外心为，且，，，则等于
A．5 B．8 C．10 D．13
【答案】C
【解析】取的中点，的中点，的中点，连接，，，，
为的外心，
故，
，
同理可得：，，
，，，
，
则，
故选C．
3．已知，，均为单位向量，且满足，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，均为单位向量，且满足，
故，，围成，
设的中点为，连接，，，，
因为，
，
故，，三点共线，且，
，
故为等腰三角形，
故有，即，且，，
，
．
故选B．
4．在中，，，点是BC的中点，则的值为
A． B．6 C． D．8
【答案】A
【解析】在中，，，点是的中点，
．
故选A．
5．点是边长为2的正的边BC上一点，且，则
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】点是边长为2的正的边上一点，且，
，
，
故选C．
6．在中，，，，点，分别为CA，CB的中点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，，，可知，
所以三角形是直角三角形，如图：建立如图所示的坐标系，
则，，点，分别为，的中点，
所以，，
所以，，
所以，，．
故选B．
7．已知为的外心，，，则
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】过点分别作于，于，则、分别是、的中点，
可得中，
，
同理可得，
，
故选C．
8．四边形ABCD中，，，，则
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以
故选B．
二．填空题
9．已知矩形中，，，设与交于点，则 ．
【答案】
【解析】
，
故答案为：．
10．在中，为中线上的中点，若，则等于 ．
【答案】
【解析】由题意画出草图：
由于点为中边的中点，
，
．
为中线上的中点，即、、三点共线，
，
．
故答案为：．
三．解答题
11．（1）已知平面向量、，其中．若，且，求向量的坐标表示；
（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且，求的值．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1），，
设，且，
，解得，
或；
（2），，
，
又，
，解得．
12．在中，若，，．
（1）用，表示，；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）如图，，
，；
（2），，，
．
考点五 平面向量基本定理及应用
应用平面向量基本定理表示向量的实质
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．
一．选择题
1．正方形ABCD中，点，分别是DC，BC的中点，那么
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，分别是，的中点，
，
故选C．
2．在中，为AB边的中点，为AC边上的点，BD，CE交于点．若，则的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】设，
因为，
所以，
因为，，三点在同一条直线上，
所以，所以，
所以．
故选C．
3．在所在平面中，点满足，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，
即，
则．
故选A．
4．中，点为AC上的点，且，若，则的值是
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以，
所以，
若，
则，，．
故选C．
5．在五边形ABCDE中，，，，分别为AE，BD的中点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，分别为，的中点，
所以
．
故选C．
6．已知等边内接于，为线段OA的靠近点的三等分点，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：设中点为，
则
．
故选D．
7．在中，点在线段BC上，且，若，则
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
故，
若，
则，，
所以．
故选D．
8．如图，在中，为线段AC上靠近的三等分点，点在BN上且，则实数的值为
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】，
为线段上靠近的三等分点，
所以，因为点在上，即，，三点共线，
所以，解得．
故选D．
二．填空题
9．平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】平行四边形中，为的中点，点满足，
所以，
，
则根据平面向量基本定理可得，，
解可得，，，
则，
故答案为：．
10．已知中，、分别为、的中点，，，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，
，
所以，，所以，
故，
当且仅当时取等号，的最大值．
故答案为：．
三．解答题
11．如图，在平行四边形中，，，，为的中点，为线段上靠近点的四等分点，记，．
（1）用，表示，；
（2）求线段的长．
【答案】（1）．；（2）.
【解析】（1）．
．
（2），
即，
即．
12．如图，四边形中，已知．
（Ⅰ）用，表示；
（Ⅱ）若，，当，，三点共线时，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（Ⅰ）．
，
则．
（Ⅱ）．，
，
，，
，
若，，三点共线时，
则，得，
得，得．
考点六 利用正弦、余弦定理解三角形
正、余弦定理的应用原则
(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．
(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
一．选择题
1．已知在角、、的对边分别是、、，且，，．则的最大角的正弦值是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】最大角是，根据余弦定理：，且，
．
故选D．
2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，且，
，
，且，
．
故选A．
3．的三内角，，对的边分别为，，．若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为：，
所以：，可得，
由余弦定理可得，
则．
故选B．
4．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则
A．6 B．3 C．6或3 D．6或4
【答案】C
【解析】因为，，，
所以由余弦定理，可得，整理可得，
解得或6．
故选C．
5．的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】，，，
由余弦定理可得：．
故选B．
6．在中，角，，的对边分别为，，，点在边AC上，已知，，，，则
A．8 B．10 C． D．
【答案】A
【解析】如图，在中，，，，
由余弦定理可得，，得，
因为，
由正弦定理得，得，
得，
由，可得，
得，
所以，，
所以三角形为等边三角形，即．
故选A．
7．在中，，，分别为内角，，的对边，且，则的大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,
,
即，
得，
即，
得，
则，
由,
得内角，
故选B．
8．中，角，，所对的边分别为，，，满足，，，则
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，
由正弦定理可知，
所以．
故选C．
二．填空题
9．在中，内角，，对应的边分别是，，，若，则的大小为 ．
【答案】
【解析】在中，由正弦定理可得，
所以，
又，
所以．
故答案为：．
10．在中，，，，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，
则．
故答案为：．
三．解答题
11．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，．
（1）求；
（2）求的周长．
【答案】（1）；（2）9.
【解析】（1）因为，
所以，
解得，或（舍，
由为三角形内角得，
（2）因为，
由正弦定理得，，
因为，
故，
所以，
故，
所以的周长．
12．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2），.
【解析】（Ⅰ）因为，
所以由正弦定理可得，即，
又因为，
所以，
因为为锐角，
所以．
（Ⅱ）
，
因为，可得，
所以，，即，．
考点七 正弦定理和余弦定理的应用
1.求距离问题的两个注意点
(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
2.求解高度问题应注意
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
3.解决测量角度问题的三个注意点
(1)明确方位角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
一．选择题
1．渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头出发北航行到北岸．假设游船在静水中航行速度大小为，水流速度的大小为．设速度与速度的夹角为，北岸的点A'在码头的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应
A．在东侧 B．在西侧 C．恰好与重合 D．无法确定
【答案】A
【解析】如图建立直角坐标系，时，
水流速度为，
轮船的速度，，
，，
这说明船有轴正方向的速度，即向东的速度，
故该游船航行到达北岸的位置应在的东方，
故选A．
2．某中学为推进智能校园建设，拟在新校区每个教室安装“超短距”投影仪，如图：投影仪安装在距离墙面20cm处，其发射的光线可以近似的看作由一个点发出，光线投影在墙面上的屏幕AB上，已知AB高度为120cm，光线上界SA的俯角为，则投影仪的垂直视角的余弦值
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图及题意知：，，，
所以，，，
在中有余弦定理可得，
故选D．
3．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术-- “过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则约为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知六指为（厘米），
所以，
所以．
故选B．
4．如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则此山的高
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，由题意可得：中，，．
在中，，．
又，
在中，由余弦定理可得：，
解得．
故选A．
5．如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即，．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为
A．北纬 B．南纬 C．北纬 D．南纬
【答案】B
【解析】由题意知，天安门广场的太阳高度角为，
由汉白玉华表的高和影长相等可知，
所以，
所以该天的太阳直射纬度为南纬．
故选B．
6．测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点在同一水平面内的两个观测点和，如图，测得，，，并在处测得建筑物顶端的仰角为，则建筑物AB的高度为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，在中，，，
，
又，
由正弦定理得，
；
在中，，，
；
则建筑物高为．
故选B．
7．如图，为测量出山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高MN为 ．
A．100 B．150 C．200 D．250
【答案】B
【解析】由题意：点的仰角，山高，
勾股定理，可得．
在中，，，那么
．
正弦定理：
即
可得：．
在中，，
可得：．
故选B．
8．如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达处，此时测得俯角为，已知此山的高，小车的速度是，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，平面，
所以，，
所以，为直角三角形，且，，，
可得，，
可得，
所以．
故选A．
二．填空题
9．如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪，经测量得，，，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路（其中点在边上，点在边上），若恰好将该草坪的面积平分，则，两点间的最小距离为 ．
【答案】
【解析】由，，，由余弦定理可得，
由图知，
由题意可得，所以，
由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
所以，
所以的最小值为，
故答案为：．
10．如图所示，在山脚测得山项的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了100米到山腰，在处测得山顶的仰角为，则山高 ．
【答案】
【解析】中，，，
，，
山高．
故答案为：．
三．解答题
11．某公园有一矩形空地，，，市政部门欲在该空地上建造一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中是的中点，，分别落在线段和线段上（如图）．
（1）记为，的周长为，求关于的函数关系式；
（2）如何设计才能使的周长最小？
【答案】（1）;（2），．
【解析】（1）在上，在上，
当与重合时，取最小值；当与重合时，取最大值，．
在中有，在中有．
在中有，
的周长．
（2）由（1）可设，则，
其中．
，，
，
，
．
显然在上单调递减，
当时，的周长最小，
此时，．
12．如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值；
（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点在弧上，另两个顶点、在半径、上，且，，求花圃面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，，
又，设，，
在中，由正弦定理可知，，
，，
的周长，．
化简得．
时，的周长有最大值为米．
答：周长的最大值为米；
（2）图2中与图1中面积相等，
而在中，，，，
．
由余弦定理知，，
，
，当且仅当时取“”．
平方米．
答：花圃面积的最大值为平方米，此时米．
相关试卷
第七章 复数【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）： 这是一份第七章 复数【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019），共12页。试卷主要包含了设是虚数单位，复数的虚部是，设复数，且，则的虚部为，若，则，已知复数，则下列说法正确的是，若，则实数的值为，已知为虚数单位，则等于，已知，，为虚数单位，且，则 等内容，欢迎下载使用。
第六章 平面向量及其应用【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）： 这是一份第六章 平面向量及其应用【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019），共2页。试卷主要包含了向量的有关概念，平面向量的线性运算，共线向量定理，平面向量基本定理，平面向量的数量积及坐标表示，余弦定理及其推论，正弦定理及其常见变形等内容，欢迎下载使用。
第八章 立体几何初步【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）： 这是一份第八章 立体几何初步【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019），共65页。试卷主要包含了以下空间几何体是旋转体的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
