备战高一数学上学期期末（人教B）专题09 平面向量初步（原卷版）

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向量的概念
1（多选）（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
2（多选）（23-24高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（ ）
A．数轴上零向量的坐标为0
B．若a与b都是单位向量，则a+b的最小值为0
C．若A-2,1,B2,-1，则AB=0
D．若A-2,1,B2,-1，则线段AB的中点坐标为0,0
平面向量的线性运算
1（23-24高一上·北京西城·期末）如图，在正六边形ABCDEF中，AB-CD=（ ）
A．BCB．BFC．ECD．BE
2（23-24高一上·河北石家庄·期末）向量AB+OM+BO+MB= （ ）
A．BCB．AB
C．ACD．AM
3（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5，则a+b的取值范围是（ ）
A．2,3B．2,8C．3,5D．2,5
4（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点，设AB=a,AC=b，则AE=（ ）
A．-16a+12bB．16a-12b
C．-16a-12bD．16a+12b
5（23-24高一上·广西柳州·期末）在三角形ABC中，若点D满足BD=2DC，则AD= （ ）
A．13AC+23ABB．53AB+23AC
C．23AC+13ABD．23AC-13AB
6（23-24高一上·北京房山·期末）如图，在△ABC中，点M，N满足AM=MB，BN=3NC，则MN=（ ）
A．14AB+34ACB．14AB-34AC
C．-14AB+34ACD．-14AB-34AC
7（23-24高一上·辽宁大连·期末）在平行四边形ABCD中，AE=EB，FB=3FC，则（ ）
A．EF=12AB+34ADB．EF=12AB+32AD
C．EF=12AB-34ADD．EF=12AB-32AD
8（多选）（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）下列等式一定正确的是（ ）
A．a+b=b+aB．AB+BC+CA=0
C．CA+AC=OA-OC+CAD．AB+BA=0
9（多选）（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．AB-AM=BM
B．零向量与任意向量共线
C．互为相反向量的两个向量的模相等
D．若向量a，b满足a=1，b=4，则3≤a→+b→≤5
10（多选）（23-24高一上·辽宁丹东·期末）在△ABC中，D在AB边上，AD=2DB，E是CD的中点，则（ ）
A．BC=AB-ACB．CD=13CA+23CB
C．AE=13AB+12ACD．AC=2CB-3CD
11（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2BC，E是线段CD的中点，线段AE与线段BD交于F，则（ ）
A．AD=2BC B．DB=AD-AB C．AE=12AB+34AD D．AF=45AE
向量基本定理
1（多选）（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．e1=0,0，e2=1,1
B．e1=1,2，e2=-2,1
C．e1=-3,4，e2=35,-45
D．e1=2,6，e2=-1,-3
2（多选）（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）下列说法中正确的是（ ）．
A．四边形ABCD是平行四边形，则必有AB=CD
B．P是△ABC所在平面上的任意一点，且满足OP=OA+λAB+AC，λ∈0,+∞，则直线AP一定通过△ABC的重心
C．两个非零向量a，b，若a-b=a+b，则a与b共线且反向
D．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a=λb
3（23-24高一上·北京昌平·期末）在△ABC中，点D，E满足DC=2BD，AE=EC.若DE=xAB+yAC，则x+y= .
4（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图，在△ABO中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC相交于点M.设OA=a，OB=b.

(1)试用基底a,b表示向量OM；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若OE=λOA，OF=μOB，求1λ+3μ的值.
5（23-24高一上·北京延庆·期末）如图，在△ABC中，AB=a,AC=b，D为BC中点，E为AD上一点，且2AE=ED，BE的延长线与AC的交点为F.
(1)用向量a与b表示 BC和 AD
(2)用向量a与b表示 BE;
(3)求出 AFAC的值
向量的坐标表示
1（23-24高一上·北京房山·期末）已知A2,-3，B-4,1，则线段AB中点的坐标为（ ）
A．-3,2B．3,-2C．1,1D．-1,-1
2（23-24高一上·北京昌平·期末）已知向量a，b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则a+b=（ ）
A．2B．2C．5D．4
3（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知向量PQ=1,-5，QR=-2,1，则PR=（ ）
A．4,-6B．-1,-4C．-2,4D．2,-4
4（23-24高一上·北京房山·期末）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μbλ,μ∈R，则λ+μ= .
平面向量的平行
1（23-24高一上·河北秦皇岛·期末）已知e1,e2是两个不共线的向量,a=e1+3e2,b=-2e1+ke2，若a与b是共线向量，则实数k的值为（ ）
A．-6B．6C．32D．-32
2（23-24高一上·辽宁·期末）已知a与b为非零向量，OA=a+b,OB=2a-b,OC=λa+μb，若A,B,C三点共线，则2λ+μ=（ ）
A．0B．1C．2D．3
3（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知向量a=-2,1,b=1,3,c=3,2，若a+λb∥c，则实数λ的值为（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
4（23-24高一上·浙江宁波·期末）与向量a=2,-3共线的一个单位向量的坐标是 .
5（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设a=1,2，b=-1,1，c=-5,-4．
(1)试用a、b表示c；
(2)若(a+kb)//c，求k的值，说明此时(a+kb)与c是同向还是反向，并求|a+kb|．
6（23-24高一上·浙江杭州·期末）设a,b是不共线的两个非零向量．
(1)若OA=4a-2b,OB=6a+2b,OC=2a-6b，求证：A,B,C三点共线；
(2)若4a+12kb与12ka+b共线，求实数k的值．
7（23-24高一上·北京·期末）在△ABC中，点D,E分别在边BC和边AB上，且DC=2BD,BE=2AE,AD交CE于点P，设BC=a,BA=b．
(1)用a,b表示EC和DA；
(2)若DP=47DA,EP=tEC，用a,b表示BP，并求实数t的值；
(3)在边AC上有点F，使得AC=5AF，求证：B,P,F三点共线．
平面线性运算的应用
1（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知△ABC，D为BC边中点，若点P满足3PA+2PB+PC=0，则下列说法正确的是（ ）
A．点P一定在△ABC内部B．4PA+2PB=CA
C．S△ABC=3S△PACD．点P在直线AD上
2（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知点A(-1,1),B(3,2),D(0,5)，若BC=2AD，AC与BD交于点M，则点M的坐标为 .
最值问题
1（23-24高一上·浙江宁波·期末）在△ABC中，点D为AC边上的中点，点E满足EC=3BE，点P是直线BD，AE的交点，过点P作一条直线交线段AC于点M，交线段BC于点N（其中点M，N均不与端点重合）设CM=mCA，CN=nCB，则m+n的最小值为（ ）
A．4+35B．4+235C．75D．165
2（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且AG=2GD，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.
(1)试用AB和AC表示AM，BG
(2)若AE=λAB，AF⃗=μAC⃗λ,μ∈R+，求λ+4μ的最小值.
3（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB、AC交于M、N两点（点M、N与点B、C不重合），设AB=xAM，AC=yAN．
(1)求x+y的值；
(2)求1x-1+2y-1的最小值，并求此时x，y的值．
4（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2BC=2CD=2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．
(1)用AB和AD表示AM；
(2)求ANNM；
(3)设AC=xDB+yAP，求xy的取值范围．