江苏省无锡市天一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省无锡市天一中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列关于空间几何体的论述，正确的是（ ）
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D. 存在三棱锥，其四个面都是直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用两个底面全等的斜棱柱拼接可判断A；利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接可判断B；考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；在正方体中，取三棱锥即可判断D.
【详解】对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，A错误；
对于B，如图2，利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接而成的几何体满足B中条件，
但该几何体不是棱台，B错误；
对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，C错误；
对于D，如图3，在正方体中，连接，
因为平面，平面，
所以，所以为直角三角形.
又平面，平面，
所以，所以为直角三角形.
所以三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确.
故选：D
2. 已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数乘法求出的实部和虚部，即可得出其对应的点.
【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，
所以，则在复平面内对应的点为.
故选：.
3. 已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据在方向上的投影向量可求得，再利用投影向量的定义求解即可.
【详解】向量和满足，由在方向上的投影向量为，
可得，解得，
所以在方向上的投影向量为.
故选：D.
4. 充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由已知可得选项C绕对称轴旋转才能形成充满气的车轮内胎，故选C.
考点：空间几何体.
5. 已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先结合圆的性质可得，则，再利用正弦定理求解可得答案.
【详解】O是△ABC的外心，则在上的投影向量为，
所以，解得，
由正弦定理，∴，
故选：B.
6. 已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由图形可知 ．故选B．
7. 如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（ ）
A. B. 16C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果.
【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图，
令扇形圆心角大小为，则，解得，
在中，，则，
所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为.
故选：C
8. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. 30mB. 20mC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中由正弦得出AM，再结合中由正弦定理得到CM，进而能求CD．
【详解】由题意知：，则，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
且
在中，
(m)．
故选：C．
二、多选题
9. 已知复数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D.
【答案】BD
【解析】
【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据两个虚数无大小关系判断C；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断D.
【详解】对于A，设，显然，但，故A错误；
对于B，设，，则，
所以，
，
所以，故B正确；
对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误；
对于D，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量，
为和为邻边构成平行四边形的对角线的长度，
所以，故D正确.
故选：BD.
10. 已知，，则正确的有（ ）
A. B. 与方向相反的单位向量是
C. 与的夹角为D. 在上的投影向量是
【答案】AC
【解析】
【分析】由坐标表示向量的数量积可得A正确；先求出与方向同向的单位向量再求其相反向量可得B错误；由向量夹角的余弦计算可得C正确；由投影向量的计算可得D错误.
详解】对于A，，故A正确；
对于B，与方向同向的单位向量是，所以相反的单位向量为，故B错误；
对于C，，又，所以与的夹角为，故C正确；
对于D，在上的投影向量是，故D错误.
故选：AC
11. 已知锐角三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B. 的最小值为
C. 的面积最大值为
D. 的值可能为3
【答案】AD
【解析】
【分析】先根据为锐角三角形，求出的范围，再根据正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，则利用的取值范围判断A，利用平面向量数量积的定义结合余弦定理将数量积表示为一元函数，再利用二次函数的性质求解最值判断B，利用三角形面积公式判断C，利用余弦定理求出的范围，再判断D即可.
【详解】对于A，因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
同理可得，则的取值范围为，故A正确，
对于B，由余弦定理得，即，
则，而，
，
令，由正弦定理得，
则，
因为，所以，得到，
则，而，得到，
由二次函数性质得在上单调递增，则，
即的最小值不为，故B错误，
对于C，由三角形面积公式得，
则的面积最大值不为，故C错误，
对于D，因为，所以，
因为，
而，所以的值可能为3，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：解题关键是结合题意求出的取值范围，然后利用平面向量数量积的定义结合余弦定理得到，再利用二次函数的性质得到所要求的最值即可．
三、填空题
12. 如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为____.
【答案】
【解析】
【分析】设的面积为，三棱台的高为，可知，利用台体的体积公式可求得的值，再利用台体和锥体的体积公式可求得结果.
【详解】设的面积为，三棱台的高为，
易知，且，则，
则，可得，
，
所以，沿平面截去三棱锥，
则剩余的部分几何体的体积为.
故答案为：.
13. 已知的三个内角分别为、、，，求的值___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理，即可得到结果.
【详解】由余弦定理得：，
由正弦定理（r为外接圆的半径），
得，
则，
故答案为：
14. 在中，是边的中点，是线段的中点．设，，若，的面积为，则当______．时，取得最小值．
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量加减法的线性运算求解，由的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值时、的值，再利用余弦定理求出的值．
【详解】是边的中点，是线段的中点，
则，，
所以，
如图所示，中，，
所以的面积为，
所以，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以最小值为6，
所以此时，，，
所以，
所以．
故答案为：2．
四、解答题
15. 已知复数
（1）若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值；
（2）若复数满足，求．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件，即可列方程求解，
（2）由复数的除法运算可得，即可由模长公式求解.
【小问1详解】
，所以，
【小问2详解】
由可得
故
16. 已知分别为三个内角的对边，向量，.
（1）求；
（2）若.求的面积.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解；
（2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
，即，
又，故，即.
【小问2详解】
，所以，
，
,
又,即,
,
或（舍）,
故.
17. 在直角梯形中，，，，点是边上的中点.
（1）若点满足，且，求的值；
（2）若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论；
（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围；
法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果.
【小问1详解】
如下图所示：
由可得，
所以，
又，可得
所以；
【小问2详解】
法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，则，
由点是线段上的动点（含端点），可令，
所以，则，
所以，
由二次函数性质可得当时取得最小值；
当时取得最大值；
可得
法2：取中点，作垂足为，如下图所示：
则
显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值，
可得
18. 养殖户承包一片靠岸水域，如图为直岸线，，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.
（1）求岸线上点与点之间的直线距离；
（2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，求的取值范围.
【答案】（1）千米
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理，结合题意，可得答案；
（2）由正弦定理，表示出边，整理利润的三角函数表达式，可得答案.
【小问1详解】
在中，由余弦定理，得
即岸线上点A与点之间直线距离为千米.
【小问2详解】
在中，设，
，
故有，
，
设两段网箱获得的经济总收益为万元，则
，
故的取值范围为.
19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
（3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可；
（2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得；
（3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得.
【小问1详解】
因，
则，故.
【小问2详解】
依题意，，
由可得，
因，则，故，解得
因，则，
又，代入解得①，
由正弦定理，，可得，
代入①，可得②，
又由余弦定理，，
可得③，
于是，
解得.
【小问3详解】
依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当时，两者有四个交点.
故实数m的取值范围为.