江苏省扬州中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省扬州中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．已知D是的边BC上的点，且，则向量（ ）.
A．B．
C．D．
4．若向量，且A，C，D三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量满足，，且，则夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．定义在实数集R上的函数，满足，当时， ，则函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（ ）
A．在和上单调递减B．的值域为
C．的取值范围是D．
10．下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
11．设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是的重心，则
B．若点O是的垂心，则
C．若，则点O是的外心
D．若O为的外心，H为的垂心，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．的值域为 ．
13．已知函数，满足，若函数恰有5个零点，则实数的范围为 .
14．已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知平面向量、满足，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当实数为何值时，．
16．计算下列各值：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
17．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
(1)求的值；
(2)若为线段上任意一点，求的取值范围．
18．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题，
(1)已知向量满足，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.
19．已知函数.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若函数，请判断是否存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若函数，当时，记的最小值为，求.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，，且函数图象连续不断，
所以函数在区间内有零点，
所以下一步应计算，，
故选C.
2．【答案】D
【详解】.
故选D.
3．【答案】C
【详解】由题意作图如下：

由，则，
.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由三点共线，得，
又，得，解得.
故选B.
5．【答案】A
【详解】因为，所以，解得.
故选A.
6．【答案】B
【详解】由，得，
由，得，
两式相加得，，所以可得，
因为，，所以，
所以，可得.
故选B.
7．【答案】B
【解析】由题意可知，函数是以为周期的周期函数，且该函数为偶函数，作出函数与函数的图象，可知两个函数在区间上都有一个交点，由此可得出结论.
【详解】，所以，函数是以为周期的周期函数，
又，所以，函数是偶函数，
，的图象关于直线对称，
任取、且，则，
所以，，即，所以，函数在区间上为增函数，
令得，作出函数和的图象如图所示：
令得，
由图象可得函数和的图象在每个区间上都有个交点，所以，函数共有个零点．
故选B．
8．【答案】D
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为点是线段的中点，所以，
所以，
又因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时，取到最小值，
故选D.
9．【答案】ACD
【详解】作出函数的图象，如图，设，则直线与的图象有三个交点，
对A，由图象知A正确，
对B，当时，，B错；
对C，或，
因为，所以，从而，又，
所以，C正确，
对D，由图可知 ，即，D正确，
故选ACD．
10．【答案】BC
【详解】对于A，，
故A错误；
对于B，，
故B正确；
对于C，，
故C正确；
对于D，
，故D错误.
故选BC.
11．【答案】ACD
【详解】取中点，如图，
因为点O是的重心，所以，故A正确；
因为点O是的垂心，所以，
故，故B错误；
因为，所以，
同理可得，所以，即为外心，故C正确；
如图，
因为 ，
所以，
两式相减可得，
同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以，
即，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】，
所以的值域是，
13．【答案】.
【详解】由，得，解得，则
令，由可得：，
解得：，依题意，直线与直线与的图象恰有5个交点.
当时，在上单调递减，在上单调递增，故时，；
当时，可看成关于轴对称得到，故其在上单调递减.
作出函数的图象如图所示.

由图象可知，需使，即的取值范围为.
14．【答案】
【详解】取的中点，则，
因为，所以，
所以，又为公共端点，所以三点共线，
所以点在边的中线上，且，
同理点在边的中线上，即点为的重心，
故，
因为，
所以点为的外心，即为为中垂线的交点，
故，
则，
所以，
而，所以，
即，
所以，所以，
所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，与的夹角为．
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
化为，解得.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因则.
又，则，
.
则
；
（2）由题
.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、、，
因为，，，
所以，所以，所以点，
设，则，，
因为，所以，解得，
所以，，则．
（2）解：由（1）知，，设，其中，
则，
所以，
因为，故当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
故的取值范围为．
18．【答案】(1)2
(2)7
(3)9
【详解】（1）由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
（2）设，则，
所以，
，
所以，
又，
所以；
（3）由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是9．
【关键点拨】关键点在于借助所给定义及三角函数间的关系，计算得到.
19．【答案】(1)为偶函数，证明见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【详解】（1）为偶函数，证明如下：
由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称，
，
，
是定义在上的偶函数：
（2），
，
令，
则可转化为，
当时，，
当时，，
有两个零点，
一个在之间，另一个在之间，
可转化为有两个零点，
其中一个在之间，另一个在之间，则有：
无解
不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间；
（3），
，
令，
，
，
则，
的最小值即为的最小值，
①当时，，在上单调递减，
此时最小值为，
②当时，为二次函数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，