江苏省无锡市大桥实验学校2024-2025学年高一下学期3月阶段性检测 数学试题（含解析）

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一、单选题
1. 在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，与同向的单位向量为，，，的夹角为120°，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. D.
4. 在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
5. 在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A 垂心B. 内心C. 外心D. 重心
6. 已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定
8. 如图，在等腰中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若是锐角三角形，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则等腰三角形
D. 若是等边三角形，则
10. 如图直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），与边AB、AC交于点P、Q，且，，直线l将△ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为和，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 的最大值为
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若非零向量，且，则为等边三角形
B. 已知，且四边形为平行四边形，则
C. 已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1
D. 已知向量，则与夹角范围是
三、填空题
12. 某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高__________m.
13. 如图，在平面四边形中，，，，若点为边上动点，则的最小值为___________
14. 如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，O是圆心，直径MN为24米，P是弧的中点．一个时装塑料模特A在OP上，．计划在弧上设置一个收银台B，记，其中
（1）则_________（用表示）：
（2）若越大，该店店长在收银台B处的视线范围越大，则当店长在收银台B处的视线范围最大时，AB的长度为________米．
四、解答题
15. 在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，.
（1）求的面积；
（2）若是边上一点，且，求的长.
16. 在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
17. 已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行．
（1）甲船航行3小时到达C处，求AC；
（2）在A海岛西偏南方向6海里E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．
18. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点.
（1）求结果用表示；
（2）若 .
①求的取值范围；
②设，记，求函数的值域.
19. 设，我们常用来表示不超过x的最大整数.如：，.
（1）已知的两根是，，.求的值；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则的最小值为m，求的值.
（3）已知，，若对，，使不等式成立，求实数a的取值范围.