江苏省苏州市吴江区吴江中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省苏州市吴江区吴江中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共16页。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共4页，本卷满分为150分.考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卡交回.试卷保留，以待讲评.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、班级号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式及正弦二倍角公式即可求解.
【详解】，
故选：A
2. （ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的加减运算，即可得答案.
【详解】由题意得,
故选：A
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先说明“”是“”成立的充分不必要条件(易于验证充分性，举反例说明非必要性），然后利用逆命题的关系得到结论.
【详解】当，，成立，
取，，成立，
所以“”是“”成立的充分不必要条件，
所以“”是“”必要不充分条件，
故选：B
4. 将函数的图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则m的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，且该函数为偶函数，
则，解得，
因为，则当时，取最小值.
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【详解】由可得，
故，
故选：B
6. 函数f（x）=sinx-cs(x+)的值域为
A. [ -2 ,2]B. [-,]C. [-1,1 ]D. [-, ]
【答案】B
【解析】
【详解】f（x）=sinx-cs(x+)，，值域为[-,].
【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域
7. 函数与在内的交点为P，过P作x轴的垂线交的图象于点，与x轴交于，则线段的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，根据同角三角函数的基本关系转化为的方程，求出，即可得到点的纵坐标，从而得解.
【详解】设点的坐标为，则可设点的坐标为，点的坐标为，
联立，消去得，整理得，
即，即，
所以或（舍去），
即，所以点纵坐标，
所以线段的长为．
故选：D
8. 已知，均为锐角，，，则（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系得到，，然后利用和差公式计算即可.
【详解】因为均为锐角，所以，，，
所以，
因为， 所以（舍去），，
.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分.
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 零向量是最小的向量
C. 若，则一定为一个三角形的三个顶点
D. 单位向量都相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据共线向量，零向量，单位向量的定义即可求解.
【详解】对于A,方向相反的向量一定共线，A正确，
对于B，向量没有大小，零向量是模长最小的向量，故B错误，
对于C，，则可能共线，此时无法构成三角形，故C错误，
对于D，单位向量是长度为1的向量，但方向不一定相同，故D错误，
故选：BCD
10. 声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为.设声音的函数为,音的响度与的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是，纯音乙的函数解析式是，则下列说法正确的有（ ）
A. 纯音乙的响度与ω无关
B. 纯音乙的音调与ω无关
C. 若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则
D. 复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，判断纯音乙函数的最大值是否为定值即可；对于B，判断纯音乙函数的周期是否为定值即可；对于C，只需复合音甲函数的周期更大即可，列出不等式计算并判断；对于D，可以发现，但不能取等，由此即可判断.
【详解】由题意，
设的最小正周期为，则，
所以，故，故，
当时，有，从而的最小正周期为，
对于A，由于纯音乙的最大值，即其最大值不变，所以纯音乙的响度与ω无关，故A正确；
对于B，对于纯音乙函数而言，其周期满足，所以纯音乙的音调与ω有关，故B错误；
对于C，若复合音甲音调比纯音乙的音调低沉，则复合音甲函数的周期要更大，即，解得，故C正确；
对于D，，但不能同时取等，
所以，即，所以复合音甲的响度比纯音乙的响度小，故D错误.
故选：AC.
11. 设函数，将函数图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，将函数图象上的所有的点的横坐标变成原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，将函数图象上的所有的点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.下列四个选项中正确的是（ ）
A. 当时，函数的最小正周期为
B. 当时，函数是偶函数，则的最小值为
C. 当时，
D. 若在有且仅有5个零点，的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象平移得，结合各项条件及正弦型函数性质依次判断正误即可.
【详解】由图象上的所有的点向左平移个单位长度，得，
把所有的点的横坐标变成原来的倍（纵坐标不变），得，
把所有的点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），得，
综上，，
当，则的最小正周期为，A对；
当时，函数是偶函数，
则，，可得，故的最小值为，B错；
当时，的周期为2，且，
所以，C对；
由，则，又在有且仅有5个零点，
所以，则，D对.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，是方程的两根，则________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合两角和的正切公式，即可求解.
【详解】由题意，，是方程的两根，
可得，
则.
故答案为：
13. 的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】由诱导公式及两角差余弦公式即可求解.
【详解】
，
故答案为：.
14. 若函数在区间内至少出现三次最大值，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用一个周期内只有一个最大值，即可求解.
【详解】由知，
在区间上至少出现3次最大值，需要最少有个周期，
所以，
解得，
故的最小值是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切函数两角和公式直接计算即可；
（2）利用正弦和余弦的二倍角公式结合同角三角函数关系求解即可.
【小问1详解】
由题意得，
解得.
【小问2详解】
由题意得，
分子分母同除得.
故原式.
16. ．
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的对称轴和对称中心；
（3）设方程在区间内的两解分别为，，求的值．
【答案】（1）
（2）对称轴为：，对称中心为：
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得，再利用周期公式可求得最小正周期；
（2）由整体代入法即可求解；
（3）由可得，从而由题意可得且，再结合范围可得，进而可求出的值
【小问1详解】
由题意，，
则的最小正周期为；
【小问2详解】
由，
可得：，
所以对称轴为：，
由，可得：，
所以对称中心为：；
【小问3详解】
由（1）知，所以方程可化为：，
由为方程的两个根可得，且，
因为，所以，
则在区间内，解得，即，
所以
17. 某地引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线l（l为直线）距离均为（如图），计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输．由于该无人机最远运输距离为，需在之间设置补能点M（无人机需经过补能点M更换电池），且，．设．
（1）当时，求无人机从A到C运输航程的值；
（2）将表示为关于的函数，求出的定义域，并求的最小值．
【答案】（1）
（2），，
【解析】
【分析】（1）利用三角函数计算；
（2）利用三角函数表示，然后根据无人机最远运输距离列不等式，得到定义域，最后利用换元法求最值
【小问1详解】
延长交于点，
由题意得，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
所以，
则.
【小问2详解】
由（1）得，，，
则，
由题意得，解得，
所以的定义域为，
令，
因为，所以，
因为，所以，
则，
当，即时，取得最小值，，
所以得最小值为.
18. 设函数．
（1）若，，求的值；
（2）设，在处取得最大值，求；
（3）关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数的平方关系即可求解；
（2）由可得函数关于直线对称，又当时，，其中，，进而存在满足题意，利用诱导公式及二倍角余弦公式可得，由对称性可知还存在，同理可得，从而即可得答案；
（3）由，可得函数为周期函数，进而根据周期性和对称性可将原问题转化为关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，然后根据三角函数的图象与性质可得，解不等式即可得答案.
【小问1详解】
因为，
所以，
结合，
可得： ，
解得：或（舍去），
所以
所以，
所以
【小问2详解】
解：因为，
所以函数关于直线对称，
因为当时，，其中，，
所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，
所以，
所以，，
，
由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，
所以，，
综上，；
【小问3详解】
解：因为，
所以函数为周期函数，周期为，
所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
当时，，，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
19. 通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：
（1）根据上述过程，推导出关于的表达式；
（2）求的值；
（3）求证：是方程一个根．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用和差公式和二倍角公式整理；
（2）利用余弦的三倍角公式得到，然后利用正弦的三倍角公式和和差公式计算；
（3）通过计算证明.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由（1）得，
.
【小问3详解】
，
所以是的一个根.
【点睛】关键点点睛：（2）的解题关键在于根据诱导公式得到，然后将角拆成，解方程得到，然后再利用正弦的三倍角公式计算.