江苏省无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期阶段性质量检测（3月月考）数学试题(含答案)

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项.
1．如果是两个单位向量，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2．已知是两个不共线的向量，且，则（ ）
A.三点共线 B.三点共线 C.三点共线 D.三点共线
3．已知非零向量，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4．已知是夹角为的两个单位向量，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5．已知为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6．若平面向量的夹角两两相等，且，则为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
7．中，，，边上的中线，则面积S为（ ）
A. B. C. D.
8．在锐角中，角所对的边分别为，若，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的最小值为
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则符合条件的有二个
B. 若，，则角的大小为
C. 若，则是锐角三角形
D. 若为斜三角形，则
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且. 以下命题正确的有（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，向量在上的投影向量为，则向量与的夹角
为______.
13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，
则的面积为______.
14．已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，
则函数的最小值为______.
四、解答题：本题共5个小题，第15题13分，第16，17题各15分，18,19每题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题13分)已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
16． (本小题15分)在中，分别为所对的边，．
（1）若，边上的中线的长为，求的值；
（2）若，，求．
17．(本小题15分)如图，在中，已知，，为锐角，是线段的中点，在线段上，且，，相交于点，的面积为．
（1）求的长度；
（2）求的余弦值．
18． (本小题17分) 某公园拟对一扇形区域进行改造，如图所示，平行四边形为休闲区域，阴影部分为绿化区，点在弧上，点，分别在，上，且米，，设.
（1）请求出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值，最大值为多少平方米？
（2）设，求的取值范围.
19．(本小题17分) “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小。”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，
（1）若，
① 求；
② 若，设点为的费马点，求；
（2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
高一2023-2024数学第二学期阶段性质量检测参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项.
1.如果是两个单位向量，那么下列结论正确的是（ ）D
A． B. C. D.
2.已知是两个不共线的向量，且，则（ ）A
A．三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线
3.已知非零向量，，，则“”是“”的 B
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4.已知是两个不共线的向量，则的夹角为（ ）C
A． B. C. D.
5.已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为( )C
A. B.
C. D.
解：，为互相垂直的单位向量，，，
，，
，
，，
，
，
，，
当，解得，此时与的夹角为，不是锐角，
综上，的范围是．
6.若平面向量的夹角两辆相等，且，则为（ ）C
A． B. C. 或 D. 或
7. 在中，，，边上的中线，则面积S为（ ）C
A．B．C．D．
8．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的是（ ）. C
A.； B.的取值范围为；
C.的取值范围为； D.的最小值为
在中，由正弦定理可将式子化为，
又，
代入上式得，即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以，故A错误；
选项B：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围为，故C正确；
选项D：
，
当且仅当，即时取等号，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.
二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分.每小题有多个正确选项，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）. AB
A. B.
C. D.
10.的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则符合条件的有二个
B. 若，，则角的大小为
C. 若，则是锐角三角形
D. 若为斜三角形，则
【答案】AD
解：A. 若，，，则符合条件的有二个,所以A正确；
中，若，，则，由正弦定理可得：，即，在三角形中，可得，所以不正确；
中，，由正弦定理可得，所以，可得为锐角，所以C错误；
中，在三角形中，，
而，所以，
，所以D正确；
故选：．
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【分析】对A，取的中点D，连接，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A；
对B，设内切圆半径为，从而可用表示出，再结合奔驰定理即可判断B；
对C，设的外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，从而可用表示出，进而即可判断C；
对D，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，则，代入即可求解，进而即可判断D．
【详解】对于A，取的中点D，连接，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；

对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；

对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；

对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，

由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E），根据题意，结合奔驰定理得到，，再设，得到，进而即可求解．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，向量在上的投影向量为，则向量与的夹角为______.
答案．
解：向量在上的投影向量为，则，又，则，
13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______．
【答案】
由条件结合正弦定理求，由同角关系求,，再由余弦定理求，根据三角形面积公式求的面积.因为，所以．由正弦定理，得，即，
化简得．又，，所以，故．又由余弦定理．解得或．
当时，．又，则，
与矛盾，所以不符合题意，舍去；当时，．
故答案为：
14. 已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______.
【答案】
先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，利用距离和的最值求解的最小值.
解因为，所以，
整理可得，
因为对任意，上式恒成立，所以；
由题意知，所以，所以.
四、解答题17. 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
（1）根据求得，从而可得，于是；
（2）由，可得，再由夹角公式计算即可.
【小问1详解】因为，，所以，.
由，可得，即，
解得，所以，故.
【小问2详解】因为向量，，所以，所以.
则，，所以，
所以与夹角的余弦值为.
16.在中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，．
（1）若，BC边上的中线AD的长为，求c的值；
（2）若，，求．
（1）2； （2）或.
17．(本小题15分)如图，在中，已知，，为锐角，是线段的中点，在线段，且，相交于点，的面积为．
（1）求的长度；
（2）求的余弦值．
（1），
即，因为为锐角，所以，
，则；
（2）因为
的余弦值为．
18. 某公园拟对一扇形区域进行改造，如图所示，平行四边形为休闲区域，阴影部分为绿化区，点在弧上，点，分别在，上，且米，，设.

(1)请求出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值，最大值为多少平方米？
(2)设，求的取值范围.
【答案】(1)当时，
(2)
【分析】（1）由正弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换可得关于的函数关系式，进一步由三角函数性质即可求解.
（2）由平面向量基本定理首先得，由此结合三角恒等变换转换为求三角函数范围问题即可.
【详解】（1）
由题意，，，，
在中，，
由正弦定理得，
即，即，
则顾客的休息区域面积，
即，其中，
而
，
因为，所以，
则当，即时，顾客的休息区域面积取得最大值，且最大值为平方米.
（2）由（1），，
所以，
由题意，
所以，
所以，因为，所以，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：关键是熟练利用三角恒等变换，从而可得三角函数性质，由此即可顺利得解.
19． “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，
(1)若，
①求；
②若，设点为的费马点，求；
(2) 若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
(1)
(2)
(3)
【分析】（1）
（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.
（3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案.
解（1）.
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
.
（3）点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.
【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.