江苏省无锡市辅仁高级中学2024-2025学年高一下学期第一次质量调研（3月） 数学试题（含解析）

这是一份江苏省无锡市辅仁高级中学2024-2025学年高一下学期第一次质量调研（3月） 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了 已知向量，，若，则．， 在中，若，则， 在平行四边形中，，，，，则， 已知，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】由题意可得为纯虚数，则，解得.
故选：C.
2. 如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项.
【详解】D，E为边上的三等分点，所以，
所以D选项正确；
若，则不成立，C选项错误；
方向不同不能相等，A选项错误；
方向相反不能相等，B选项错误.
故选：D.
3. 已知向量，，若，则（ ）．
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案.
【详解】因为，所以，所以，所以．
故选：C．
4. 在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式、正弦定理来求得正确答案.
【详解】由于，所以为钝角，所以，
由正弦定理得.
故选：D
5. 在平行四边形中，，，，，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值.
【详解】如图：
以为基底，则，，.
且，，
所以
故选：D
6. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理可得，从而可判断三角形的形状.
【详解】由余弦定理得，
化简得，故，
从而的形状为钝角三角形，
故选：B.
7. 已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，单位向量的夹角最小时，正整数有最大值，利用向量数量积的定义求出此时的值即可．
【详解】依题意，设单位向量的夹角为，
因为，
所以则，所以，
根据题意，正整数的最大值为，
故选：C.
8. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，时，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合同角三角函数的基本关系可求出，，，由两角和的正弦公式可求出，结合正弦定理即可求出，进而可求出三角形的面积.
【详解】因为，且，解得，，
又，所以，
故．
因为，，故，
故．
故选:B．
【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.
二､多选题
9. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则中至少有一个为0
C.
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例即可求解A，根据模长的性质即可求解BC，根据模长公式，即可求解D.
【详解】对于A,若，满足，但，故A错误，
对于B，由，则或，故中至少有一个为0，B正确，
对于C，，C正确，
对于D，设，,故，故，，故D正确，
故选：BCD
10. 已知平面向量为非零向量，且满足，则（ ）
A. 夹角的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知，设，且在以为圆心，1为半径的圆上，数形结合并结合向量数量积、加减法、模长的几何意义判断各项的正误.
【详解】由，
若，且在以为圆心，1为半径的圆上，如下图示，
由图，当与圆相切时，即最大，最小显然为0，
所以，A对；
当为圆与轴的交点时取得最值，结合图易知，B对；
如图，若轴，由，
显然在圆与轴的两个交点之间运动（含交点），故，而，
所以的取值范围是，C错；
如图，若是中点，则，则，
显然中点轨迹是以为圆心，为半径的圆上运动，则，
所以，D对.
故选：ABD
11. 已知不是直角三角形，角的对边分别为，且，则（ ）
A.
B. 的最小值为4
C. 若，则
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用正弦边角关系得，再由判断A；应用“1”的代换，讨论一正一负或同正，研究最值判断B；由正余弦定理及已知得、，即可判断C；由余弦定理、辅助角公式及已知有，进而得到，即可求范围判断D.
【详解】由，则，故，
，A对；
由，
又不是直角三角形，则一正一负或同正，
若一正一负，显然，此时，最小值不为4；
若同正，则，故，
当且仅当时取等号，显然等号不能成立，故，
综上，的最小值不为4，B错；
由，
而，即，由，则，
所以，C对；
由，
则，且，，
所以，左侧等号在时取得，右侧等号在时取得，
若，则，即，所以，D对.
故选：ACD
三､填空题
12. 设复数满足（为虚数单位），则的模为______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知根据复数的除法运算可得，再根据复数的模的运算求解即可.
【详解】由已知可得，
所以，
所以的模为.
故答案为：.
13. 在中，，点在边上，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】若是的中点，连接，易得、、，应用正弦定理及差角正弦公式整理得，即可得.
【详解】若是的中点，连接，而，则，易得，
由，则，而，
根据正弦定理知，所以，
所以，即，可得.
故答案为：
14. 勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形边长为2，点为勒洛三角形上的一点（除去三点）.记，若对于某个确定的实数，使得方程成立的点的位置有且只有3处，则此时的__________.
【答案】.
【解析】
【分析】由，可将化为：
，后由图形结合对称性可确定点P位置，从而可得答案.
【详解】注意到.
同理可得.
则
.
因为定值，
则变化仅与有关.
如图，取三段圆弧中点分别为D，E，F，若点P为不同于D，E，F的点，
由对称性，可知，
又在上存在使得到相等t的，
则此时，对于某个确定的实数，使得方程成立的点的位置有6处.
则当点P在点D，E，F时满足题意.
此时，由题可得，因劣弧所对圆心角为，则优弧所对圆心角为，
则优弧所对圆周角为，又设，由余弦定理，
则，
则，则，
则,
则.
【点睛】结论点睛：在三角形中，求两相邻两边对应向量数量积，常可用结论：
，但使用时要注意符号.
四､解答题
15. 已知复数在复平面上对应的点分别为.
（1）若，求复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据复数对应坐标写出复数的代数形式，再应用复数除法求；
（2）根据已知得，结合对应点所在象限特征列不等式求参数范围.
【小问1详解】
由题设，则
【小问2详解】
由在第四象限，则.
16. 已知，，．
（1）求与夹角；
（2）若，且，求及．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积运算律和数量积定义即可求出；
（2）根据向量数量积运算律得，再平方计算即可.
【小问1详解】
，
所以，又，所以.
【小问2详解】
由题意知，
解得，，
，
所以．
17. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求角；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合两角差的正弦展开式化简后再利用特殊角的正切值求出角；
（2）由正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求得求的周长．
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
又因为，所以，
因为，所以，
所以，又因为，所以.
【小问2详解】
在中，由正弦定理，得，
因为，所以，
在中，，
由余弦定理得，即，
所以，所以，
所以，所以周长为.
18. 已知分别为三个内角的对边，且满足.
（1）求；
（2）若为线段上的两个动点，且满足，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，
（2）根据正弦定理可得的表示，即可利用三角形的面积公式，即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
已知，因为，
所以.
由正弦定理可得.
根据余弦定理，.
因为，所以.
【小问2详解】
因为，∴，
∵，∴，
或，
又，所以，故，，
由正弦定理可得，故，
设，其中，则，，
在中，由正弦定理可得，
则，
在中，由正弦定理可得，
则．
∴的面积，
，
∵，∴，即，
∴．
19. 对于平面向量，定义“变换”：，
（1）若向量，，求；
（2）已知，，且与不平行，，，证明：；
（3）若向量，求．
【答案】（1）；
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将，带入变换计算可得；
（2）利用变换规则计算向量数量积可得，且，，再由面积公式即可得出结论；
（3）利用变换规则以及三角恒等变换以及可得，即可解得
【小问1详解】
根据题意可得，，，
代入变换可得，
即
【小问2详解】
得，同理可得，
；
所以，
则，
得，
即；
【小问3详解】
易知
；
且
所以
；
因此
由，
可得，
即,又，
解得．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义的运算规则，得出任意两向量之间的关系，再结合三角恒等变换以及向量数量积的运算规则即可求解.