2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高一（下）段考数学试卷（二）（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高一（下）段考数学试卷（二）（3月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于空间几何体的论述，正确的是( )
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D. 存在三棱锥，其四个面都是直角三角形
2.已知复数z在复平面内对应的点为(−1,2)，则iz在复平面内对应的点为( )
A. (−2,−1)B. (−1,−2)C. (2,1)D. (1,2)
3.已知平面向量e1和e2满足|e2|=2|e1|=2，e1在e2方向上的投影向量为−14e2，则e2在e1方向上的投影向量为( )
A. −1B. −12C. −12e1D. −e1
4.充满气的车轮内胎(不考虑胎壁厚度)可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是( )
A. B. C. D.
5.已知O是△ABC的外心，AO⋅AB=2，∠ACB=π4，则△ABC的外接圆半径R=( )
A. 22B. 2C. 2D. 2 2
6.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′(如图所示)，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则DC的长度是( )
A. 5B. 2 2C. 2 5D. 3
7.如图，圆锥底面半径为3，母线PA=12，AB=23AP，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为( )
A. 6 7
B. 16
C. 4 10
D. 12
8.圣⋅索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15 3−15)m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A. 20mB. 30mC. 20 3mD. 30 3m
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，下列说法正确的是( )
A. 若|z1|=|z2|，则z12=z22B. |z1z2|=|z1||z2|
C. 若|z1|>|z2|，则z1>z2D. |z1+z2|≤|z1|+|z2|
10.已知a=(3,−1)，b=(1,−2)，则正确的有( )
A. a⋅b=5
B. 与a方向相反的单位向量是(3 1010,− 1010)
C. a与b的夹角为π4
D. a在b上的投影向量是( 5,−2 5)
11.已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，b=2，则下列结论正确的是( )
A. ∠B的取值范围为(π6,π2)B. BA⋅BC的最小值为−14
C. △ABC的面积最大值为2 3D. 2csA+acsB的值可能为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，三棱台ABC−A′B′C′的体积为7，AB=2A′B′，沿平面A′BC截去三棱锥A′−ABC，则剩余的部分几何体的体积为______．
13.已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，C=2π3，求sin2A+sin2B+sinAsinB的值______．
14.在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设AB=c，AC=b，若∠A=π6，△ABC的面积为 3，则当|BC|= ______时，AM⋅AN取得最小值．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=1+2i．
(1)若复数z1是方程z2+a⋅z+b=0的一个复数根，求实数a，b的值；
(2)若复数z2满足z1z2=1−1z1，求|z2|.
16.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，向量m=(a,b+c)，n=( 3sinC+csC,1)，m⋅n=2(b+c)．
(1)求A；
(2)若c=2 3,BM=2MC，AM=2.求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
在直角梯形ABCD中，AB/​/CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2DC=4，点F是BC边上的中点．
(1)若点E满足DE=2EC，且EF=λAB+μAD，求λ+μ的值；
(2)若点P是线段AF上的动点(含端点)，求AP⋅DP的取值范围．
18.(本小题17分)
养殖户承包一片靠岸水域，如图OA，OB为直岸线，OA=2km，OB=3km，∠AOB=π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB，过弧AB上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB=2π3．
(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；
(2)如果线段PA上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段PB上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记∠PAB=θ，设两段网箱获得的经济总收益为y万元，求y的取值范围．
19.(本小题17分)
定义：若非零向量OM=(a,b)，函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcsx，则称f(x)为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量．
(1)若向量OM为函数f(x)=2sin(x+π6)+4sin(x−π2)的伴随向量，求|OM|；
(2)若函数f(x)为向量OM=( 3,−1)的伴随函数，在△ABC中，BC=2 3，f(A)=1，且csBcsC=−18，求AB+AC的值；
(3)若函数f(x)为向量OM=(2,1)的伴随函数，关于x的方程f(x)=m+2cs2x2−2 3|csx|在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.C
5.B
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.AC
11.AD
12.3
13.34
14.2
15.解：(1)z12=(1+2i)2=−3+4i，
所以z12+a⋅z1+b=a+b−3+(2a+4)i=0，
a+b−3=02a+4=0，所以a=−2，b=5；
(2)因为z1z2=1−1z1，
所以z2=z11−1z1=z12z1−1=−3+4i2i=2+32i，
所以|z2|= 22+(32)2=52．
16.解：(1)根据m=(a,b+c)，n=( 3sinC+csC,1)，可得m⋅n=a( 3sinC+csC)+b+c，
结合题意m⋅n=2(b+c)，化简得 3asinC+acsC=b+c，
根据正弦定理得 3sinAsinC+sinAcsC=sinB+sinC，
因为△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
所以 3sinAsinC+sinAcsC=sinAcsC+csAsinC+sinC，整理得 3sinAsinC=sinC(csA+1)．
结合△ABC中，sinC≠0，化简得 3sinA−csA=1，即2sin(A−π6)=1，
在△ABC中，A−π6∈(−π6,5π6)，所以A−π6=π6，A=π3；
(2)由BM=2MC，可得AM−AB=2(AC−AM)，化简得AM=13AB+23AC，
所以|AM|2=(13AB+23AC)2=19AB2+49AC2+49AB⋅AC，
因为AB=c=2 3,AC=b,AM=2，
所以4=19(2 3)2+49b2+49b⋅2 3csπ3，整理得b2+ 3b−6=0，解得b= 3(舍负)．
所以S△ABC=12bcsinA=3 32．
17.解：(1)因为点F是BC边上的中点，点E满足DE=2EC，
所以EF=EC+CF=13DC+12CB=16AB+12(12AB−AD)=512AB−12AD，
因为EF=λAB+μAD，所以λ=512,μ=−12，所以λ+μ=−112；
(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建系，
则F(3,1)，D(0,2)，设AP=tAF，t∈[0,1]，
则AP=t⋅(3,1)=(3t,t)，DP=AP−AD=(3t,t−2)，
所以AP⋅DP=(3t,t)⋅(3t,t−2)=10t2−2t=10(t−110)2−110，t∈[0,1]，
当t=110时，取得最小值−110；当t=1时，取得最大值8，
所以AP⋅DP∈[−110,8]．
18.解：(1)OA，OB为直岸线，OA=2km，OB=3km，∠AOB=π3，
该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB，过弧AB上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB=2π3，
在△AOB中，由余弦定理，
得AB= OA2+OB2−2×OA×OB×csπ3= 22+32−2×2×3×12= 7，
即岸线上点A与点B之间的直线距离为 7千米；
(2)如果线段PA上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段PB上的网箱每千米可获得4万元的经济收益，
记∠PAB=θ，设两段网箱获得的经济总收益为y万元，
在△PAB中，设∠PAB=θ，
7sin2π3=PAsin(π3−θ)=PBsinθ，
故有PA= 7 32sin(π3−θ)=2 213sin(π3−θ)，
PB= 7 32sinθ=2 213sinθ(0