江苏省江阴市第一中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段性检测 数学试题（含解析）

这是一份江苏省江阴市第一中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段性检测 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知平面上三点，则的值为（ ）
A．B．2C．D．4
2．已知，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则与不是共线向量
4．在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ）
A．30°B．60°
C．30°或150°D．60°或120°
6．中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知半径为2的⊙O内有一条长度等于半径的弦AB，若⊙O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，，，则面积的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，，则（ ）
A．
B．若，则
C．与的夹角余弦值为
D．向量在向量上的投影向量为
10．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数（i为虚数单位），则
B．若复数z满足，则
C．已知其中是虚数单位，则实数
D．若关于的方程有实数解，则或
11．在中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则一定是钝角三角形
B．若，则一定是直角三角形
C．若，则一定是锐角三角形
D．若，，则一定是等边三角形
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，若A，B，C三点共线，则实数 .
13．已知复数满足方程，则的最小值为 ．
14．费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点.已知中，角所对的边分别为，为费马点.若，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，.
(1)若向量，且，求的坐标;
(2)若向量，求实数的值.
16．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
(1)求复数z和|z|；
(2)若在第四象限，求m的取值范围.
17．在中，.
(1)若，的面积为，求；
(2)若，
①求的值：
②求面积的最大值；
③求周长的取值范围.
18．在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．
(1)若，求x－y的值；
(2)求的取值范围；
(3)若为线段的中点，直线与相交于点M，求·．
19．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.
（1）若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题设，则.
故选C．
2．【答案】D
【详解】，，
的虚部为.
故选D.
3．【答案】C
【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误.
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误.
对于C，若，则必定共线，故，故C成立.
对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与可以为共线向量，故D错误.
故选
4．【答案】C
【详解】由已知及正弦边角关系有，则，
三角形中，则或，
所以三角形为等腰三角形或直角三角形.
故选C．
5．【答案】A
【详解】由正弦定理得，
即，
解得sinB=，
又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，
又因为a>b，所以A>B，即B=30°.
故选A.
6．【答案】C
【详解】由题可知，，所以是直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，
所以，，
则，，
所以，
因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，
所以的取值范围是，
故选C．
7．【答案】C
【详解】由，
如下图示，建立平面直角坐标系，为边长为2的等边三角形，关于轴对称，
则，设，且，
则，
所以，而，故，
所以的取值范围为.
故选C．
8．【答案】C
【详解】由题意，则，
所以，即，
设，又，由题意，
所以，故，
又，故，则，
所以，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为.
故选C．
9．【答案】BCD
【详解】A：由，显然，即，A错；
B：由，则，对；
C：由，则，对；
D：向量在向量上的投影向量为，对.
故选BCD．
10．【答案】ACD
【详解】A：，则，对；
B：当时，，而，错；
C：，则，对；
D：若实数解为，则，
故，则，可得或，对.
故选ACD．
11．【答案】BD
【详解】A. 在中，
，
因，则得，故A错误；
B. 由正弦定理得，，
则，即，
因，则得，故 B正确；
C. 因，由正弦定理得，，即
，则，则，因，则得，故C错误；
D. ，由正弦定理得，因，则，即，得，故D正确.
故选BD．
12．【答案】2
【解析】利用平面向量的共线定理求解即可.
【详解】由得,因为A，B，C三点共线,故.
13．【答案】
【详解】复数满足方程，
设（），
则，在复平面内轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；
，意义为圆上的点到的距离，
由点与圆的几何性质可知，的最小值为．
14．【答案】
【详解】由，显然最大角为，且，
所以为小于的钝角，且，
所以费马点在内部，且，
所以，
则，
所以，
由.
15．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由，，设，，
又因为，所以，解得，
所以或.
（2）因为，所以，
又因为，，所以，
解得 .
16．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z，再求其模；
（2）先求出，再根据题意建立不等式组，求解即可.
【详解】（1）设，则，
由为实数，得，则，
由为实数，得，则，
所以，则；
（2），
由在第四象限，得，解得或，
故m的取值范围为．
17．【答案】(1)；
(2)①；②；③.
【详解】（1）由题设及余弦边角关系有，
所以，则，且，
在三角形中有，又，可得，
结合，则；
（2）①由（1）有，则，所以；
②由，当且仅当时取等号，
所以，即面积最大值为；
③由，则，
当且仅当时取等号，所以周长.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：（1）∵，所以
∵，
又，
∴，∴；
（2）解：设，（）
因为在三角形中，，，，
∴，
∴
；
又，所以，
故的取值范围为
（3）解：∵三点共线，
∴存在实数，使得，
∵为的中点，
∴，
又三点共线，∴存在使得，
∴，
∴，解得，
.
19．【答案】(1)；(2).
【详解】分析：（1）由题意可得，，则；
（2）由题意可得 ，由正弦定理有 ，记，结合三角函数的性质可得时，取最大，最短，则此时.
详解：（1）由图得： ∴，
又 ∴ ∴，
∴；
（2）由图得：且 ，
∴ ，
在中，由正弦定理可得: ，
∴ ，
记
，
又 ，∴ ，
∴时，取最大，最短，则此时.
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.