人教A版（2019）高中数学高考一轮复习第四章三角函数4.6三角函数的二倍角公式（讲义）（原卷版+解析版）

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\l "_Tc195019881" 2知识点02半角公式 PAGEREF _Tc195019881 \h 2
\l "_Tc195019882" 3知识点03降幂公式 PAGEREF _Tc195019882 \h 2
\l "_Tc195019883" 4知识点04辅助角公式 PAGEREF _Tc195019883 \h 2
\l "_Tc195019884" 5题型一、二倍角的正弦公式 PAGEREF _Tc195019884 \h 2
\l "_Tc195019885" 6题型二、二倍角的余弦公式 PAGEREF _Tc195019885 \h 5
\l "_Tc195019886" 7题型三、逆用二倍角公式 PAGEREF _Tc195019886 \h 8
\l "_Tc195019887" 8题型四、辅助角公式 PAGEREF _Tc195019887 \h 11
知识点01二倍角公式
sin2α=2sinαcsα；
cs2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α；
知识点02半角公式
①sinα2=±1-csα2
②csα2=±1+csα2
知识点03降幂公式
①sinαcsα=12sin2α
②sin2α=1-cs2α2
③cs2α=1+cs2α2
知识点04辅助角公式
asinα+bcsα
=a2+b2sin(α+ϕ)
（其中sinϕ=ba2+b2 ， csϕ=aa2+b2 ， tanϕ=ba）
题型一、二倍角的正弦公式
1．sin15∘cs15∘等于（ ）
A．12B．14C．34D．23
【答案】B
【分析】由二倍角的正弦公式求解即可.
【详解】sin15∘cs15∘=12sin30∘=14，
故选：B
2．12sin30°cs30°=（ ）
A．18B．14C．38D．34
【答案】C
【分析】根据二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】根据二倍角的正弦公式可得：
12sin30°cs30°=14×2sin30°cs30°=14×sin60°=14×32=38.
故选：C.
3．2sin45°cs45°的值为（ ）
A．-2B．-13C．-12D．1
【答案】D
【分析】利用正弦的二倍角公式求值即可.
【详解】由2sin45°cs45°=sin90°=1，
故选：D.
4．已知角α的终边过点2,-3，则sin2α=（ ）
A．-32B．32C．-473D．473
【答案】C
【分析】先求出sinα,csα，利用倍角公式可得答案.
【详解】因为角α的终边过点2,-3，所以sinα=-322+-32=-217，csα=277，
所以sin2α=2sinαcsα=2×-217×277=-437.
故选：C
5．已知角α的终边过点4,-3，则sin2α=（ ）
A．34B．-34C．2425D．-2425
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出sinα,csα，结合二倍角的正弦公式计算即可求解.
【详解】由题意知，sinα=-342+(-3)2=-35,csα=442+(-3)2=45，
所以sin2α=2sinαcsα=2×(-35)×45=-2425.
故选：D
6．已知角α的终边经过点P-35, 45，则sin2α=（ ）
A．-2425B．-725C．725D．2425
【答案】A
【分析】由三角函数的正余弦的定义可求得sinα，csα，利用二倍角的正弦公式可求值.
【详解】因为角α的终边经过点P-35, 45，所以|OP|=-352+ 452=1，
所以sinα=45，csα=-35，所以sin2α=2sinαcsα=2×45×-35=-2425.
故选：A.
7．已知sinα+csα=75，则sin2α=（ ）
A．-1225B．1225C．-2425D．2425
【答案】D
【分析】将已知条件等式两边平方，结合同角间的三角函数关系和二倍角公式，即可求解.
【详解】因为sinα+csα=75，两边同时平方得sin2α+2sinαcsα+cs2α=1+sin2α=4925，
所以sin2α=2425.
故选：D.
8．已知角α的终边位于第四象限，csα=14，则sin2α的值为（ ）
A．-78B．-158C．158D．1732
【答案】B
【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系式和二倍角公式计算即得.
【详解】∵csα=14，且角α的终边位于第四象限，
∴sinα=-1-cs2α=-154，
则sin2α=2sinαcsα=-158.
故选:B.
9．已知角θ的终边过点P3,2，则sin2θ2cs2θ-3sin2θ=（ ）
A．-2B．2C．52D．3
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义，求得tanθ=23，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式化简为2tanθ2-3tan2θ，代入求值即可.
【详解】因为角θ的终边过点P3,2，所以tanθ=23，
所以sin2θ2cs2θ-3sin2θ=2sinθcsθ2cs2θ-3sin2θ=2tanθ2-3tan2θ=2×232-3×232=2.
故选：B．
题型二、二倍角的余弦公式
1．已知sinα=23，则cs2α=（ ）
A．459B．-459C．-19D．19
【答案】D
【分析】直接由二倍角的余弦公式即可算出答案.
【详解】由二倍角的余弦公式可得cs2α=1-2sin2α=1-2×232=19.
故选：D.
2．已知csx=45，则cs2x的值为（ ）
A．-725B．725C．-4150D．4150
【答案】B
【分析】根据二倍角公式cs2x=2cs2x-1即可求解.
【详解】根据已知有：cs2x=2cs2x-1=2×452-1=725.
故选：B.
3．已知sinθ=34，则cs2θ=（ ）
A．-18B．18C．-716D．716
【答案】A
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果.
【详解】由二倍角的余弦公式可得cs2θ=1-2sin2θ=1-2×916=-18．
故选：A．
4．已知csα+π3=66，则cs2α+2π3=（ ）
A．-35B．35C．23D．-23
【答案】D
【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】cs2α+2π3=cs2α+π3=2cs2α+π3-1=-23.
故选：D.
5．已知tanα=2，则sin2α-π2=（ ）
A．-45B．-35C．35D．45
【答案】C
【分析】根据同角的商数、平方关系可得cs2α=15，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】由tanα=2，得sinα=2csα，
又sin2α+cs2α=1，所以4cs2α+cs2α=1，解得cs2α=15.
所以sin(2α-π2)=-cs2α=1-2cs2α=35.
故选：C
6．已知 sinθ=13 ，则 sin5π2-2θ=（ ）
A．79B．-79C．429D．-429
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得sin5π2-2θ=cs2θ，再利用二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】sin5π2-2θ=sin2π+π2-2θ=sinπ2-2θ=cs2θ
=1-2sin2θ=1-2×132=79.
故选：A.
7．已知tanα=2，则cs2α+3sin2α=（ ）
A．-65B．65C．-95D．95
【答案】D
【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】∵tanα=2，
∴cs2α+3sin2α=cs2α-sin2α+3sin2αcs2α+sin2α=cs2α+2sin2αcs2α+sin2α
=1+2tan2α1+tan2α=1+2×41+4=95.
故选：D
8．已知α为锐角，且tanα=3sinα，则cs2α=（ ）
A．-79B．-13C．13D．79
【答案】A
【分析】根据弦切互化可得csα=13，即可利用二倍角公式求解.
【详解】由tanα=3sinα可得sinαcsα=3sinα，故csα=13，
所以cs2α=2cs2α-1=-79，
故选：A
9．已知sinα+2csα=0，则1-cs2α1+cs2α=（ ）
A．4B．2C．12D．14
【答案】A
【分析】由题，可得tanα=-2，利用二倍角余弦公式化简运算得解.
【详解】由sinα+2csα=0，得tanα=-2，
∴1-cs2α1+cs2α=2sin2α2cs2α=tan2α=4.
故选：A.
题型三、逆用二倍角公式
1．sin2π12=
A．2-34B．2+34C．34D．14
【答案】A
【分析】利用降次公式求得所求表达式的值.
【详解】依题意sin2π12=1-csπ62=1-322=2-34.
故选：A
【点睛】本小题主要考查降次公式，属于基础题.
2．已知1-cs2θ+sin2θ1+cs2θ+sin2θ=2，则tanθ=（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】B
【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.
【详解】因为1-cs2θ+sin2θ1+cs2θ+sin2θ=2，
所以2sin2θ+2sinθ⋅csθ2cs2θ+2sinθ⋅csθ=2，
所以sinθ(sinθ+csθ)csθ(csθ+sinθ)=2，
所以tanθ=2.
故选：B
【点睛】本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.
3．2cs2π12+1的值是（ ）
A．32B．32C．1+32D．2+32
【答案】D
【分析】利用降幂公式求解
【详解】2cs2π12+1=csπ6+2=2+32.
故选：D.
4．sin3π8csπ8=（ ）
A．2+22B．2+24C．2-22D．2-24
【答案】B
【分析】根据诱导公式和二倍角公式求解即可.
【详解】由题意得，sin3π8csπ8=sinπ2-π8csπ8=cs2π8=1+csπ42=1+222=2+24.
故选：B
5．sin5π12csπ12=（ ）
A．2-34B．2+34C．2+35D．2-35
【答案】B
【分析】根据诱导公式及降幂公式化简即可.
【详解】sin5π12csπ12=sinπ2-π12csπ12=cs2π12=1+csπ62=2+34，
故选：B
6．求sin5π12csπ12=（ ）
A．2+34B．2-34C．6-24D．6+24
【答案】A
【分析】根据5π12=π2-π12结合诱导公式及降幂公式即可得解.
【详解】sin5π12csπ12=sinπ2-π12csπ12=cs2π12=1+csπ62=2+34.
故选：A.
7．计算：12-cs2π8=（ ）
A．-24B．24C．22D．-22
【答案】A
【分析】根据降幂公式计算，即可得答案.
【详解】12-cs2π8=12-1+csπ42=-24，
故选：A
8．若sin5π12+α=13，则cs2α-π6=（ ）
A．229B．-229C．79D．-79
【答案】D
【分析】由降幂公式求出cs(2α+5π6)=79，再结合诱导公式求解即可．
【详解】由已知得，sin25π12+α=1-cs5π6+2α2=19，即cs(2α+5π6)=79，
则cs2α-π6=cs2α+5π6-π=-cs2α+5π6=-79，
故选：D．
9．若sinα-20∘=sin20∘tan20∘-3，则cs2α+140∘=（ ）
A．18B．-18C．-78D．78
【答案】C
【分析】首先正切化为正弦和余弦，再利用辅助角和二倍角公式化解得到sinα-20∘=-14，再利用角的变换表示2α+140∘=2α-20∘+180∘，最后利用三角函数二倍角公式，即可求解.
【详解】根据题意，sinα-20∘=sin20∘tan20∘-3=sin20∘cs20∘sin20∘-3cs20∘=sin20∘cs20∘212sin20∘-32cs20∘
=sin20∘cs20∘2sin-40∘=sin20∘cs20∘-2sin40∘=12sin40∘-2sin40∘=-14，
cs2α+140∘=cs2α-20∘+180∘=-cs2α-20∘
=-1-2sin2α-20∘ =-1-2×-142=-78.
故选：C.
题型四、辅助角公式
1．在下列各式中，化简结果为2sinx+2π3的是（ ）
A．sinx-3csxB．csx+3sinx
C．3csx-sinxD．sinx+3csx
【答案】C
【分析】利用辅助角公式逐项化简即可判断结论.
【详解】sinx-3csx=212sinx-32csx=2sinxcsπ3-csxsinπ3=2sinx-π3，
csx+3sinx=232sinx+12csx=2sinxcsπ6+csxsinπ6=2sinx+π6，
3csx-sinx=232csx-12sinx=2sinxcs2π3+csxsin2π3=2sinx+2π3，
sinx+3csx=212sinx+32csx=2sinxcsπ3+csxsinπ3=2sinx+π3，
故选：C.
2．已知3sin α+cs α=23，则sin 2α-π6=（ ）
A．-79B．229C．79D．-229
【答案】A
【分析】先利用辅助角公式可得sinα+π6=13，再利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得答案
【详解】由3sinα+csα=23，得32sinα+12csα=13，即sinα+π6=13，
则cs2α+π3=1-2sin2α+π6=79，
故sin2α-π6=-sinπ2-2α+π3
=-cs2α+π3=-79．
故选：A.
3．已知sinα+sinα+π3=435，则sinα-5π6的值是（ ）.
A．-235B．235C．45D．-45
【答案】D
【分析】利用辅助角公式计算可得sinα+π6=45，再由诱导公式计算可得结果.
【详解】由sinα+sinα+π3=435可得：
sinα+sinαcsπ3+csαsinπ3=32sinα+32csα=3sinα+π6=435，
即sinα+π6=45，
因此sinα-5π6=sinα+π6-π=-sinα+π6=-45.
故选：D
4．已知3sinα-sinα+π6=35，则cs4π3-2α=（ ）
A．-725B．-1625C．725D．2425
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简，再利用诱导公式和二倍角公式转化求值即可.
【详解】由题意3sinα-32sinα+12csα=35，
得：32sinα-12csα=35，即sinα-π6=35．
故cs4π3-2α=csπ+π3-2α=-cs2π6-α=2sin2α-π6-1=2×352-1=-725．
故选：A.
5．若csα-π6+sinπ-α=35，则csπ3-α的值为（ ）
A．-35B．-15C．35D．15
【答案】D
【分析】根据两角差的余弦公式，以及辅助角公式，即可化简求值.
【详解】csα-π6+sinπ-α=32csα+12sinα+sinα
=32csα+32sinα=3csπ3-α=35，
即csπ3-α=15.
故选：D
6．已知sinα-π3+3csα=13，则sin2α+π6=( )
A．79B．29C．-19D．-79
【答案】D
【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简sin(α-π3)+3csα=13，再利用诱导公式、二倍角公式求解sin(2α+π6)即可.
【详解】∵sin(α-π3)+3csα=13，∴sinαcsπ3-csαsinπ3+3csα=13，
∴12sinα-32csα+3csα=13，∴12sinα+32csα=13，∴cs(α-π6)=13，
∴sin(2α+π6)=sin2(α-π6)+π2=cs2(α-π6)=2cs2(α-π6)-1=2×132-1=-79.
故选：D.
7．已知csα+3sinα=35，则cs2α+π3=（ ）
A．4750B．-4750C．-4150D．4150
【答案】D
【分析】利用辅助角公式求得sinα+π6=310，然后利用二倍角公式计算即可.
【详解】csα+3sinα=2sinα+π6=35，则sinα+π6=310，
则cs2α+π3=cs2α+π6=1-2sin2α+π6=4150，
故选：D.
8．若α+β=π2，2sinα+sinβ=3，则tanα=（ ）
A．22B．2C．1D．3
【答案】B
【分析】根据诱导公式和辅助角公式可得sin(α+φ)=1（其中tanφ=12），进而φ=π2+2kπ-α（k∈Z），由诱导公式化简得tanφ=1tanα=12，即可求解.
【详解】由α+β=π2，得sinβ=sin(π2-α)=csα，
所以2sinα+sinβ=2sinα+csα=3sin(α+φ)=3（其中tanφ=12），
得sin(α+φ)=1，所以φ=π2+2kπ-α，k∈Z，
所以tanφ=tan(π2+2kπ-α)=tan(π2-α)=1tanα=12，
解得tanα=2.
故选：B
9．已知sinα-3csα=23，则sin2α-π6=（ ）
A．-13B．13C．79D．-79
【答案】C
【分析】由辅助角公式求得csα+π6的值，再由二倍角公式求得cs2α+π3的值，由诱导公式求得sin2α-π6的值.
【详解】由sinα-3csα=23，得csα+π6=-13，
则cs2α+π3=2cs2α+π6-1=-79，
故sin2α-π6=-sinπ2-2α+π3=-cs2α+π3=79．
故选：C.