人教A版（2019）高中数学高考一轮复习第四章三角函数4.7正弦函数的图像与性质（练习）（原卷版+解析版）

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\l "_Tc195104046" 2题型二、正弦函数的奇偶性 PAGEREF _Tc195104046 \h 5
\l "_Tc195104047" 3题型三、正弦函数的最值 PAGEREF _Tc195104047 \h 9
\l "_Tc195104048" 4题型四、正弦函数的对称性 PAGEREF _Tc195104048 \h 13
\l "_Tc195104049" 5题型五、正弦函数的单调性 PAGEREF _Tc195104049 \h 19
题型一、正弦函数的周期性
1．下列函数最小正周期为π的是（ ）
A．y=12sin12xB．y=12cs2x
C．y=2tan12xD．y=tan2x
【答案】B
【分析】根据三角函数的性质计算可得；
【详解】解：对于A，y=12sin12x的最小正周期T=2π12=4π，故A错误；
对于B：y=12cs2x的最小正周期T=2π2=π，故B正确；
对于C：y=2tan12x的最小正周期T=π12=2π，故C错误；
对于D：y=tan2x的最小正周期T=π2，故D错误；
故选：B
2．已知函数f(x)=cs(π-x)-cs(32π+x)+1，则函数f(x)的最小正周期为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【答案】D
【分析】利用诱导公式以及辅助角公式化简f(x)，再根据T=2π|ω|即可得出答案.
【详解】由题意得f(x)=cs(π-x)-cs(32π+x)+1=-csx-sinx+1=-2sin(x+π4)+1
在由T=2π|ω|=2π.
故选：D
3．函数f(x)=sin(x2-π4)的最小正周期是（ ）
A．π2B．πC．2πD．4π
【答案】D
【分析】利用正弦函数的周期求解．
【详解】f(x)的最小正周期为T=2π12=4π．
故选：D．
4．函数y=4sin3x+π4+3cs3x+π4的最小正周期是( )
A．6πB．2πC．2π3D．π3
【答案】C
【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asinωx+φ的形式，再由T=2πω可得到答案．
【详解】∵y=4sin3x+π4+3cs3x+π4=5sin3x+π4+φ(其中tanφ=34)，
∴T=2π3．
故选：C．
5．函数f(x)=sin2xcsx的最小正周期是（ ）
A．π2B． π C．2πD．4π
【答案】C
【分析】求出定义域后，先化简，进而求出最小正周期.
【详解】f(x)=sin2xcsx的定义域为x|x≠π2+kπ,k∈Z.
因为f(x)=sin2xcsx=2sinx,x≠π2+kπ,k∈Z.
所以函数f(x)=sin2xcsx的最小正周期是为2π.
故选：C
6．函数y=sin3x-π3的最小正周期是（ ）
A．π2B．πC．2πD．2π3
【答案】D
【分析】利用正弦函数的最小正周期公式T=2πω即可得解．
【详解】因为函数y=sin3x-π3，所以T=2πω=2π3.
故选：D．
7．函数y=2sinx-csx(x∈R)的最小正周期为（ ）
A．2πB．πC．3π2D．π2
【答案】A
【分析】利用辅助角公式将函数化成y=Asinωx+φ的形式，代入周期公式可得结论.
【详解】易知y=2sinx-csx=5sinx+φ，其中tanφ=-12，
由周期公式可得其最小正周期为T=2πω=2π.
故选：A
8．函数f(x)=24sin4x+24cs4x+24的最小正周期为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【答案】B
【分析】利用辅助角公式及三角函数的周期性计算即可.
【详解】f(x)=24sin4x+24cs4x+24=12sin4x+π4+24，
由正弦函数的周期性公式知最小正周期为T=2π4=π2.
故选：B
9．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
A．y=sin2x+π2B．y=cs2x+π2
C．y=sin2x+cs2xD．y=sinx+csx
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简，再结合三角函数的性质判断A、B，利用辅助角公式化简，再结合三角函数的性质判断C、D.
【详解】对于A：y=sin2x+π2=cs2x，可知其最小正周期为π且为偶函数，故A错误；
对于B：y=cs2x+π2=-sin2x，可知其最小正周期为π且为奇函数，故B正确；
对于C：y=sin2x+cs2x=2sin2x+π4，最小正周期为π的非奇非偶函数，故C错误；
对于D：y=sinx+csx=2sinx+π4，可知其最小正周期为2π，且为非奇非偶函数，故D错误．
故选：B
题型二、正弦函数的奇偶性
1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
A．y=sin2x+π2B．y=cs2x+π2
C．y=sin2x+π3D．y=cs2x+π3
【答案】B
【分析】利用奇偶性的定义与三角函数最小正周期计算公式，结合所给函数的解析式分别进行验证．
【详解】解：先验证周期，根据周期计算公式T=2πω=π得ω=2，四个选项均符合；
对于A选项，y=sin2x+π2=cs2x，是偶函数；
对于B选项，y=cs2x+π2=-sin2x，是奇函数；
对于C、D两个选项，均是非奇非偶函数；
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性，三角函数的周期计算公式T=2πω，同时还考查了诱导公式与图象变换，属于基础题．
2．函数f(x)=sin2xcs2x+1是
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π2的偶函数
C．最小正周期为π的非奇非偶函数D．最小正周期为π2的非奇非偶函数
【答案】D
【解析】利用二倍角的正弦变形，再由周期公式求周期，结合图象既不关于原点中心对称，也不关于y轴轴对称说明函数为非奇非偶函数.
【详解】解：f(x)=sin2xcs2x+1=12sin4x+1.
周期T=2π4=π2，
函数f(x)的图象是把y=12sin4x的图象向上平移1个单位得到的，
既不关于原点中心对称，也不关于y轴轴对称.
∴f(x)是非奇非偶的函数.
∴f(x)是最小正周期为π2的非奇非偶函数.
故选：D.
【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查函数奇偶性的判定，是基础题.
3．下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y=x+sin2xB．y=x2+sinx
C．y=x2-csxD．y=2|x|sinx
【答案】B
【分析】利用三角函数的性质以及奇偶性定义即可求解.
【详解】对于A，由y=fx=x+sin2x，定义域为R，
f-x=-x+sin2-x=-fx，故函数为奇函数，故A不选；
对于B，由y=fx=x2+sinx，定义域为R，
f-x=-x2+sin-x=x2-sinx≠fx，故函数为非奇非偶函数，故B可选；
对于C，由y=fx=x2-csx，定义域为R，
f-x=-x2-cs-x=x2-csx=fx，故函数为偶函数，故C不选；
对于D，y=fx=2|x|sinx，定义域为R，
f-x=2-xsin-x=-2xsinx=-fx，故函数为奇函数，故D不选；
故选：B
【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性以及函数奇偶性的定义，属于基础题.
4．函数y=sin(2x-π)cs(2x+2π)是（ ）
A．周期为π4的奇函数B．周期为π4的偶函数
C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数
【答案】C
【分析】先化简得y=-12sin4x，再求函数的最小正周期和奇偶性得解.
【详解】由题得y=sin(2x-π)cs(2x+2π)=-sin2xcs2x=-12sin4x，
设f(x)=-12sin4x，函数的定义域是R,
所以函数的最小正周期为2π4=π2，
由于f(-x)=-12sin(-4x)=12sin4x=-f(x)，
所以函数是奇函数.
故选：C.
【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角的正弦公式的应用，考查三角函数的最小正周期的求法和奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．若函数fx=sinπ-2x，则fx是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
【答案】A
【解析】先由题意，得到fx=sin2x，根据正弦函数的周期性和奇偶性，即可得出结果.
【详解】因为fx=sinπ-2x=sin2x，
所以f-x=sin-2x=-sin2x=-fx，且最小正周期为T=2π2=π；
fx是最小正周期为π的奇函数.
故选：A.
【点睛】本题主要考查判定正弦型函数的奇偶性与周期性，属于基础题型.
6．下列函数中最小正周期为π的偶函数是（ ）
A．y=sinx2B．y=csx2
C．y=csxD．y=cs2x
【答案】D
【解析】求出选项中每个函数的最小正周期并判断其奇偶性，从而可得答案.
【详解】A中,函数y=sinx2是奇函数，最小正周期为2π12=4π，不合题意；
B中,函数y=csx2是偶函数，最小正周期为2π12=4π，不合题意；
C中,函数y=csx是偶函数，最小正周期为2π1=2π，不合题意；
D中,函数y=cs2x是偶函数，最小正周期为2π2=π，符合题意．
故选：D.
7．函数y=sin2x是一个（ ）
A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数
C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数
【答案】A
【分析】根据周期公式求函数的周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
【详解】因为T=2πω=2π2=π，所以函数y=sin2x的最小正周期为π；
因为f(-x)=sin-2x=-sin2x=-f(x)，所以函数y=sin2x是奇函数，
所以函数y=sin2x是一个周期为π的奇函数.
故选：A.
8．函数f(x)=2sin2xcs2x是（ ）
A．周期为π2的奇函数B．周期为π2的偶函数
C．周期为π4的奇函数D．周期为π4的偶函数
【答案】A
【分析】化简可得f(x)=22sin4x，根据奇偶性的定义，可判断f(x)的奇偶性，根据周期公式，即可求得答案.
【详解】由题意得f(x)=2sin2xcs2x=22sin4x，
所以f(-x)=22sin(-4x)=-22sin4x=-f(x)，故f(x)为奇函数，
周期T=2π4=π2，
故选：A
9．下列函数中，是偶函数的为（ ）
A．fx=1xB．fx=ex
C．fx=x2D．fx=sinx
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的奇偶性判断各选项中函数的奇偶性，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数fx=1x为奇函数；
对于B选项，函数fx=ex为非奇非偶函数；
对于C选项，函数fx=x2为偶函数；
对于D选项，函数fx=sinx为奇函数.
故选：C.
题型三、正弦函数的最值
1．y=cs2x-sin2x+2sinxcsx的最小值是（ ）
A．2B．-2C．2D．-2
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式进行转化，再利用辅助角公式把函数变形为y=2sin2x+π4，即可求解.
【详解】因为y=cs2x-sin2x+2sinxcsx
=cs2x+sin2x=2sin2x+π4，
故函数的最小值为-2，
故选：B.
2．函数fx=4sin5x-π6在0,π5上的值域为（ ）
A．-2,2B．-2,4C．-23,4D．-23,2
【答案】B
【分析】先求得5x-π6的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.
【详解】因为x∈ 0,π5，所以5x-π6∈-π6,5π6，所以sin5x-π6∈-12,1，
故fx=4sin5x-π6在0,π5上的值域为-2,4.
故选：B.
3．函数fx=2sinxcsx+2cs2x的最大值是（ ）
A．1B．2C．2+1D．22
【答案】C
【分析】由三角恒等变换化简函数表达式即可得解.
【详解】fx=2sinxcsx+2cs2x=sin2x+cs2x+1=2sin2x+π4+1≤2+1，且存在x=π8时，有fx=2+1，
也就是说函数fx=2sinxcsx+2cs2x的最大值是2+1.
故选：C.
4．已知函数fx=2sin2x-π3cs2x+π3，则下列结论正确的是（ ）
A．fx的最小正周期为πB．fx在-π8,π4上单调递增
C．f'x为偶函数D．fx的最小值为32
【答案】C
【分析】由积化和差公式化简，根据周期公式判断A，根据正弦函数的最值判断D，根据正弦型函数的单调性判断B，根据导数判断C.
【详解】因为fx=2sin2x-π3cs2x+π3=sin4x-32，此时最小正周期为2π4=π2，其最小值为-1-32，所以A错误，D错误；
因为-π8