人教A版（2019）高中数学高考一轮复习第四章三角函数4.4三角函数诱导公式（讲义）（原卷版+解析版）

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\l "_Tc194517533" 2知识点02诱导公式 PAGEREF _Tc194517533 \h 2
\l "_Tc194517534" 3知识点03常用的诱导公式 PAGEREF _Tc194517534 \h 3
\l "_Tc194517535" 4题型一、利用诱导公式求值 PAGEREF _Tc194517535 \h 3
\l "_Tc194517536" 5题型二、给值求值 PAGEREF _Tc194517536 \h 6
\l "_Tc194517537" 6题型三、化简求值 PAGEREF _Tc194517537 \h 9
知识点01大角化小角
大角：大于π2的角为大角，例如π6，π4，π3
小角：小于π2的角为小角，例如2π3，3π4，5π6
将三角函数式中的角统一写作k⋅π2±α，当α未知时，将α视为锐角
方法一
在sin3π4中
3π4=π2+π4
k=1，α=π4
3π4=π-π4
k=2，α=-π4
方法二
例如：
方法一
在cs5π6中
5π6=π2+π3
k=1，α=π3
5π6=π-π6
k=2，α=-π6
方法二
知识点02诱导公式
诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
奇变偶不变
①奇变：在大角化小角的公式中，当k为奇数时，函数名需要改变，即：若函数名原来为正弦，则需要变为余弦；若函数名原来为余弦，则需要变为正弦
②偶不变：在大角化小角的公式中，当k为偶数时，函数名不能改变，即：若函数名原来为正弦，则依旧为正弦；若函数名原来为余弦，则依旧为余弦
符号看象限
通过判断角的终边在哪个象限，判断原三角函数值的正负，最终确定所求结果的正负
知识点03常用的诱导公式
诱导公式一
sinπ+α=-sinα
sinπ-α=sinα
sin2π+α=sinα
sin2π-α=-sinα
诱导公式二
sinπ2+α=csα
sinπ2-α=csα
sin3π2+α=-csα
sin3π2-α=-csα
诱导公式三
csπ+α=-csα
csπ-α=-csα
cs2π+α=csα
cs2π-α=csα
诱导公式四
csπ2+α=-sinα
csπ2-α=sinα
cs3π2+α=sinα
cs3π2-α=-sinα
诱导公式五
tanπ+α=tanα
tanπ-α=-tanα
tan2π+α=tanα
tan2π-α=-tanα
题型一、利用诱导公式求值
1．sin300°=（ ）
A．12B．-12C．32D．-32
【答案】D
【分析】由三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】sin300°=sin360°-60°=-sin60°=-32.
故选：D.
2．tan-2π3=（ ）
A．-33B．33C．-3D．3
【答案】D
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】tan-2π3=tanπ3-π=tanπ3=3.
故选：D
3．cs26π3的值为（ ）
A．12B．-12C．32D．-32
【答案】B
【分析】利用诱导公式可得出所求代数式的值.
【详解】cs26π3=cs9π-π3=-csπ3=-12．
故选：B.
4．cs(-π3)=（ ）
A．-12B．12C．-32D．32
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案.
【详解】cs(-π3)=csπ3=12.
故选：B
5．cs855∘的值是（ ）
A．12B．-12C．22D．-22
【答案】D
【分析】利用诱导公式求值.
【详解】cs855∘=cs720∘+135∘=cs135∘=cs180∘-45∘=-cs45∘=-22.
故选：D
6．sin2025∘的值是（ ）
A．-22B．22C．32D．-32
【答案】A
【分析】根据诱导公式求值.
【详解】sin2025∘ =sin5×360∘+225∘ =sin225∘
=sin(180∘+45∘) =-sin45∘ =-22.
故选：A
7．tan(180°+60°)+sin(270°+30°)=（ ）
A．-32B．32C．-332D．332
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】tan180∘+60∘+sin270∘+30∘=tan60∘-cs30∘=3-32=32.
故选：B.
8．sin3720°=（ ）
A．12B．32C．-12D．-32
【答案】B
【分析】由诱导公式化简即可直接得答案．
【详解】sin3720°=sin10×360°+120°=sin120°=32．
故选：B.
9．cs330∘+tan600∘=（ ）
A．1-32B．1+32C．32D．332
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简即可求出.
【详解】cs330∘+tan600∘=cs360∘-30∘+tan360∘+180∘+60∘
=cs-30∘+tan180∘+60∘
=cs30∘+tan60∘
=32+3=332,
故选：D
10．2cs-840∘=（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
【答案】B
【分析】利用诱导公式求解即可
【详解】2cs-840∘=2cs840∘=2cs360∘×2+120∘=2cs120∘=-1.
题型二、给值求值
1．已知sinα=23，则csα+π2=（ ）
A．23B．-23C．53D．-53
【答案】B
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】因为sinα=23，所以csα+π2=-sinα=-23.
故选：B
2．若角α的终边过点P(1,-2)，则sinα+π2=（ ）
A．33B．63C．-33D．-63
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.
【详解】因为角α的终边过点P(1,-2)，
所以csα=112+-22=33，
所以sinα+π2=csα=33.
故选：A
3．已知角α∈π2,π，且sinα=23，则csα+π2=（ ）
A．23B．-23C．53D．-53
【答案】B
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为sinα=23，所以csα+π2=-sinα=-23.
故选：B
4．若csα=m，则cs-α=（ ）
A．mB．-mC．mD．m2
【答案】A
【分析】运用诱导公式化简即可.
【详解】cs-α=csα=m，
故选：A．
5．已知tan(π-x)=13，x为第二象限角，则csx=（ ）
A．1010B．-1010C．31010D．-31010
【答案】D
【分析】根据诱导公式计算可得tanx=-13，结合同角的三角函数关系建立方程组，解之即可求解.
【详解】由tanπ-x=-tanx=13，得tanx=-13，
∵ x是第二象限角，
∴tanx=sinxcsx=-13sin2x+cs2x=1，解得csx=-31010.
故选：D
6．已知sinπ+x=-12，则tanx=（ ）
A．±33B．33C．±3D．3
【答案】A
【分析】首先利用诱导公式求得sinx，再利用sin2x+cs2x=1，求得csx，利用商数关系得答案.
【详解】解：sin π+x=-sinx=-12⇒sinx=12，
则csx=±1-sin2x=±32，
则tanx=sinxcsx=±33.
故选：A.
7．已知sinα=12，则sin2π+α=（ ）
A．32B．12C．-12D．-32
【答案】B
【分析】根据诱导公式计算即可.
【详解】因为sinα=12，则sin2π+α=sinα=12.
故选：B.
8．已知sin3π2+α=27，则csα=（ ）
A．-27B．-57C．27D．57
【答案】A
【分析】根据诱导公式化简即可求解.
【详解】由诱导公式可得sin32π+α=-sinπ2+α=-csα=27，则csα=-27.
故选：A.
9．若cs(π6+α)=13，则cs(5π6-α)=（ ）
A．-13B．13C．-223D．223
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算得解.
【详解】由cs(π6+α)=13，得cs(5π6-α)=cs[π-(π6+α)]=-cs(π6+α)=-13.
故选：A
10．若csα+π6=35，则sinπ3-α=（ ）
A．-45B．45C．-35D．35
【答案】D
【分析】利用诱导公式以及整体带入思想即可求得结果.
【详解】因为α+π6+π3-α=π2，所以sinπ3-α=sinπ2-α+π6=csα+π6=35，
故选：D.
11．已知cs(53∘-α)=15，则cs(127∘+α)=（ ）
A．±15B．265C．15D．-15
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简即得.
【详解】由cs(53∘-α)=15，得cs(127∘+α)=cs[180∘-(53∘-α)]=-cs(53∘-α)=-15.
故选：D
12．若csπ3-θ=-12，则sinθ+π6的值为（ ）
A．12B．32C．-32D．-12
【答案】D
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】若csπ3-θ=-12，则sinθ+π6=sinπ2-π3-θ=csπ3-θ=-12.
故选：D.
题型三、化简求值
1．已知tana=-2，则csπ2+asinπ-a-sin3π2-a＝（ ）
A．-23B．23C．-2D．2
【答案】C
【分析】根据条件，利用诱导公式及齐次式，即可求解.
【详解】因为tana=-2，所以csπ2+asinπ-a-sin3π2-a=-sinαsinα+csα=-tanα1+tanα=21-2=-2，
故选：C.
2．已知cs3π2-αcsπ+α=-2，则2sinα+csαsinα-csα=（ ）
A．1B．-1C．5D．-5
【答案】A
【分析】先根据诱导公式求出tanα=-2，然后将所求式2sinα+csαsinα-csα化弦为切代值计算即得.
【详解】cs(3π2-α)cs(π+α)=-sinα-csα=tanα=-2，
则2sinα+csαsinα-csα=2sinαcsα+1sinαcsα-1=2tanα+1tanα-1=1.
故选：A.
3．已知tanα=-2，则csπ2+αsin(π-α)-sin3π2-α=（ ）
A．-23B．23C．-2D．2
【答案】C
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.
【详解】csπ2+αsin(π-α)-sin3π2-α=-sinαsinα+csα
=-tanαtanα+1=2-2+1=-2.
故选：C
4．若tanα=-4，则sinπ-αcsα=（ ）
A．4B．14C．-4D．-14
【答案】C
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的商数关系化简可得结果.
【详解】sinπ-αcsα=sinαcsα=tanα=-4.
故选：C.
5．若tanα-π=12，则csα2sinα-3csα=（ ）
A．-14B．1C．-12D．-14或-12
【答案】C
【分析】根据诱导公式可得tanα=12，化弦为切即可求解.
【详解】由题意得，tanα-π=tanα=12，
则csα2sinα-3csα=12tanα-3=12×12-3=-12.
故选: C.
6．设tan5π+α=mα≠kπ+π2，k∈Z，则sin α-3π+cs π-αsin -α-cs π+α的值为（ ）
A．m+1m-1B．m-1m+1C．-1D．1
【答案】A
【分析】利用三角函数的诱导公式化简，再利用弦化切，代入即可求解．
【详解】解：∵tan5π+α=m，
∴tanα=m，又sinα-3π=-sin3π-α=-sinπ-α=-sinα
所以原式=-sinα-csα-sinα+csα=-tanα-1-tanα+1=-m-1-m+1=m+1m-1，
故选：A．
7．已知锐角α满足1cs2π+α+3sin3π2-α=4．则1csα=（ ）
A．-1B．4C．12D．2
【答案】B
【分析】利用诱导公式对给定条件化简，再结合换元法求解即可.
【详解】因为1cs2π+α+3sin3π2-α=4，
所以1cs2α-3csα=4，因为α是锐角，所以csα>0，
令1csα=t>0，则t2-3t-4=0，解得t=4或t=-1，
当t=-1时，不符合题意，故舍去，当t=4时，符合题意，故B正确.
故选：B
8．已知tanα=2，则-sin-α+2sinπ2+α3sin3π2+α+sinπ-α的值为（ ）
A．-4B．0C．45D．4
【答案】A
【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】因为tanα=2，则-sin-α+2sinπ2+α3sin3π2+α+sinπ-α=sinα+2csαsinα-3csα=sinα+2csαcsαsinα-3csαcsα
=tanα+2tanα-3=2+22-3=-4.
故选：A.
9．已知f(x)=sinπ2-xcs3π2+xtan(π-x)cs(3π-x)sin(π-x)，若f(α)=-2，则sinαcsα+1cs2α+sinαcsα=（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
【答案】B
【分析】由诱导公式化简函数fx，由f(α)=-2，得到tanα的值，将所求代数式转换为齐次式后分子分母同除cs2α，然后代入tanα的值即可得到答案.
【详解】f(x)=sinπ2-xcs3π2+xtan(π-x)cs(3π-x)sin(π-x)=csx⋅sinx⋅-tanx-csxsinx=tanx，
∴f(α)=tanα=-2，
sinαcsα+1cs2α+sinαcsα=sinαcsα+sin2α+cs2αcs2α+sinαcsα=tanα+tan2α+11+tanα=-2+4+11-2=-3.
故选：B
10．已知tanβ=-43，则-4cs3π-β+3csπ2+β2sin3π2-β-sinπ+β=（ ）
A．4B．0C．-125D．-2511
【答案】C
【分析】利用诱导公式先对所求式子化简，再利用弦化切即可求得结果.
【详解】-4cs3π-β+3csπ2+β2sin3π2-β-sinπ+β= -4csπ-β-3sinβ-2csβ+sinβ=4csβ-3sinβ-2csβ+sinβ=4-3tanβ-2+tanβ =4-3×-43-2+-43=-125.
故选：C
11．已知角α的终边经过点P(5,-2)，则sin(6π-α)cs(5π+α)csπ2+αcs(3π-α)sin(-π-α)sin3π2+α的值为（ ）
A．-255B．-52C．255D．52
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义可得sinα，csα的值，再利用诱导公式进行化简求值.
【详解】因为角α的终边经过点P(5,-2)，
所以sinα=-2(5)2+(-2)2=-23，csα=5(5)2+(-2)2=53，
所以sin(6π-α)cs(5π+α)csπ2+αcs(3π-α)sin(-π-α)sin3π2+α =-sinα(-csα)(-sinα)-csαsinα(-csα)=-sinαcsα=--2353=255.
故选：C.