苏教版五年级数学下册典型例题期中复习专题三：分数篇【四大篇目】(原卷版+解析)

这是一份苏教版五年级数学下册典型例题期中复习专题三：分数篇【四大篇目】(原卷版+解析)，共61页。

“深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。”
“Deep glimpse f their heart,and then find all the miracles in yurself.”

2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列
期中复习专题三：分数篇【四大篇目】
专题解读
本专题是期中复习专题三：分数篇。本部分内容包括分数的认识、分类、基本性质、约分和通分等，考点涵盖较广，部分内容和题型较为复杂，建议作为期中复习核心内容进行讲解，一共划分为四大篇目，欢迎使用。
目录导航
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22308" 【第一篇】分数的意义和认识
\l "_Tc8677" 【知识总览】 PAGEREF _Tc8677 \h 4
\l "_Tc15522" 【考点一】分数的认识与意义 PAGEREF _Tc15522 \h 4
\l "_Tc156" 【考点二】分数单位的认识与确定 PAGEREF _Tc156 \h 5
\l "_Tc10379" 【考点三】单位“1”的意义与确定 PAGEREF _Tc10379 \h 5
\l "_Tc986" 【考点四】分数与除法的关系 PAGEREF _Tc986 \h 6
\l "_Tc11402" 【第二篇】分数的分类和基本性质
\l "_Tc9944" 【知识总览】 PAGEREF _Tc9944 \h 8
\l "_Tc11842" 【考点一】分数的分类 PAGEREF _Tc11842 \h 9
\l "_Tc31410" 【考点二】假分数与带分数或整数的互化 PAGEREF _Tc31410 \h 10
\l "_Tc23623" 【考点三】分数的基本性质 PAGEREF _Tc23623 \h 10
\l "_Tc22031" 【考点四】分小互化 PAGEREF _Tc22031 \h 11
\l "_Tc29586" 【考点五】大小比较 PAGEREF _Tc29586 \h 11
\l "_Tc1832" 【考点六】分数化有限小数 PAGEREF _Tc1832 \h 11
\l "_Tc8700" 【第三篇】约分和通分
\l "_Tc17130" 【知识总览】 PAGEREF _Tc17130 \h 12
\l "_Tc30031" 【考点一】约分 PAGEREF _Tc30031 \h 12
\l "_Tc8775" 【考点二】约分的应用 PAGEREF _Tc8775 \h 13
\l "_Tc982" 【考点三】通分 PAGEREF _Tc982 \h 14
\l "_Tc18164" 【考点四】通分的应用 PAGEREF _Tc18164 \h 14
\l "_Tc8869" 【第四篇】最大公因数和最小公倍数篇
\l "_Tc19234" 【知识总览】 PAGEREF _Tc19234 \h 16
\l "_Tc24301" 【考点一】最大公因数和最小公倍数 PAGEREF _Tc24301 \h 16
\l "_Tc31732" 【考点二】三种特殊情况求最大公因数和最小公倍数 PAGEREF _Tc31732 \h 17
\l "_Tc23317" 【考点三】最大公因数的应用 PAGEREF _Tc23317 \h 18
\l "_Tc7366" 【考点四】最小公倍数的应用 PAGEREF _Tc7366 \h 19
【第一篇】分数的意义和认识
【知识总览】
一、分数的认识与意义。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
二、单位“1”的认识与确定。
一个物体，一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。
三、分数单位的认识与确定。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
四、分数与除法。
1. 在除法中，被除数÷除数=商，在分数中，被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值，除号相当于分数线，用分数表示为。
2. 求一个数占另一个数的几分之几，用一个数÷另一个数=。
【考点一】分数的认识与意义。
【典型例题】
用分数表示下图中的阴影部分是，其中分母( )表示( )，分子( )表示( )，这个分数的分数单位是。
【对应练习】
1．米是把( )平均分成( )份，表示这样( )份的数。
2．用分数表示下面各图中涂色部分的大小。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
【考点二】分数单位的认识与确定。
【典型例题】其一。
读作：( )，它的分数单位是( )，有( )个这样的分数单位。
【典型例题2】其二。
的分数单位是，再加上( )个这样的分数单位是“1”。
【对应练习】
1．的分数单位是( )，有( )个这样的分数单位。
2．的分数单位是( )，再加上( )个这样的分数单位就得到2。
【考点三】单位“1”的意义与确定。
【典型例题1】问题一。
1．2023年杭州亚运会中，我国体操队获得的金牌数约是游泳队的，是把( )队的金牌数看作单位“1”；射击队获得金牌数的等于乒乓球队获得的金牌数，是把( )队的金牌数看作单位“1”。
2．一袋大米吃去了，是把( )看作单位“1”，平均分成( )份，( )占其中的( )份。
【典型例题2】问题二。
把一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段相比( )。
A．第一段短B．第二段短C．无法比较
【对应练习】
1. “世界上最小的洲是大洋洲，大洋洲的面积大约是亚洲面积的”这里的“”是把( )看作单位“1”，表示( )是( )的。
2. 一根绳子，第一次用去了这根绳子的，第二次用去了米，相比之下( )。
A．第一次用去的长B．第二次用去的长
C．两次用去的一样长D．无法确定
【考点四】分数与除法的关系。
【典型例题1】
在下面的括号里填上适当的数。
7÷12＝ ( )÷8＝
6÷( )＝ ＝( )÷( )
【典型例题2】
单位换算。
立方分米立方米 平方厘米平方分米
19分＝时 9角＝元 56平方米＝公顷
【典型例题3】
把15米长的彩带平均分给3个小朋友，每个小朋友分到这根彩带的，每个小朋友分到( )米。
【典型例题4】
书法兴趣班有9人近视，38人视力正常，近视的人数占班级总人数的几分之几？视力正常的人数占班级总人数的几分之几？
【对应练习】
1．五（1）班有男生27人，女生25人，女生人数是男生的几分之几？男生人数占全班人数的几分之几？
2．看图解答。
（1）平均每只小猴子分得多少千克桃子？
（2）平均每只小猴子分得几盘桃子？
3．下面是某市开展“垃圾分类，健康中国”行动，一个回收站一周内回收的垃圾情况如下图所示。
（1）可回收垃圾占垃圾总量的几分之几？
（2）厨余垃圾和其他垃圾共占垃圾总量的几分之几？
【第二篇】分数的分类和基本性质
【知识总览】
一、分数的基本性质。
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
二、分小互化。
1.分数和小数的互化
（1）小数化为分数：有几位小数分母就是1后面带几个0，例如：0.1=，0.23=。
（2）分数化常见的为小数：先将分数化为除法，再计算成小数，例如=1÷4=0.25。
2.分数与小数之间的互化：
=0.5 =0.2 =0.625
=0.25 =0.4 =0.125
=0.75 =0.6 =1.375
=0.0625 =0.8 =0.875
=0.04 =0.08 =0.12 =0.16
三、分数化有限小数。
判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数，要先约分，再根据一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
四、分数的分类。
1.真分数的意义和特征：分子比分母小的分数叫做真分数. 真分数小于1。
2.假分数的意义和特征：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。
3.带分数的意义和特征：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。
五、假分数与带分数互化。
1.假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是带分数中分数部分的分子，分母不变。
2.带分数化成假分数的方法：带分数也能化成假分数，用分数部分的分母作分母，用分母和整数的积再加上分数部分的分子的和作分子。
【考点一】分数的分类。
【典型例题1】问题一。
把下列各数填入相应的圈内。
6 7 45
假分数 真分数 带分数
【典型例题2】问题二。
分数单位是的最小假分数是( )，最大真分数是( )。
【典型例题3】问题三。
在数轴上面的里填上假分数，在下面的里填上带分数。
【典型例题4】问题四。
如果是一个真分数，a最小是( )；如果是一个假分数，a最大是( )。
【考点二】假分数与带分数或整数的互化。
【典型例题1】其一。
假分数与带分数互化。


【典型例题2】其二。
的分数单位是( )，再增加( )个这样的分数单位后它就等于1。
【对应练习】
1. 把下列带分数化为假分数，假分数化为带分数或整数。

2. 的分数单位是( )，它包含有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位就是最小的合数。
【考点三】分数的基本性质。
【典型例题1】
9.58÷0.25＝( )÷25
【典型例题2】
的分子增加4，要使分数的大小不变，分母应增加( )；的分母除以2，要使分数的大小不变，分子应除以( )。
【典型例题3】
一个分数与相等，它的分子比分母大15，则这个分数是( )。
【典型例题4】
写出比大而比小的分数。
【对应练习】
1. ＝＝＝( )÷66。
2. 分数的分子加上45，要使分数值不变，那么分母应加上( )。
3. 一个分数，分母比分子大25，约分后为，原分数是( )。
【考点四】分小互化。
【典型例题】
（填小数）。
【对应练习】
15÷（ ）＝≈（ ）（填两位小数）。
【考点五】大小比较。
【典型例题】
把1.87、、、四个数按照从大到小的顺序排列是( )。
【对应练习】
在（ ）里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( ) ( )
【考点六】分数化有限小数。
【典型例题】
在、中，能化成有限小数的是( )，化成的有限小数是( )。
【对应练习】
在、、三个数中，( )化不成有限小数。
【第三篇】约分和通分
【知识总览】
一、约分。
1.约分：
利用分数的基本性质，将分子和分母同时除以同一个非零的数，这个过程叫做约分。
2.最简分数：
一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。
（互质数：只有公因数1的两个数。）
3.约分的时候很容易一次约不到位，可以用短除法先找到最大公因数再约分，或者多约几次，直到互质再停，注意强调互质再停止约分。
二、通分。
1.通分：
将两个或者两个以上的分数的分母化为相同的数的过程叫做通分。
2.通分的方法
（1）利用短除法或者枚举法找到分母的最小公倍数；
（2）计算每个分数的分母化为最小公倍数时的变化情况，分子也随之变化。
注意：通分也不改变分数的大小。
【考点一】约分。
【典型例题1】
把下面的分数化成最简分数，能化成带分数的要化成带分数。

【对应练习】
先约分，再将假分数化成带分数或整数。

【典型例题2】
是以分母为12的最简真分数，则自然数可能是( )。
【对应练习】
如果是一个最简真分数，那么a可取的整数共有多少个？分别是哪些整数？
【典型例题3】
一个最简真分数，它的分子与分母的积是18，这个分数是( )或( )。
【对应练习】
一个最简真分数，它的分子与分母的积是21，这个分数是( )或( )。
【典型例题4】
如果一个最简真分数，分子分母的和是9，那么这样的最简真分数有( )个。
【典型例题5】
分数单位是的最简真分数有( )个。
【对应练习】
分数单位是的最简真分数有( )个，其中最小的是( )。
【考点二】约分的应用。
【典型例题1】其一。
一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是( )。
【对应练习】
化简一个分数时，用2约了两次，用3约了两次，得。化简之前原来的分数是( )。
【典型例题2】其二。
一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是( )。
【对应练习】
一个分数，分子与分母的和是60，这个分数约分后是，原分数是( )。
【典型例题3】其三。
一个分数的分母比分子大24，约分后是，这个分数是。
【对应练习】
一个分数，它的分母比分子大24，约分后是，这个分数原来是( )。
【典型例题4】其四。
的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？
【对应练习】
将的分子和分母都减去同一个数得到一个新分数，新分数约分后是，减去的数是多少？
【考点三】通分。
【典型例题】
把下列各组分数通分。
（1）和 （2）和 （3）和 （4）和
【对应练习】
把下面各组分数通分。
和 和 和 和
【考点四】通分的应用。
【典型例题1】其一。
比较各组分数的大小。
和 和 和
【对应练习】
先通分，再比较大小。
和 和 和。
【典型例题2】其二。
张叔叔和李叔叔参加工厂的技能比赛。张叔叔加工完所有零件的时，李叔叔加工完所有零件的。在这段时间里，谁的比赛成绩更好一些？
【对应练习】
甲乙两个打字员打同一份稿件，甲打字员平均每秒打0.8个字。乙打字员平均每秒打个字。哪位打字员的速度快一些？
【第四篇】最大公因数和最小公倍数篇
【知识总览】
一、最大公因数。
1.最大公因数的定义
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数
2.求两个数的最大公因数的方法：
（1）列举法；（2）短除法
3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。
注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。
二、最小公倍数。
1.最小公倍数的定义：
几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2.求最小公倍数的方法：
（1）列举法；（2）短除法。
3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。
注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。
三、分解质因数求最大公因数和最小公倍数。
分解质因数求最大公因数和最小公倍数：
求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。
四、最大公因数和最小公倍数的特殊情况。
1.公因数只有1的两个数，叫做互质数。
2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
3.当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
【考点一】最大公因数和最小公倍数。
【典型例题1】
求下面各组数的最大公因数。
36和48 11和13 21，42和70
【典型例题2】
求下面每组数的最小公倍数。
27和72 36和60 76和80
【典型例题3】
求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
13、39和117 42、56和84 240、840和360
【对应练习】
1. 求下面各组数的最小公倍数。
10和60 8和14 11和34
2. 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
54，72和90 60，90和120
【考点二】三种特殊情况求最大公因数和最小公倍数。
【典型例题1】问题一。
如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【典型例题2】问题二。
把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。
【典型例题3】问题三。
b和t是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【典型例题4】问题四。
如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然数，那么a和b的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。
【对应练习】
1. M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
2. 两个连续的自然数（均不为0），它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
3. 如果a＝2b（a、b均为大于9的整数），则a、b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。
【考点三】最大公因数的应用。
【典型例题1】分线段问题。
用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？
【典型例题2】分长方形问题。
选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？
【对应练习】
1. 有两根钢管，分别长45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
2. 爸爸打算给长72分米、宽48分米的客厅铺上地砖。从不浪费材料的角度考虑（使用的地砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？（地砖的边长是整分米数且在5～10分米之间）
【考点四】最小公倍数的应用。
【典型例题1】分东西问题。
篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？
【典型例题2】人数问题。
篮球队的同学们分组练习，分成6人一组或8人一组都多4人，已知篮球队的人数在50－60人之间，篮球队有多少人？
【典型例题3】日期问题其一。
我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？
7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车
【典型例题4】日期问题其二。
甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
【典型例题5】同余数问题。
现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？
【典型例题6】同差问题。
有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块?
【对应练习】
1. 为庆祝“五一”，张老师买来一些糖果，如果每位小朋友分4颗或6颗，都正好分完。这些糖果的颗数在30－40之间，张老师买来多少颗糖果？
2. 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？
3. 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？
4. 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？
种类
厨余垃圾
可回收垃圾
有害垃圾
其他
数量（吨）
35
15
4
5
“深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。”
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本专题是期中复习专题三：分数篇。本部分内容包括分数的认识、分类、基本性质、约分和通分等，考点涵盖较广，部分内容和题型较为复杂，建议作为期中复习核心内容进行讲解，一共划分为四大篇目，欢迎使用。
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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22308" 【第一篇】分数的意义和认识
\l "_Tc8677" 【知识总览】 PAGEREF _Tc8677 \h 4
\l "_Tc15522" 【考点一】分数的认识与意义 PAGEREF _Tc15522 \h 4
\l "_Tc156" 【考点二】分数单位的认识与确定 PAGEREF _Tc156 \h 6
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\l "_Tc9944" 【知识总览】 PAGEREF _Tc9944 \h 13
\l "_Tc11842" 【考点一】分数的分类 PAGEREF _Tc11842 \h 14
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\l "_Tc22031" 【考点四】分小互化 PAGEREF _Tc22031 \h 19
\l "_Tc29586" 【考点五】大小比较 PAGEREF _Tc29586 \h 20
\l "_Tc1832" 【考点六】分数化有限小数 PAGEREF _Tc1832 \h 21
\l "_Tc8700" 【第三篇】约分和通分
\l "_Tc17130" 【知识总览】 PAGEREF _Tc17130 \h 22
\l "_Tc30031" 【考点一】约分 PAGEREF _Tc30031 \h 22
\l "_Tc8775" 【考点二】约分的应用 PAGEREF _Tc8775 \h 24
\l "_Tc982" 【考点三】通分 PAGEREF _Tc982 \h 26
\l "_Tc18164" 【考点四】通分的应用 PAGEREF _Tc18164 \h 28
\l "_Tc8869" 【第四篇】最大公因数和最小公倍数篇
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\l "_Tc24301" 【考点一】最大公因数和最小公倍数 PAGEREF _Tc24301 \h 30
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【第一篇】分数的意义和认识
【知识总览】
一、分数的认识与意义。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
二、单位“1”的认识与确定。
一个物体，一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。
三、分数单位的认识与确定。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
四、分数与除法。
1. 在除法中，被除数÷除数=商，在分数中，被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值，除号相当于分数线，用分数表示为。
2. 求一个数占另一个数的几分之几，用一个数÷另一个数=。
【考点一】分数的认识与意义。
【典型例题】
用分数表示下图中的阴影部分是，其中分母( )表示( )，分子( )表示( )，这个分数的分数单位是。
【答案】；6；把圆平均分成6份；4；取其中的4份；
【分析】在进行测量、分物或计算时，常常不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示整体。把这个整体平均分为若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的叫分数单位。
【详解】由分析可得：用分数表示下图中的阴影部分是，其中分母6表示把圆平均分成6份，取其中的4份，这个分数的分数单位是。
【点睛】本题考查了分数的意义，要明白分子分母的含义。
【对应练习】
1．米是把( )平均分成( )份，表示这样( )份的数。
【答案】 1米 8 5
【分析】根据题意，结合分数的意义可知，把米看作单位“1”，将单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子表示所占的份数。
【详解】根据题意，米是把1米平均分成8份，表示这样5份的数。
2．用分数表示下面各图中涂色部分的大小。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
【答案】
【分析】
分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。
根据分数的意义，从左往右：
第1幅图，把整个圆看作单位“1”，平均分成12份，涂色部分占其中的7份，用分数表示为；
第2幅图，把整个三角形看作单位“1”，平均分成9份，涂色部分占其中的3份，用分数表示为；
第3幅图，把整个长方形看作单位“1”，平均分成8份，涂色部分占其中的3份，用分数表示为；
第4幅图，把整个图形看作单位“1”，平均分成7份，涂色部分占其中的2份，用分数表示为；
第5幅图，把整个圆看作单位“1”，平均分成4份，涂色部分占其中的2份，用分数表示为。
【详解】
【考点二】分数单位的认识与确定。
【典型例题】其一。
读作：( )，它的分数单位是( )，有( )个这样的分数单位。
【答案】 八分之七 7
【分析】分数结构为：中间为分数线，分数线下是分母，分数线上是分子，分数的读法为：先读分母，中间的分数线读作“分之”，最后读分子；一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几就有几个这样的分数单位。
【详解】读作：八分之七，它的分数单位是，有7个这样的分数单位。
【典型例题2】其二。
的分数单位是，再加上( )个这样的分数单位是“1”。
【答案】；2
【分析】一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。表示把单位“1”平均分成7份，表示了这样的5份，所以用7－5可求出再加上几个这样的分数单位是“1”。
【详解】的分母是7，所以的分数单位是；
7－5＝2（个），所以再加上5个这样的分数单位是“1”。
【点睛】此题考查了分数的意义、分数单位的意义。
【对应练习】
1．的分数单位是( )，有( )个这样的分数单位。
【答案】 13
【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数；分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。分数的分子是几就表示里面就有几个这样的分数单位。
【详解】的分数单位是，有13个这样的分数单位。
2．的分数单位是( )，再加上( )个这样的分数单位就得到2。
【答案】 14
【分析】一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；用2减去即可求出再加上多少个这样的分数单位就得到2。
【详解】2－＝
则的分数单位是，再加上14个这样的分数单位就得到2。
【考点三】单位“1”的意义与确定。
【典型例题1】问题一。
1．2023年杭州亚运会中，我国体操队获得的金牌数约是游泳队的，是把( )队的金牌数看作单位“1”；射击队获得金牌数的等于乒乓球队获得的金牌数，是把( )队的金牌数看作单位“1”。
【答案】 游泳 射击
【分析】两个量之间单位“1”的确定：找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、是、占……，这些关键词与分率之间的量一般就是单位“1”。看分率是哪个量的几分之几，哪个量就是单位“1”。据此解答。
【详解】通过分析可得：我国体操队获得的金牌数约是游泳队的，是把游泳队的金牌数看作单位“1”；射击队获得金牌数的等于乒乓球队获得的金牌数，是把射击队的金牌数看作单位“1”。
2．一袋大米吃去了，是把( )看作单位“1”，平均分成( )份，( )占其中的( )份。
【答案】 一袋大米 5 吃去的部分 3
【分析】把一袋大米看作单位“1”，吃了它的，就是把这袋米平均分成5份，吃去的部分占其中的3份，据此解答。
【详解】根据分析，一袋大米吃去了，是把一袋大米看作单位“1”，平均分成5份，吃去的部分占其中的3份。
【典型例题2】问题二。
把一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段相比( )。
A．第一段短B．第二段短C．无法比较
【答案】A
【分析】把这根绳子的总长看作单位“1”，第二段占全长的，则第一段占全长的（1－），比较两段绳子占全长的分率的大小，即可求出哪一段更长一些。
【详解】1－＝
＜
两段相比，第一段短一些。
故答案为：A
【点睛】此题的解题关键是理解分数的意义，掌握分数减法的计算方法。
【对应练习】
1. “世界上最小的洲是大洋洲，大洋洲的面积大约是亚洲面积的”这里的“”是把( )看作单位“1”，表示( )是( )的。
【答案】 亚洲面积 大洋洲面积 亚洲面积
【分析】根据判断单位“1”的方法，一般是把分率“的”字前面的量看作单位“1”，或把“是、占、比”后面的量看作单位“1”。
【详解】“世界上最小的洲是大洋洲，大洋洲的面积大约是亚洲面积的”这里的“”是把亚洲面积看作单位“1”，表示大洋洲面积是亚洲面积的。
【点睛】掌握单位“1”的确定方法是解题的关键。
2. 一根绳子，第一次用去了这根绳子的，第二次用去了米，相比之下( )。
A．第一次用去的长B．第二次用去的长
C．两次用去的一样长D．无法确定
【答案】A
【分析】只有单位相同的量或者数才能比较大小，所以要先求出两次对应分率再比较大小，据此解答。
【详解】据题意，把这根绳子的长度看作单位“1”，第一次用去了这根绳子的，剩下的分率为：，因为
所以，不管下次怎么用绳子，都不可能超出第一次用去的。
故答案为：A
【点睛】本题考查分数的意义，题中虽然两个分数相同，但是表示的意义不同，一个表示分率，一个表示具体数量，做题是要注意区分。
【考点四】分数与除法的关系。
【典型例题1】
在下面的括号里填上适当的数。
7÷12＝ ( )÷8＝
6÷( )＝ ＝( )÷( )
解析：
7÷12＝ 3÷8＝
6÷11＝ ＝7÷37
【典型例题2】
单位换算。
立方分米立方米 平方厘米平方分米
19分＝时 9角＝元 56平方米＝公顷
解析：
；
；；
【典型例题3】
把15米长的彩带平均分给3个小朋友，每个小朋友分到这根彩带的，每个小朋友分到( )米。
【答案】；5
【分析】把彩带平均分给3个小朋友，就是把彩带看作单位“1”，把单位“1”平均分成3份，每人分到其中一份，也就是；每个小朋友分到的长度直接用15除以3计算即可。
【详解】把单位“1”平均分成3份，每人分到；
15÷3＝5（米）
每个小朋友分到这根彩带的，每个小朋友分到5米。
【典型例题4】
书法兴趣班有9人近视，38人视力正常，近视的人数占班级总人数的几分之几？视力正常的人数占班级总人数的几分之几？
解析：
9＋38＝47（人）
9÷47＝
38÷47＝
答：近视的人数占班级总人数的，视力正常的人数占班级总人数的。
【对应练习】
1．五（1）班有男生27人，女生25人，女生人数是男生的几分之几？男生人数占全班人数的几分之几？
【答案】；
【分析】女生人数÷男生人数＝女生人数是男生的几分之几；男生人数＋女生人数＝全班人数，男生人数÷全班人数＝男生人数占全班人数的几分之几，据此列式解答。
【详解】25÷27＝
27÷（27＋25）
＝27÷52
＝
答：女生人数是男生的，男生人数占全班人数的。
2．看图解答。
（1）平均每只小猴子分得多少千克桃子？
（2）平均每只小猴子分得几盘桃子？
【答案】（1）千克；
（2）盘
【分析】
（1）要求平均每只小猴子分得多少千克桃子，用桃子的重量除以小猴子的总数量即可；
（2）要求平均每只小猴子分得几盘桃子，用分得的总盘数除以小猴子的总数量即可。
【详解】
（1）（千克）
答：平均每只小猴子分得千克桃子。
（2）（盘）
答：平均每只小猴子分得盘桃子。
3．下面是某市开展“垃圾分类，健康中国”行动，一个回收站一周内回收的垃圾情况如下图所示。
（1）可回收垃圾占垃圾总量的几分之几？
（2）厨余垃圾和其他垃圾共占垃圾总量的几分之几？
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）用可回收垃圾的重量除以垃圾总量即可；
（2）先求出厨余垃圾和其他垃圾的总重量，再除以垃圾总量即可。
【详解】（1）15÷（35＋15＋4＋5）
＝15÷59
＝
答：可回收垃圾占垃圾总量的。
（2）（35＋5）÷（35＋15＋4＋5）
＝40÷59
＝
答：厨余垃圾和其他垃圾共占垃圾总量的。
【第二篇】分数的分类和基本性质
【知识总览】
一、分数的基本性质。
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
二、分小互化。
1.分数和小数的互化
（1）小数化为分数：有几位小数分母就是1后面带几个0，例如：0.1=，0.23=。
（2）分数化常见的为小数：先将分数化为除法，再计算成小数，例如=1÷4=0.25。
2.分数与小数之间的互化：
=0.5 =0.2 =0.625
=0.25 =0.4 =0.125
=0.75 =0.6 =1.375
=0.0625 =0.8 =0.875
=0.04 =0.08 =0.12 =0.16
三、分数化有限小数。
判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数，要先约分，再根据一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
四、分数的分类。
1.真分数的意义和特征：分子比分母小的分数叫做真分数. 真分数小于1。
2.假分数的意义和特征：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。
3.带分数的意义和特征：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。
五、假分数与带分数互化。
1.假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是带分数中分数部分的分子，分母不变。
2.带分数化成假分数的方法：带分数也能化成假分数，用分数部分的分母作分母，用分母和整数的积再加上分数部分的分子的和作分子。
【考点一】分数的分类。
【典型例题1】问题一。
把下列各数填入相应的圈内。
6 7 45
假分数 真分数 带分数
解析：
如下图所示：
【典型例题2】问题二。
分数单位是的最小假分数是( )，最大真分数是( )。
解析：
【典型例题3】问题三。
在数轴上面的里填上假分数，在下面的里填上带分数。
解析：
填空如下：
【典型例题4】问题四。
如果是一个真分数，a最小是( )；如果是一个假分数，a最大是( )。
解析：14 13
【考点二】假分数与带分数或整数的互化。
【典型例题1】其一。
假分数与带分数互化。


解析：
；5；；；
；；；
【典型例题2】其二。
的分数单位是( )，再增加( )个这样的分数单位后它就等于1。
【答案】 5
【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。对于真分数、假分数来说，分子是几，就有几个这样的分数单位。
先把1化成分母为12而大小不变的假分数，再看分子与的分子相差几，就需要再增加几个这样的分数单位等于1。
【详解】的分数单位是，它有7个这样的分数单位；
1＝，里有12个；
12－7＝5（个）
再增加5个这样的分数单位后它就等于1。
【对应练习】
1. 把下列带分数化为假分数，假分数化为带分数或整数。

解析：；；；
2. 的分数单位是( )，它包含有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位就是最小的合数。
【答案】 19 13
【分析】分数的分母是几分数单位就是几分之一﹔将化成假分数，分子是几就有几个这样的分数单位；最小的合数是4，将4化成分母是8的假分数，求出两个分子的差，就是需要再添上的分数单位的个数。
【详解】＝
4＝
32－19＝13
的分数单位是，它含有19个这样的分数单位，再添上13个这样的分数单位就是最小的合数。
【考点三】分数的基本性质。
【典型例题1】
9.58÷0.25＝( )÷25
【答案】20；4；958
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。
【详解】＝＝
＝＝
9.58÷0.25＝（9.58×100）÷（0.25×100）＝958÷25
即＝＝，9.58÷0.25＝958÷25。
【典型例题2】
的分子增加4，要使分数的大小不变，分母应增加( )；的分母除以2，要使分数的大小不变，分子应除以( )。
【答案】 14 2
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
的分子增加4得6，相当于分子乘3，根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，分母也要乘3得21，再减去原来的分母，即是分母应该加上的数。
的分母除以2，根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，分子也要除以2。
【详解】的分子增加4，相当于乘：
（2＋4）÷2
＝6÷2
＝3
分母应增加：
7×3－7
＝21－7
＝14
的分子增加4，要使分数的大小不变，分母应增加14；
的分母除以2，要使分数的大小不变，分子应除以2。
【点睛】掌握分数的基本性质及应用是解题的关键。
【典型例题3】
一个分数与相等，它的分子比分母大15，则这个分数是( )。
【答案】
【分析】的分子比分母大5，15÷5＝3，所以要想使它的分子比分母大15，就需要根据分数的基本性质，把的分子、分母同时乘3。
【详解】9－4＝5
15÷5＝3
＝＝
所以这个分数是。
【点睛】若分数的分子、分母同时扩大到原来的n倍，则分子与分母的差也扩大到原来的n倍。
【典型例题4】
写出比大而比小的分数。
解析：；；；
【对应练习】
1. ＝＝＝( )÷66。
【答案】33；12；18
【分析】根据分数的基本性质，把的分子和分母同时乘3，得；把的分子和分母同时乘4，得；把的分子和分母同时乘6，得，再根据分数与除法的关系，可得：＝18÷66。
【详解】通过分析可得：＝＝＝18÷66。
2. 分数的分子加上45，要使分数值不变，那么分母应加上( )。
【答案】55
【分析】分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。求出分子变化后分子相当于乘几，那么分母也要乘几，再求出变化前后分母的差是多少，即为答案。
【详解】9＋45＝54
54÷9＝6
6×11＝66
66－11＝55。
分数的分子加上45，要使分数值不变，那么分母应加上55。
3. 一个分数，分母比分子大25，约分后为，原分数是( )。
【答案】
【分析】约分后分母比分子大5，原来分子比分母大25，用25除以5即可求出原分数分子与分母缩小的倍数，由此把约分后的分数的分子与分母扩大这个倍数即可求出原来的分数。
【详解】分子分母缩小的倍数：
25÷（9－4）
＝25÷5
＝5
原分数：
＝＝
【点睛】分数的基本性质。
【考点四】分小互化。
【典型例题】
（填小数）。
【答案】9；32；40；0.375
【分析】根据分数的基本性质，的分子和分母都乘5就是；的分子和分母都乘3就是；根据分数与除法的关系，＝3÷8；根据商不变的规律，3÷8＝12÷32；把化成小数是0.375；据此解答。
【详解】由分析可得：＝＝12÷32＝＝0.375。
【对应练习】
15÷（ ）＝≈（ ）（填两位小数）。
【答案】18；20；30；0.83
【分析】分数的分子相当于被除数，分母相当于除数；分数的分子和分母，同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此填空，分数化小数，直接用分子÷分母即可。
【详解】15÷5×6＝18；24÷6×5＝20；25÷5×6＝30；5÷6≈0.83
15÷18＝≈0.83
【考点五】大小比较。
【典型例题】
把1.87、、、四个数按照从大到小的顺序排列是( )。
【答案】＞＞＞1.87
【分析】根据题意，把分数化成小数，先比较小数的整数部分，整数部分大，这个小数就大，如果整数部分相同，就比较十分位，十分位相同，就比较百分位，以此列推。
【详解】＝1.875
1.87、、1.875、的整数部分、十分位和百分位都相同；1.87的千分位是0，1.875的千分位是5，的千分位是7，的千分位是8。
所以＞＞1.875＞1.87，即＞＞＞1.87。
【对应练习】
在（ ）里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( ) ( )
【答案】 ＜ ＜ ＞
【分析】（1）先通分，再根据“同分母分数相比较，分子大的分数大。”来比较大小。
（2）先把化成小数0.875，再比较0.87和0.875的大小。
（3）先把化成假分数，再比较和。
【详解】（1）＝＝
＝＝
因为＜，所以＜。
（2）＝7÷8＝0.875
因为0.87＜0.875，所以0.87＜。
（3）＝＝
因为＞，所以＞。
【点睛】此题考查了分数的大小比较、分数与小数的互化、带分数化假分数。
【考点六】分数化有限小数。
【典型例题】
在、中，能化成有限小数的是( )，化成的有限小数是( )。
解析： 0.016
【对应练习】
在、、三个数中，( )化不成有限小数。
解析：
【第三篇】约分和通分
【知识总览】
一、约分。
1.约分：
利用分数的基本性质，将分子和分母同时除以同一个非零的数，这个过程叫做约分。
2.最简分数：
一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。
（互质数：只有公因数1的两个数。）
3.约分的时候很容易一次约不到位，可以用短除法先找到最大公因数再约分，或者多约几次，直到互质再停，注意强调互质再停止约分。
二、通分。
1.通分：
将两个或者两个以上的分数的分母化为相同的数的过程叫做通分。
2.通分的方法
（1）利用短除法或者枚举法找到分母的最小公倍数；
（2）计算每个分数的分母化为最小公倍数时的变化情况，分子也随之变化。
注意：通分也不改变分数的大小。
【考点一】约分。
【典型例题1】
把下面的分数化成最简分数，能化成带分数的要化成带分数。

【答案】；；；；
【分析】分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫作最简分数。根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，进行约分即可。
假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。
【详解】
【对应练习】
先约分，再将假分数化成带分数或整数。

【答案】；；；；；2
【分析】根据分数的基本性质进行约分，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。
【详解】
【典型例题2】
是以分母为12的最简真分数，则自然数可能是( )。
解析：2（或4、8）
【对应练习】
如果是一个最简真分数，那么a可取的整数共有多少个？分别是哪些整数？
解析：5个；2，4，8，10，14
【典型例题3】
一个最简真分数，它的分子与分母的积是18，这个分数是( )或( )。
解析：；
【对应练习】
一个最简真分数，它的分子与分母的积是21，这个分数是( )或( )。
解析： ；
【典型例题4】
如果一个最简真分数，分子分母的和是9，那么这样的最简真分数有( )个。
解析：分子和分母的和是9，这样的最简真分数有：；；，共计3个。
【典型例题5】
分数单位是的最简真分数有( )个。
解析：4
【对应练习】
分数单位是的最简真分数有( )个，其中最小的是( )。
解析：4；
【考点二】约分的应用。
【典型例题1】其一。
一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是( )。
解析：2×3×2＝12、3×3×2＝18，原来这个分数是。
【对应练习】
化简一个分数时，用2约了两次，用3约了两次，得。化简之前原来的分数是( )。
解析：
＝＝
化简之前原来的分数是。
【典型例题2】其二。
一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是( )。
解析：
160÷（3＋5）
＝160÷8
＝20
＝＝
约分前的分数是。
【对应练习】
一个分数，分子与分母的和是60，这个分数约分后是，原分数是( )。
解析：
60÷（2＋3）
＝60÷5
＝12
12×2＝24
12×3＝36
所以，原来这个分数是。
【典型例题3】其三。
一个分数的分母比分子大24，约分后是，这个分数是。
解析：
一份数：
24÷（8－5）＝8；
这个分数是。
【对应练习】
一个分数，它的分母比分子大24，约分后是，这个分数原来是( )。
解析：
【典型例题4】其四。
的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？
解析：
差：30-23=7
一份：7÷（4-3）=7
约分前为
减去：23-21=2
答：同时减去的这个数是2。
【对应练习】
将的分子和分母都减去同一个数得到一个新分数，新分数约分后是，减去的数是多少？
解析：
答：减去的数是9。
【考点三】通分。
【典型例题】
把下列各组分数通分。
（1）和 （2）和
（3）和 （4）和
【答案】（1）、；（2）、
（3）、；（4）、
【分析】带分数化假分数的方法：用整数部分乘分母加分子，再根据通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。
【详解】（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
【对应练习】
把下面各组分数通分。
和 和 和 和
【答案】和；和
和；和
【分析】通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后根据分数的基本性质，把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。
【详解】和
＝
＝
和
＝
＝
和
＝
＝
和
＝
【考点四】通分的应用。
【典型例题1】其一。
比较各组分数的大小。
和 和 和
【答案】；；
【分析】异分母异分子分数比较大小时，先将分母通分，得到同分母分数；同分母分数比较大小时，分子大的分数大，分子小的分数小。据此可得出答案。
【详解】，，则；
，，则；
，，则
【对应练习】
先通分，再比较大小。
和 和 和。
【答案】和，；
和，；
和，；
【分析】先将每一组的分数化成同分母分数，用这一组分数的两个分母的公倍数作公分母即可。然后再按照同分母分数比较大小的方法进行比较即可。
【详解】＝＝，＝＝，＞，即。
＝＝，＝＝，＜，即。
＝＝，＝＝，＜，即
【典型例题2】其二。
张叔叔和李叔叔参加工厂的技能比赛。张叔叔加工完所有零件的时，李叔叔加工完所有零件的。在这段时间里，谁的比赛成绩更好一些？
【答案】李叔叔
【分析】比较张叔叔和李叔叔的工作量，即可得出相同时间内，谁的工作量大，谁的成绩就更好一些。
分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小；分子、分母都不相同时，化成同分母或同分子的分数进行比较。
【详解】＝＝
＝＝
＜，所以＜。
答：在这段时间里，李叔叔的比赛成绩更好一些。
【对应练习】
甲乙两个打字员打同一份稿件，甲打字员平均每秒打0.8个字。乙打字员平均每秒打个字。哪位打字员的速度快一些？
【答案】乙打字员
【分析】
根据小数与分数的关系，把0.8化为分数形式，即0.8＝，再根据异分母分数比较大小的方法，先通分化为同分母分数比较大小的方法进行比较即可。
【详解】
，即0.8＜。
答：乙打字员速度快。
【第四篇】最大公因数和最小公倍数篇
【知识总览】
一、最大公因数。
1.最大公因数的定义
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数
2.求两个数的最大公因数的方法：
（1）列举法；（2）短除法
3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。
注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。
二、最小公倍数。
1.最小公倍数的定义：
几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2.求最小公倍数的方法：
（1）列举法；（2）短除法。
3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。
注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。
三、分解质因数求最大公因数和最小公倍数。
分解质因数求最大公因数和最小公倍数：
求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。
四、最大公因数和最小公倍数的特殊情况。
1.公因数只有1的两个数，叫做互质数。
2.当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
3.当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
【考点一】最大公因数和最小公倍数。
【典型例题1】
求下面各组数的最大公因数。
36和48 11和13 21，42和70
【答案】12；1；7
【分析】根据求两个（或两个以上）数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数；当两个数互为质数，那么它们的最大公因数是1；据此解答。
【详解】36和48
36＝2×2×3×3
48＝2×2×2×2×3
则36和48的最大公因数是：2×2×3＝12；
11和13
11和13互为质数，所以11和13的最大公因数是：1；
21，42和70
21＝3×7
42＝2×3×7
70＝2×5×7
则21，42和70的最大公因数是：7。
【典型例题2】
求下面每组数的最小公倍数。
27和72 36和60 76和80
【答案】216；180；1520
【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
可以用短除法进行计算，把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。
【详解】
3×3×3×8＝216
27和72的最小公倍数是216；
2×2×3×3×5＝180
36和60的最小公倍数是180；
2×2×19×20＝1520
76和80的最小公倍数是1520。
【典型例题3】
求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
13、39和117 42、56和84 240、840和360
解析：
（13,39,117）=13 （42,56,84）=14 (240,840,360)=120
[13,39,117]=117 [42,56,84]=168 [240,840,360]=5040
【对应练习】
1. 求下面各组数的最小公倍数。
10和60 8和14 11和34
【答案】60；56；374
【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
两数成倍数关系，最小公倍数是较大数；两数互质，最小公倍数是两数的积。
【详解】60÷10＝6，10和60的最小公倍数是60；
8＝2×2×2、14＝2×7
2×2×2×7＝56
8和14的最小公倍数是56；
11×34＝374
11和34的最小公倍数是374。
2. 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
54，72和90 60，90和120
解析：略。
【考点二】三种特殊情况求最大公因数和最小公倍数。
【典型例题1】问题一。
如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
解析：
A和B公因数只有3，所以3就是最大公因数；
A＝2×3×5
＝6×5
＝30
B＝3×7＝21
最小公倍数：30×21÷3
＝630÷3
＝210
【典型例题2】问题二。
把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。
【答案】210
【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。
【详解】A＝2×5×N
B＝3×5×N
A和B的最大公因数是：5N＝35；
N＝35÷5＝7
A和B的最小公倍数是：2×3×5×N；
当N＝7时，2×3×5×7＝210；
所以，A和B的最小公倍数是210。
【点睛】掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。
【典型例题3】问题三。
b和t是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
解析：1 bt
【典型例题4】问题四。
如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然数，那么a和b的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。
【答案】 b a
【分析】若两个数是倍数关系，则较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。据此填空即可。
【详解】因为a＝3b，所以a÷b＝3
则a和b的最大公因数是b；最小公倍数是a。
【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，明确互为倍数关系的特殊求法是解题的关键。
【对应练习】
1. M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
解析：21 462
2. 两个连续的自然数（均不为0），它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
解析：1 它们的乘积
3. 如果a＝2b（a、b均为大于9的整数），则a、b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。
【答案】 a b
【分析】若两个数成倍数关系，则较大数就是它们的最小公倍数，较小数就是它们的最大公因数。
【详解】因为a＝2b，所以a÷b＝2；则a和b成倍数关系；
a和b的最小公倍数是a，a和b的最大公因数是b。
因此如果a＝2b（a、b均为大于9的整数），则a、b的最小公倍数是a，最大公因数是b。
【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，明确两个数成倍数关系，则较大数就是它们的最小公倍数，较小数就是它们的最大公因数是解题的关键。
【考点三】最大公因数的应用。
【典型例题1】分线段问题。
用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？
解析：
56＝2×2×2×7
48＝2×2×2×2×3
2×2×2＝8
每段最长是8分米，
（56＋48）÷8
＝104÷8
＝13（段）
答：每段最长是8分米，一共能剪成13段。
【典型例题2】分长方形问题。
选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？
解析：
28＝2×2×7
12＝2×2×3
2×2＝4（厘米）
28×12÷（4×4）
＝336÷16
＝21（张）
正方形的边长是4厘米，一共可以裁成21张。
【对应练习】
1. 有两根钢管，分别长45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
解析：
45＝3×3×5
30＝2×3×5
45和30的最大公因数是：3×5＝15。
即每一小段最长是15厘米。
（45÷15）＋（30÷15）
＝3＋2
＝5（段）
答：每一小段最长15厘米，一共可以截成5段。
2. 爸爸打算给长72分米、宽48分米的客厅铺上地砖。从不浪费材料的角度考虑（使用的地砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？（地砖的边长是整分米数且在5～10分米之间）
解析：
72的因数有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72；
48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
72和48在5～10的公因数有6、8；
答：可以选择边长是6分米或8分米的正方形地砖。
【考点四】最小公倍数的应用。
【典型例题1】分东西问题。
篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？
解析：
12＝2×2×3
15＝3×5
2×2×3×5＝60
12和15的最小公倍数是60，
答：篮子里至少有60根萝卜。
【典型例题2】人数问题。
篮球队的同学们分组练习，分成6人一组或8人一组都多4人，已知篮球队的人数在50－60人之间，篮球队有多少人？
【答案】52人
【分析】由题意可知，篮球队的人数应是6和8的公倍数再 4，先求出6和8的最小公倍数，再结合人数在50－60人之间解答即可。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
则6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24
24×2＋4
＝48＋4
＝52（人）
答：篮球队有52人。
【点睛】本题考查公倍数和最小公倍数，明确求公倍数和最小公倍数的方法是解题的关键。
【典型例题3】日期问题其一。
我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？
7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车
解析：
6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。
即过24分钟两路车第二次同时发车。
答：这两路公共汽车同时发车后，过24分钟两路车第二次同时发车。
【典型例题4】日期问题其二。
甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
解析：
12和16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48
4月25日＋48天＝6月12日
答：下一次都到图书馆是6月12日。
【典型例题5】同余数问题。
现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？
解析：
8＝2×2×2
14＝2×7
8和14的最小公倍数是2×7×2×2＝56
56＋1＝57（个）
答：这筐苹果至少有57个。
【典型例题6】同差问题。
有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块?
解析：
由题可知，这些糖果加上1块就变为了8和6的公倍数，通过短除法求出最小公倍数为24，则这些糖果最少有23块。
【对应练习】
1. 为庆祝“五一”，张老师买来一些糖果，如果每位小朋友分4颗或6颗，都正好分完。这些糖果的颗数在30－40之间，张老师买来多少颗糖果？
解析：
4＝2×2
6＝2×3
4、6的最小公倍数是：3×2×2＝12
因为12×3＝36，糖果总数在30 ~ 40之间，所以张老师一共买来36颗糖果。
2. 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？
解析：
5、8、10的最小公倍数：5×2×1×4×1＝40
所以，再经过40分钟1路、2路、15路车第二次同时发车。
6时＋40分钟＝6时40分
答：它们第二次同时发车是6时40分。
3. 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？
解析：
9×11＋1
＝99＋1
＝100（棵）
答：这批树苗至少有100棵。
4. 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？
解析：
4×5×7－3
＝140－3
＝137（个）
答：这些贝壳至少有137个。
种类
厨余垃圾
可回收垃圾
有害垃圾
其他
数量（吨）
35
15
4
5