苏教版五年级数学下册典型例题期中复习专题二：因数和倍数篇【三大篇目】(原卷版+解析)

这是一份苏教版五年级数学下册典型例题期中复习专题二：因数和倍数篇【三大篇目】(原卷版+解析)，共47页。

“深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。”
“Deep glimpse f their heart,and then find all the miracles in yurself.”

2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列
期中复习专题二：因数和倍数篇【三大篇目】
专题解读
本专题是期中复习专题二：因数和倍数篇。本部分内容包括因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数以及2、5、3倍数特征等，考点涵盖广泛，其中部分内容较为复杂，建议作为期中复习核心内容进行讲解，一共划分为三大篇目，欢迎使用。
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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1757" 【第一篇】因数与倍数
\l "_Tc9149" 【知识总览】 PAGEREF _Tc9149 \h 4
\l "_Tc13797" 【考点一】因数与倍数的定义 PAGEREF _Tc13797 \h 4
\l "_Tc17161" 【考点二】求因数或倍数 PAGEREF _Tc17161 \h 5
\l "_Tc5880" 【考点三】因数与倍数的特征 PAGEREF _Tc5880 \h 5
\l "_Tc5766" 【考点四】因数与倍数的生活实际应用 PAGEREF _Tc5766 \h 5
\l "_Tc7550" 【第二篇】2、5、3的倍数的特征
\l "_Tc20640" 【知识总览】 PAGEREF _Tc20640 \h 7
\l "_Tc5192" 【考点一】2、5的倍数特征 PAGEREF _Tc5192 \h 8
\l "_Tc21144" 【考点二】3的倍数特征 PAGEREF _Tc21144 \h 8
\l "_Tc23168" 【考点三】2、5、3的倍数特征组数 PAGEREF _Tc23168 \h 9
\l "_Tc7727" 【考点四】2、5、3的倍数的特征与生活实际应用 PAGEREF _Tc7727 \h 9
\l "_Tc5405" 【考点五】奇数与偶数 PAGEREF _Tc5405 \h 10
\l "_Tc11732" 【考点六】奇数与偶数的基本性质 PAGEREF _Tc11732 \h 10
\l "_Tc24794" 【考点七】连续偶数或奇数的和 PAGEREF _Tc24794 \h 11
\l "_Tc12087" 【考点八】倍数特征拓展 PAGEREF _Tc12087 \h 11
\l "_Tc12547" 【第三篇】质数与合数
\l "_Tc15205" 【知识总览】 PAGEREF _Tc15205 \h 13
\l "_Tc10650" 【考点一】质数与合数 PAGEREF _Tc10650 \h 13
\l "_Tc16607" 【考点二】质数的分解和组合 PAGEREF _Tc16607 \h 14
\l "_Tc30616" 【考点三】因数、倍数、质数、合数综合与猜数问题 PAGEREF _Tc30616 \h 14
\l "_Tc14150" 【考点四】质数的复杂应用 PAGEREF _Tc14150 \h 15
\l "_Tc95" 【考点五】分解质因数 PAGEREF _Tc95 \h 16
\l "_Tc12694" 【考点六】分解质因数再应用 PAGEREF _Tc12694 \h 16
\l "_Tc18842" 【考点七】分解质因数与生活实际应用 PAGEREF _Tc18842 \h 17
【第一篇】因数与倍数
【知识总览】
一、因数与倍数。
1.因数与倍数的定义：
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。
例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。
2.三点注意：
（1）因数与倍数是相互依存的：
在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。
（2）0不作为研究因数与倍数的对象。
倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。
二、求一个数的因数。
1.求一个数的因数的方法：
列乘法或除法算式。
2.因数的特征：
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
三、求一个数的倍数。
1.求一个数的倍数的方法：
用这个数依次乘非0自然数。
2.倍数的特征：
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。
【考点一】因数与倍数的定义。
【典型例题】
在除法24÷8两个数中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。
【对应练习】
1．30÷5＝6，5是30的( )，30是5的( )。
2．63÷9＝( )，我们就说63是( )和9的( )，( )和9是63的( )，除了( )和9外，63的因数还有( )。
【考点二】求因数或倍数。
【典型例题】
12的因数有( )，50以内16的倍数有( )。
【对应练习】
1．27的因数有( )；一个非零整数的倍数个数有( )。
2．9的全部因数有( )；50以内（不包括50）10的倍数有( )。
【考点三】因数与倍数的特征。
【典型例题】
一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。
【对应练习】
1．因为8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，8×4＝32，…所以8的倍数有( )个，由此可见，一个数的倍数的个数是( )的，其中最小的倍数是( )。
2．《红楼梦》是我国四大名著之一，书中描写了金陵十二钗，“12”的最大因数是( )，最小倍数是( )。
【考点四】因数与倍数的生活实际应用。
【典型例题】
把20个月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多（每盒最少2个），有几种装法？每种装法各需要几个盒子？
【对应练习】
1．筐里有30个苹果，将它们全部取出来，分成若干堆（堆数大于1，而小于30），使每堆中苹果的个数相等，有几种分法？
2．小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？
【第二篇】2、5、3的倍数的特征
【知识总览】
一、2、5的倍数特征。
个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
2.个位上是0或5的数是5的倍数。
二、3的倍数特征。
1. 3的倍数的特征：
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2. 2、5、3倍数特征之间的联系：
三、奇数与偶数。
1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。
2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。
3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。
4.自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。
四、奇数与偶数的基本性质。
【考点一】2、5的倍数特征。
【典型例题1】其一。
分一分。
【典型例题2】其二。
有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是2的倍数，□里最大可以填( )。
【对应练习】
1．同时是2和5的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )，最小三位数是( )。
2．要使16□既是2的倍数，又是5的倍数，□内应该填( )。
【考点二】3的倍数特征。
【典型例题】
要使三位数65□是3的倍数，□里最大能填( )。
【对应练习】
1．同时是2、3、5的倍数的最小三位数是( )。
2．在0、1、7、8中选3个数字，组成一个三位数，它既是2和5的倍数，而且还是3的倍数，那么这个数最大是( )。
【考点三】2、5、3的倍数特征组数。
【典型例题】
从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。
2的倍数有：( )
3的倍数有：( )
5的倍数有：( )
既是2的倍数又是3的倍数有：( )
既是2的倍数又是5的倍数有：( )
既是3的倍数又是5的倍数有：( )
既是2、3的倍数，又是5的倍数有：( )
【对应练习】
按要求写数
用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。
（1）是2的倍数，并且最大：( )
（2）是5的倍数并且最小：( )
（3）既是偶数，又是3的倍数：( )
（4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：( )
（5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：( )
【考点四】2、5、3的倍数的特征与生活实际应用。
【典型例题】
1．妈妈只买了如图中的这一种饮料，给了售货员100元，找回24元。找的钱对吗？为什么？
2．现在有34名学生分组玩游戏，至少再来几名学生就可以正好3人一组？
【对应练习】
1．晓晓在零售店买了一些纯牛奶和果汁，已知纯牛奶5元/瓶，果汁10元/瓶。晓晓给了100元，售货员阿姨找回18元。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？
2．（探究题）红色教育润童心，红色基因共传承。五（1）班同学在班主任老师的带领下去参观红色教育基地，为了安全，要把全班同学进行分组。如果6人一组，会剩下3人；如果3人一组，人数会正好吗？
【考点五】奇数与偶数。
【典型例题】
1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。
【对应练习】
1. 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。
2. 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。
【考点六】奇数与偶数的基本性质。
【典型例题】
观察下面两组数，回答问题。
（1）长方形中的数都是( )，三角形中的数都是( )。
（2）从长方形中任取两个数相加，和是( )。
（3）从三角形中任取两个数相加，和是( )。
（4）分别从长方形和三角形中各取一个数相加，和是( )。
我们发现：奇数＋奇数＝( ) 偶数＋偶数＝( )
奇数＋偶数＝( )
【对应练习】
1．1＋2＋3＋4＋…＋19的和是( )数，1×2×3×4×…×19的积是( )数。（填“奇数”或“偶数”）
2．五（1）班有45名同学，男生的人数是奇数，女生的人数是( )；如果每人交给老师的作业本的个数是奇数，作业本的总数是( )。（填偶数、奇数）
【考点七】连续偶数或奇数的和。
【典型例题】
如果三个连续偶数的和是66，那么这三个偶数是( )、( )和( )。
【对应练习】
1．三个连续偶数的和是18，这三个连续偶数的积是( )。
2．有6个连续奇数的和是156，这6个奇数中最大的数与最小的数的差是( )。
【考点八】倍数特征拓展。
【典型例题1】其一。
在3□2□中，□里可以填人适当的数字，使组成的四位数既是3的倍数又是5的倍数，这个数最大是多少？
【典型例题2】其二。
一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？
【对应练习】
1. 32□□0是有两个相同数字的五位数，它同时是2、3和5的倍数，这个五位数最小是多少？
2. 已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。
【第三篇】质数与合数
【知识总览】
一、质数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。
例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。
注意：
①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。
②最小的质数是2，没有最大的质数。
二、合数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。
注意：
①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。
②最小的合数是4，没有最大的合数。
③0、1既不是质数，也不是合数。
三、分解质因数。
1.分解质因数：
指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。
例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。
2.注意：
①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径；
②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。
【考点一】质数与合数。
【典型例题】
将下面各数分别填入指定的圈里。
【对应练习】
1．30的因数中质数有( )个，合数有( )个，奇数有( )个。
2．在2、3、5、9、10、22、17、54、83中，偶数有( )，奇数有( )，合数有( )，质数有( )。
【考点二】质数的分解和组合。
【典型例题】
在（ ）里填上合适的质数。
12＝( )＋( ) 21＝( )－( )
【对应练习】
1．在括号里填上不同的质数。
36＝( )＋( )＝( )＋( )
14＝( )＋( )＝( )×( )
2．在括号内填入适当的质数。
(1)8＝( )＋( )。
(2)10＝( )＋( )。
(3)14＝( )＋( )＋( )。
(4)30＝( )×( )×( )。
【考点三】因数、倍数、质数、合数综合与猜数问题。
【典型例题】
小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？
【对应练习】
1. 东东家电话号码前三位是521，第四位是最小的质数，第五位是最小的偶数，第六位是最小的奇数，末尾数字既是合数又是奇数，东东家电话号码是多少？
2. “天宫二号”空间实验室发射的年份是一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的偶数，十位上的数字比最小的质数小1，个位上的数字比最小的合数大2。“天宫二号”是哪一年发射的？
【考点四】质数的复杂应用。
【典型例题1】
两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？
【典型例题2】
乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？
【对应练习】
1. 两个质数的积是202，这两个质数的和是多少？
2. 用长度是50厘米的铁丝围成一个长方形，长方形的长和宽均为整厘米数，且均为质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？
【考点五】分解质因数。
【典型例题】
把下列各数分解质因数。
111 375
【对应练习】
1. 把下面各数分解质因数。
45 28 104
2. 把下面的各数分解质因数。
36 57 105
【考点六】分解质因数再应用。
【典型例题1】
已知A＝2×2×3×3，那么A的因数一共有（ ）个。
A．4B．6C．8D．9
【典型例题2】
三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
【对应练习】
1. 一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有（ ）种可能。
A．2B．3C．4D．6
2. 四个连续自然数的乘积是360，这四个自然数分别是多少？
【考点七】分解质因数与生活实际应用。
【典型例题1】其一。
盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？
【典型例题2】其二。
有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？
【对应练习】
1．马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？
2．3月12日植树节，李老师带五（2）班的同学参加植树活动，五（2）班的同学能平均分成4组进行活动。如果李老师和同学们每人植树一样多，他们一共植树539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？
“深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。”
“Deep glimpse f their heart,and then find all the miracles in yurself.”

2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列
期中复习专题二：因数和倍数篇【三大篇目】
专题解读
本专题是期中复习专题二：因数和倍数篇。本部分内容包括因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数以及2、5、3倍数特征等，考点涵盖广泛，其中部分内容较为复杂，建议作为期中复习核心内容进行讲解，一共划分为三大篇目，欢迎使用。
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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1757" 【第一篇】因数与倍数
\l "_Tc9149" 【知识总览】 PAGEREF _Tc9149 \h 4
\l "_Tc13797" 【考点一】因数与倍数的定义 PAGEREF _Tc13797 \h 4
\l "_Tc17161" 【考点二】求因数或倍数 PAGEREF _Tc17161 \h 5
\l "_Tc5880" 【考点三】因数与倍数的特征 PAGEREF _Tc5880 \h 6
\l "_Tc5766" 【考点四】因数与倍数的生活实际应用 PAGEREF _Tc5766 \h 7
\l "_Tc7550" 【第二篇】2、5、3的倍数的特征
\l "_Tc20640" 【知识总览】 PAGEREF _Tc20640 \h 10
\l "_Tc5192" 【考点一】2、5的倍数特征 PAGEREF _Tc5192 \h 11
\l "_Tc21144" 【考点二】3的倍数特征 PAGEREF _Tc21144 \h 12
\l "_Tc23168" 【考点三】2、5、3的倍数特征组数 PAGEREF _Tc23168 \h 13
\l "_Tc7727" 【考点四】2、5、3的倍数的特征与生活实际应用 PAGEREF _Tc7727 \h 14
\l "_Tc5405" 【考点五】奇数与偶数 PAGEREF _Tc5405 \h 16
\l "_Tc11732" 【考点六】奇数与偶数的基本性质 PAGEREF _Tc11732 \h 16
\l "_Tc24794" 【考点七】连续偶数或奇数的和 PAGEREF _Tc24794 \h 18
\l "_Tc12087" 【考点八】倍数特征拓展 PAGEREF _Tc12087 \h 20
\l "_Tc12547" 【第三篇】质数与合数
\l "_Tc15205" 【知识总览】 PAGEREF _Tc15205 \h 21
\l "_Tc10650" 【考点一】质数与合数 PAGEREF _Tc10650 \h 21
\l "_Tc16607" 【考点二】质数的分解和组合 PAGEREF _Tc16607 \h 23
\l "_Tc30616" 【考点三】因数、倍数、质数、合数综合与猜数问题 PAGEREF _Tc30616 \h 24
\l "_Tc14150" 【考点四】质数的复杂应用 PAGEREF _Tc14150 \h 25
\l "_Tc95" 【考点五】分解质因数 PAGEREF _Tc95 \h 26
\l "_Tc12694" 【考点六】分解质因数再应用 PAGEREF _Tc12694 \h 27
\l "_Tc18842" 【考点七】分解质因数与生活实际应用 PAGEREF _Tc18842 \h 28
【第一篇】因数与倍数
【知识总览】
一、因数与倍数。
1.因数与倍数的定义：
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。
例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。
2.三点注意：
（1）因数与倍数是相互依存的：
在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。
（2）0不作为研究因数与倍数的对象。
倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。
二、求一个数的因数。
1.求一个数的因数的方法：
列乘法或除法算式。
2.因数的特征：
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
三、求一个数的倍数。
1.求一个数的倍数的方法：
用这个数依次乘非0自然数。
2.倍数的特征：
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。
【考点一】因数与倍数的定义。
【典型例题】
在除法24÷8两个数中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。
【答案】 8 24 24 8
【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，据此解答。
【详解】再除法24÷8两个数中，8是24的因数，24是8的倍数。
【对应练习】
1．30÷5＝6，5是30的( )，30是5的( )。
【答案】 因数 倍数
【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
【详解】30÷5＝6，则5是30的（因数），30是5的（倍数）。
2．63÷9＝( )，我们就说63是( )和9的( )，( )和9是63的( )，除了( )和9外，63的因数还有( )。
【答案】 7 7 倍数 7 因数 7 1、3、21、63
【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；列除法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出以这个数为被除数的所有除法算式，除法算式中的除数和商就是这个数的因数。
【详解】
63÷9＝7，我们就说63是7和9的倍数，7和9是63的因数，除了7和9外，63的因数还有1、3、21、63。
【考点二】求因数或倍数。
【典型例题】
12的因数有( )，50以内16的倍数有( )。
【答案】 1、2、3、4、6、12 16、32、48
【分析】列乘法算式，把这个数写成两个自然数相乘的形式，算式中每个自然数都是该数的因数；求一个数的倍数直接乘自然数，从这个数开始，依次乘上1、2、3、4等自然数。
【详解】12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4；
16×1＝16，16×2＝32，16×3＝48；
所以12的因数有1、2、3、4、6、12；50以内16的倍数有16、32、48。
【对应练习】
1．27的因数有( )；一个非零整数的倍数个数有( )。
【答案】 1，3，9，27 无数个
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；
一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
【详解】27的因数有1，3，9，27；
一个非零整数的倍数个数有无数个。
2．9的全部因数有( )；50以内（不包括50）10的倍数有( )。
【答案】 1，3，9 10，20，30，40
【分析】
（1）9的因数：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是9的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是9的因数。
（2）10的倍数：根据倍数的求法，用1，2，3…去乘10即可。
【详解】（1）9＝1×9＝3×3，所以9的因数有1、3、9。
（2）10×1＝10，10×2＝20，10×3＝30，10×4＝40，所以50以内（不包括50）10的倍数有10、20、30、40。
即，9的全部因数有1、3、9；50以内（不包括50）10的倍数有10、20、30、40。
【考点三】因数与倍数的特征。
【典型例题】
一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。
【答案】 8 24
【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答即可。
【详解】24的最大因数是24，8的最小倍数是8，24÷8＝3，即24是8的倍数，8是24的因数。所以一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是8，最大是24。
【对应练习】
1．因为8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，8×4＝32，…所以8的倍数有( )个，由此可见，一个数的倍数的个数是( )的，其中最小的倍数是( )。
【答案】 无数 无限 它本身
【分析】一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
【详解】因为8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，8×4＝32，…所以8的倍数有无数个，由此可见，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
2．《红楼梦》是我国四大名著之一，书中描写了金陵十二钗，“12”的最大因数是( )，最小倍数是( )。
【答案】 12 12
【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是这个数本身，一个数因数的个数是有限的；一个数的最小倍数是这个数本身，没有最大倍数，一个数倍数的个数是无限的，据此解答。
【详解】分析可知，“12”的最大因数是12，最小倍数是12。
【点睛】熟记一个数的最大因数和最小倍数是这个数本身是解答题目的关键。
【考点四】因数与倍数的生活实际应用。
【典型例题】
把20个月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多（每盒最少2个），有几种装法？每种装法各需要几个盒子？
【答案】5种；见详解
【分析】
先列举出20的所有因数，这些因数就是每盒装月饼的个数，结合“每盒最少2个”的要求，排除每盒装1个的装法，进而得出不同的装法，据此解答。
【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20；
每盒最少2个，装法有：
①每盒装2个，装10盒；
②每盒装4个，装5盒；
③每盒装5个，装4盒；
④每盒装10个，装2盒；
⑤每盒装20个，装1盒；
一共有5种装法。
答：有5种装法，分别是①每盒装2个，装10盒；②每盒装4个，装5盒；③每盒装5个，装4盒；④每盒装10个，装2盒；⑤每盒装20个，装1盒。
【对应练习】
1．筐里有30个苹果，将它们全部取出来，分成若干堆（堆数大于1，而小于30），使每堆中苹果的个数相等，有几种分法？
【答案】6种
【分析】找出30的因数就可以，但是要把1和30去掉，因为堆数大于1，而小于30。
【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
所以每堆2个苹果，分15堆；
每堆3个苹果，分10堆；
每堆5个苹果，分6堆；
每堆6个苹果，分5堆；
每堆10个苹果，分3堆；
每堆15个苹果，分2堆。
答：有6种分法。
【点睛】考查一个数的因数是多少。
2．小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？
【答案】小强：14岁；爸爸：42岁
【分析】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小明年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小明的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小明的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小明的年龄。
【详解】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小明今年14岁。
答：爸爸今年42岁，小明今年14岁。
【第二篇】2、5、3的倍数的特征
【知识总览】
一、2、5的倍数特征。
个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
2.个位上是0或5的数是5的倍数。
二、3的倍数特征。
1. 3的倍数的特征：
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2. 2、5、3倍数特征之间的联系：
三、奇数与偶数。
1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。
2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。
3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。
4.自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。
四、奇数与偶数的基本性质。
【考点一】2、5的倍数特征。
【典型例题1】其一。
分一分。
解析：
根据分析可得：
【典型例题2】其二。
有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是2的倍数，□里最大可以填( )。
解析：0；8
【对应练习】
1．同时是2和5的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )，最小三位数是( )。
【答案】 10 90 100
【分析】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。
【详解】同时是2和5的倍数的最小两位数是10，最大两位数是90，最小三位数是100。
2．要使16□既是2的倍数，又是5的倍数，□内应该填( )。
【答案】0
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数；2、5的倍数特征：个位上是0的数；据此解答。
【详解】由分析可得：要使16□既是2的倍数，又是5的倍数，□内应该填0。
【考点二】3的倍数特征。
【典型例题】
要使三位数65□是3的倍数，□里最大能填( )。
【答案】7
【分析】3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数；据此解答。
【详解】□内填9；6＋5＋9＝20，20不能被3整数，不是3的倍数，□内最大不能填9；
□内填8；6＋5＋8＝19；19不能被3整除，不是3的倍数，□内最大不能填8；
□内填7；6＋5＋7＝18；18能被3整除，是3的倍数，□内最大填7。
要使三位数65□是3的倍数，□里最大能填7。
【对应练习】
1．同时是2、3、5的倍数的最小三位数是( )。
【答案】120
【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。最小的三位数，则百位上的数字是1，3的最小倍数是3，那么十位上的数字最小是2，据此作答。
【详解】由分析可知 ，这个数的百位数字是1，个位数字是0，十位数字是2，所以同时是2、3、5的倍数的最小三位数是120。
2．在0、1、7、8中选3个数字，组成一个三位数，它既是2和5的倍数，而且还是3的倍数，那么这个数最大是( )。
【答案】870
【分析】根据2，3，5倍数的特征可知：个位上是0的数同时是2和5的倍数，所以把0放在个位就可以满足是2和5的倍数，再根据3的倍数特征：各个数位上的和是3的倍数的数就是3的倍数，要使这个三位数最多，就要选7和8，因为0＋7＋8＝15，15是3的倍数，要求最大只要把8放在百位，7放在十位即可，据此求出。
【详解】0放在个位就可以满足是2和5的倍数，
在0、1、7、8中选3个数字，组成一个三位数，它既是2和5的倍数，而且还是3的倍数，那么这个数最大是870。
【考点三】2、5、3的倍数特征组数。
【典型例题】
从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。
2的倍数有：( )
3的倍数有：( )
5的倍数有：( )
既是2的倍数又是3的倍数有：( )
既是2的倍数又是5的倍数有：( )
既是3的倍数又是5的倍数有：( )
既是2、3的倍数，又是5的倍数有：( )
解析：
2的倍数有：502、702、750、720、270、570；
3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207；
5的倍数有：270、720、570、750、705、205；
既是2的倍数又是3的倍数有：270，720、750、702、570；
既是2的倍数又是5的倍数有：270，720、750、570，250，520；
既是3的倍数又是5的倍数有：270，720，570，750；
既是2、3的倍数，又是5的倍数有270、720、750、570；
【对应练习】
按要求写数
用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。
（1）是2的倍数，并且最大：( )
（2）是5的倍数并且最小：( )
（3）既是偶数，又是3的倍数：( )
（4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：( )
（5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：( )
解析：
（1）是2的倍数，并且最大：854
（2）是5的倍数并且最小：405
（3）既是偶数，又是3的倍数：450、540、480、840、504、804、408
（4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：480
（5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：405
【考点四】2、5、3的倍数的特征与生活实际应用。
【典型例题】
1．妈妈只买了如图中的这一种饮料，给了售货员100元，找回24元。找的钱对吗？为什么？
【答案】不对；见详解
【分析】
饮料单价是5元，那么只买这种饮料，需要花的钱数是5的倍数。妈妈给了售货员100元，那么找回的钱数也应是5的倍数。据此解题。
【详解】答：不对；因为每瓶饮料5元，妈妈只买了一种饮料，所以所花的钱数应该是5的倍数，钱数的末尾应该是0或5，找回的钱数末尾也应该是0或5，不会是4，所以找错了。
2．现在有34名学生分组玩游戏，至少再来几名学生就可以正好3人一组？
【答案】2名
【分析】要想3人一组，则人数是3的倍数，根据3的倍数特点：各个数位数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数，3＋4＝7，7至少要加2得9才是3的倍数，据此解答即可。
【详解】3＋4＝7
9－7＝2
答：至少再来2名学生就可以正好是3人一组。
【对应练习】
1．晓晓在零售店买了一些纯牛奶和果汁，已知纯牛奶5元/瓶，果汁10元/瓶。晓晓给了100元，售货员阿姨找回18元。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？
【答案】不对；理由见详解
【分析】纯牛奶5元/瓶，所以纯牛奶的总价是5的倍数，个位上是0或5；果汁10元/瓶，所以果汁的总价是整十数，合起来的总价个位上应该是0或者5。据此解答。
【详解】通过分析可得：售货员阿姨找回的钱不对。因为纯牛奶的总价个位上应是0或5，果汁的总价个位上是0，则合起来的总价个位上应该是0或者5。用100减去个位上是0或5的数，应找回的钱的个位上也应该是0或5。所以阿姨找回18元是不对的。
2．（探究题）红色教育润童心，红色基因共传承。五（1）班同学在班主任老师的带领下去参观红色教育基地，为了安全，要把全班同学进行分组。如果6人一组，会剩下3人；如果3人一组，人数会正好吗？
【答案】会正好
【分析】
根据题意可设一共分x组，则全班人数有6x＋3人，变换式子可得6x＋3＝3×（2x＋1），根据3的倍数关系，即可解答。
【详解】设一共分x组，则全班有6x＋3人。
6x＋3＝3×（2x＋1）
全班人数是3的倍数。
所以如果3人一组，人数会正好。
答：人数会正好。
【考点五】奇数与偶数。
【典型例题】
1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。
【答案】 19 2
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍的数叫做奇数。根据偶数、奇数的意义解答即可。
【详解】1～20中奇数中1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，其中最大的奇数是19；2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，其中最小的偶数是2。
【点睛】整数按是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类。也就是说，一个整数，不是奇数就是偶数。
【对应练习】
1. 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。
【答案】 13、39、65、91 26、52、78
【分析】根据题意，首先写出100以内13的倍数，然后根据在自然数中，能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数，据此意义进行分析填空即可。
【详解】100以内13的倍数有：13、26、39、52、65、78、91。则奇数：13、39、65、91；偶数：26、52、78。
【点睛】明确奇数与偶数的意义是完成本题的关键。
2. 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。
【答案】 99 偶数
【分析】不能被2整除的整数叫奇数，能被2整除的整数叫偶数；100是偶数，100以内最大的奇数就是比100少1的数；1～100中有50个奇数，50个偶数，偶数个奇数相加的和是偶数，据此解答。
【详解】根据分析，100以内最大的奇数是99；1～100中所有奇数的和是偶数。
【点睛】本题主要考查奇数和偶数的认识，注意平时基础知识的积累。
【考点六】奇数与偶数的基本性质。
【典型例题】
观察下面两组数，回答问题。
（1）长方形中的数都是( )，三角形中的数都是( )。
（2）从长方形中任取两个数相加，和是( )。
（3）从三角形中任取两个数相加，和是( )。
（4）分别从长方形和三角形中各取一个数相加，和是( )。
我们发现：奇数＋奇数＝( ) 偶数＋偶数＝( )
奇数＋偶数＝( )
【答案】 奇数 偶数 偶数 偶数 奇数 偶数 偶数 奇数
【分析】能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数。可通过计算得出结果，进而发现规律。据此可得出答案。
【详解】（1）长方形中的数都不能被2整除，是奇数；三角形中的数都能被2整除，是偶数。
（2）从长方形中任取两个数相加，如：17＋35＝52，99＋71＝170，59＋65＝124，41＋103＝144……得到的和都是偶数。即奇数＋奇数＝偶数，则和是偶数。
（3）从三角形中任取两个数相加，如：50＋42＝92，88＋46＝134，104＋62＝166，216＋34＝250……得到的和都是偶数。即偶数＋偶数＝偶数，则和是偶数。
（4）从长方形、三角形中各取一个数相加，如：如：17＋50＝67，99＋88＝187，59＋62＝121，103＋216＝319……得到的和都是奇数。即奇数＋偶数＝奇数，则和是奇数。
可以发现规律：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。
【对应练习】
1．1＋2＋3＋4＋…＋19的和是( )数，1×2×3×4×…×19的积是( )数。（填“奇数”或“偶数”）
【答案】 偶 偶
【分析】奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数个奇数的和是偶数，奇数×偶数＝偶数，根据奇数、偶数的运算性质解答即可。
【详解】1＋2＋3＋4＋…＋19的加数有10个奇数，9个偶数，10个奇数的和是偶数，偶数＋偶数＝偶数，1＋2＋3＋4＋…＋19的和是偶数，1×2×3×4×…×19的积是偶数。
【点睛】关键是掌握奇数和偶数的运算性质。
2．五（1）班有45名同学，男生的人数是奇数，女生的人数是( )；如果每人交给老师的作业本的个数是奇数，作业本的总数是( )。（填偶数、奇数）
【答案】 偶数 奇数
【分析】奇数－奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，据此分析。
【详解】全班人数－男生人数＝女生人数，全班人数45是奇数，男生的人数是奇数，所以女生的人数是偶数；
每人交的本数×总人数＝作业本总数，每人交给老师的作业本的个数是奇数，总人数是奇数，所以作业本的总数是奇数。
【点睛】关键是掌握奇数和偶数的运算性质。
【考点七】连续偶数或奇数的和。
【典型例题】
如果三个连续偶数的和是66，那么这三个偶数是( )、( )和( )。
【答案】 20 22 24
【分析】根据偶数的含义可知，相邻的偶数相差2，已知三个连续偶数的和是66，首先求出这三个连续偶数的平均数即中间的偶数，然后用平均数分别减2、加2即可求出另外两个偶数，据此解答。
【详解】66÷3＝22
22－2＝20
22＋2＝24
因此这三个连续的偶数分别是20、22、24。
【点睛】理解偶数的意义，明确相邻的偶数相差2是解题的关键。
【对应练习】
1．三个连续偶数的和是18，这三个连续偶数的积是( )。
【答案】192
【分析】相邻两个偶数的差为2，由此可设中间的偶数为n，则这三个连续的偶数为n－2， n，n＋2，这三个连续偶数的和为18，由此可得等量关系式：（n－2）＋n＋（n＋2）＝18，解此方程即能求出中间的数偶数是多少，近而求得另外两个偶数，最后求出它们的积。
【详解】解：设中间的偶数为n，则三个连续偶数依次为n－2，n，n＋2。
（n－2）＋n＋（n＋2）＝18
3n＝18
3n÷3＝18÷3
n＝6
（6－2）×6×（6＋2）
＝4×6×8
＝24×8
＝192
则这三个连续偶数的积是192。
【点睛】根据自然数中偶数的排列规律列出等量关系式是完成本题的关键。
2．有6个连续奇数的和是156，这6个奇数中最大的数与最小的数的差是( )。
【答案】10
【分析】相邻的两个奇数相差2，设这6个连续奇数分别是a，a＋2，a＋4，a＋6，a＋8，a＋10。最大的奇数是a＋10，最小的奇数是a，二者相减可求出这6个奇数中最大的数与最小的数的差。
【详解】设最小的奇数是a，则最大的奇数是a＋10。
a＋10－a
＝a－a＋10
＝0＋10
＝10
所以，这6个奇数中最大的数与最小的数的差是10。
【点睛】相邻的两个奇数或偶数都可以写成a和a＋2的形式。
【考点八】倍数特征拓展。
【典型例题1】其一。
在3□2□中，□里可以填人适当的数字，使组成的四位数既是3的倍数又是5的倍数，这个数最大是多少？
解析：
3□2□=3825
答：这个数最大是3825。
【典型例题2】其二。
一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？
解析：这个自然数分别除以3、5、7余数都为2，那么这个数减去2就是3、5、7的倍数，即：
这个数是3、5、7的最小公倍数再加上2。
[3、5、7]=105
105+2=107
答：这个数最小是107。
【对应练习】
1. 32□□0是有两个相同数字的五位数，它同时是2、3和5的倍数，这个五位数最小是多少？
解析：32010
2. 已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。
解析：
[12，8]=24
24×5+3=123（人）
答：略。
【第三篇】质数与合数
【知识总览】
一、质数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。
例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。
注意：
①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。
②最小的质数是2，没有最大的质数。
二、合数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。
注意：
①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。
②最小的合数是4，没有最大的合数。
③0、1既不是质数，也不是合数。
三、分解质因数。
1.分解质因数：
指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。
例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。
2.注意：
①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径；
②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。
【考点一】质数与合数。
【典型例题】
将下面各数分别填入指定的圈里。
【答案】见详解
【分析】奇数：不是2的倍数的数是奇数；偶数：是2的倍数的数是偶数；合数：一个数的因数除了1和它本身两个因数外，还有别的因数的数是合数；质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数是质数，据此即可解答。
【详解】
【对应练习】
1．30的因数中质数有( )个，合数有( )个，奇数有( )个。
【答案】 3 4 4
【分析】根据找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；据此找出30的因数，再结合奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数。据此解答即可。
【详解】30÷1＝30
30÷2＝15
30÷3＝10
30÷5＝6
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，其中质数有：2、3、5共3个，合数有：6、10、15、30共4个，奇数有：1、3、5、15共4个。
2．在2、3、5、9、10、22、17、54、83中，偶数有( )，奇数有( )，合数有( )，质数有( )。
【答案】 2、10、22、54 3、5、9、17、83 9、10、22、54 2、3、5、17、83
【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
【详解】在2、3、5、9、10、22、17、54、83中，偶数有2、10、22、54，奇数有3、5、9、17、83，合数有9、10、22、54，质数有2、3、5、17、83。
【点睛】本题关键是理解奇数、偶数、质数、合数的分类标准。
【考点二】质数的分解和组合。
【典型例题】
在（ ）里填上合适的质数。
12＝( )＋( ) 21＝( )－( )
【答案】 5 7 23 2
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。可以写出30以内所有的质数，再根据算式结果找出符合要求的两个质数即可。
【详解】30以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29；
其中5＋7＝12，23－2＝21可满足要求。
所以12＝5＋7，21＝23－2。
【点睛】此题的解题关键是掌握理解质数的意义并熟练运用。
【对应练习】
1．在括号里填上不同的质数。
36＝( )＋( )＝( )＋( )
14＝( )＋( )＝( )×( )
【答案】 17 19 13 23 3 11 2 7
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，先列举出36以内和14以内的所有质数，再找出符合条件的质数填入括号中，据此解答。
【详解】36以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31；
14以内的质数：2，3，5，7，11，13；
36＝17＋19＝13＋23
14＝3＋11＝2×7
【点睛】掌握质数的意义并准确写出36以内和14以内的所有质数是解答题目的关键。
2．在括号内填入适当的质数。
(1)8＝( )＋( )。
(2)10＝( )＋( )。
(3)14＝( )＋( )＋( )。
(4)30＝( )×( )×( )。
【答案】(1) 3 5
(2) 3 7
(3) 2 5 7
(4) 2 3 5
【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。
【详解】（1）8＝3＋5
（2）10＝3＋7
（3）14＝2＋5＋7
（4）30＝2×3×5
【考点三】因数、倍数、质数、合数综合与猜数问题。
【典型例题】
小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？
解析：249119
【对应练习】
1. 东东家电话号码前三位是521，第四位是最小的质数，第五位是最小的偶数，第六位是最小的奇数，末尾数字既是合数又是奇数，东东家电话号码是多少？
解析：5212019
2. “天宫二号”空间实验室发射的年份是一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的偶数，十位上的数字比最小的质数小1，个位上的数字比最小的合数大2。“天宫二号”是哪一年发射的？
解析：2016年
【考点四】质数的复杂应用。
【典型例题1】
两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？
解析：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个质数的和是奇数，所以，一定有一个质数是偶数，偶数中只有2是质数。
99=2+97
97×2=194
答：这两个质数的乘积是 194。
【典型例题2】
乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？
【答案】77或65平方分米
【分析】长方形周长÷2＝长与宽的和，再结合除了1和它本身以外不在有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。
【详解】36÷2＝18（分米）
18＝11＋7＝13＋5
11×7＝77（平方分米）
13×5＝65（平方分米）
答：这幅山水画的面积可能是77或65平方分米。
【对应练习】
1. 两个质数的积是202，这两个质数的和是多少？
解析：由于两个质数的积是202，因此这两个质数不可以都是奇数，所以必有一个是2，可得：
所以这两个质数的和是：
答：这两个质数的和是103。
2. 用长度是50厘米的铁丝围成一个长方形，长方形的长和宽均为整厘米数，且均为质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？
【答案】46平方厘米
【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2；50÷2＝25厘米；把25分成两个整厘米数，且是质数，25＝2＋23，即长是23厘米，宽是2厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】50÷2＝25（厘米）
25＝2＋23
即长方形的长为23厘米，宽为2厘米。
2×23＝46（平方厘米）
答：这个长方形的面积是46平方厘米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用长方形周长公式、面积公式以及质数的意义是解答本题的关键。
【考点五】分解质因数。
【典型例题】
把下列各数分解质因数。
111 375
【答案】111＝3×37；375＝3×5×5×5
【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般从简单的质数试着分解。
【详解】111＝3×37
375＝3×5×5×5
【对应练习】
1. 把下面各数分解质因数。
45 28 104
【答案】45＝3×3×5
28＝2×2×7
104＝2×2×2×13
【分析】分解质因数就是把这个数分解成几个质数相乘的式子。
【详解】45的质因数有3，5所以45＝3×3×5
28的质因数有2，7所以28＝2×2×7
104的质因数有2，13所以104＝2×2×2×13
2. 把下面的各数分解质因数。
36 57 105
【答案】36＝2×2×3×3；57＝3×19；105＝3×5×7
【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。
【详解】
36＝2×2×3×3；
57＝3×19；
105＝3×5×7
【考点六】分解质因数再应用。
【典型例题1】
已知A＝2×2×3×3，那么A的因数一共有（ ）个。
A．4B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】根据A＝2×2×3×3，求出A的值，再根据求一个数因数的方法，写出A所有的因数，最后数出因数的个数即可。
【详解】A＝2×2×3×3＝36
36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；共有9个因数。
故答案为：D
【点睛】掌握找一个数的因数的方法是解题的关键。
【典型例题2】
三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
解析：210分解质因数：210=2×3×5×7
可知这三个数是5、6和7。
【对应练习】
1. 一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有（ ）种可能。
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先找出45的因数，再找出45的因数里面有几个是3的倍数。
【详解】45＝1×45＝3×15＝5×9
45的因数有1、45、3、15、5、9，其中45、3、15、9是3的倍数；
所以一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有4种可能。
故答案为：C
【点睛】此题是考查因数和倍数的意义，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。
2. 四个连续自然数的乘积是360，这四个自然数分别是多少？
解析：
360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×6
答：这四个连续的自然数分别是3，4，5，6。
【考点七】分解质因数与生活实际应用。
【典型例题1】其一。
盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？
解析：
48=2×2×2×2×3
不一次拿出可以分为以下4组：
48=2×24=3×16=4×12=6×8
答：有8种不同拿法，每次分别拿出2、3、4、6、8、12、16、24个。
【典型例题2】其二。
有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？
解析：先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。
【对应练习】
1．马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？
【答案】马超：10枚；刘涛：9枚；王阳：6枚
【分析】根据分解质因数的意义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式；把540分解质因数，再根据题意进行组合，即可得出三人分别购买邮票的枚数。
【详解】540＝2×2×3×3×3×5
化为：540＝（2×3）×（2×5）×（3×3）
540＝6×10×9
因为：
10－9＝1
9－6＝3
马超买的邮票枚数－刘涛买的邮票枚数＝1（枚）
刘涛买的邮票枚数－王阳买的邮票枚数＝3（枚）
所以马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票；王阳买了6枚邮票。
答：马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票，王阳买了6枚邮票。
【点睛】解答本题的关键是利用分解质因数的方法进行解答。
2．3月12日植树节，李老师带五（2）班的同学参加植树活动，五（2）班的同学能平均分成4组进行活动。如果李老师和同学们每人植树一样多，他们一共植树539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？
【答案】76人；7棵或48人；11棵
【分析】由李老师和学生每人植树一样多，可知：每人植树棵数×人数＝植树总棵数。每人植树棵数和人数都应是整数，将植树总棵数分解质因数，539＝7×7×11，写成两数相乘的形状有539＝7×77、539＝49×11、539＝539×1三种情况，又由于学生恰好分成4组，而77、49减1后能被4整除，据此解答即可。
【详解】因为：539＝7×7×11＝7×77＝49×11＝539×1，由于学生恰好平均分成4组，
所以，539＝7×（76＋1）＝（48＋1）×11，76和48都是4的倍数，
所以，当学生人数为76人时，每人植树7棵；当学生人数为48人时，每人植树11棵；
答：这个班的人数有两种情况，一种是有76名学生，平均每人植树7棵；另一种是有48人，平均每人植树11棵。
【点睛】解答本题的关键是把539分解质因数，找到能被4整除的数。