高考数学第二轮复习专题练习专题4.9 等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）（学生版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题4.9 等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）（学生版），共8页。试卷主要包含了等比数列的前n项和公式，等比数列前n项和的性质，数列求和的常用方法等内容，欢迎下载使用。

1．等比数列的前n项和公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为
=.
2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系
(1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点.
(2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常
数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点.
3．等比数列前n项和的性质
已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：
(1).
(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.
(3)若{}共有2n(n)项，则=q；
若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.
4．数列求和的常用方法
(1)公式法求和
①直接用等差、等比数列的求和公式.
②掌握一些常见的数列的前n项和公式.
(2)倒序相加法求和
如果一个数列{}中，与首、末两项“等距离”的两项,的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序
相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.
(3)错位相减法求和
错位相减法求和适用于型数列，其中、分别是等差数列和等比数列.
(4)裂项相消法求和
利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后
面剩两项，再就是通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等.
【题型1 求等比数列的通项公式】
【方法点拨】
根据所给条件，利用等比数列的前n项和，求解等比数列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比数列an中，a3=4，前三项之和S3=12，则an的通项公式为（ ）
A．an=16⋅-12n-1B．an=16⋅12n-1
C．an=4D．an=4或an=(-1)n-1⋅25-n
【变式1-1】（2022·安徽铜陵·高一期末）各项均为正数的等比数列an，其前n项和为Sn.若a2-a5=-78，S3=13，则数列an的通项公式为an=（ ）
A．2nB．2n-1C．3nD．3n-1
【变式1-2】（2022·湖南·高三阶段练习）设正项等比数列an的前n项和为Sn，若2S3=3a2+8a1,S8=2S7+2，则a2=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习）等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=
A．4n-1B．4nC．3nD．3n-1
【题型2 等比数列前n项和的性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合等比数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.
【例2】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则S9=（ ）
A．488 B．508 C．511 D．567
【变式2-1】（2022·全国·高二）已知等比数列an共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列an的所有项之和是（ ）
A．30B．60C．90D．120
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在m∈N*，满足S2mSm=9,a2mam=5m+1m-1，则数列an的公比为（ ）
A．-2B．2C．-3D．3
【题型3 求等比数列的前n项和】
【方法点拨】
根据条件，求出等比数列的基本量，得到首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，进行求解即可.
【例3】（2022·北京·高三期中）已知等比数列an中，a1=1，且a5+a8a2+a5=8，那么S5的值是（ ）.
A．15B．31C．63D．64
【变式3-1】（2022·天津·高二期末）已知等比数列an的前n项和为Sn，若an>0，公比q>1，a3+a5=20，a2a6=64，则S6=（ ）
A．31B．36C．48D．63
【变式3-2】（2022·河北高三阶段练习）设正项等比数列an的前n项和为Sn，若8a1=2S3-3a2,S2=a3-2，则S8=（ ）
A．510B．511C．1022D．1023
【变式3-3】（2022·四川·高三期中（理））已知等比数列{an}为递增数列，Sn是它的前n项和，若a3＝16，且a2与a4的等差中项为20，则Sn＝（ ）
A．2n-2B．2n＋2-4
C．4n＋1-4D．2n-2-1
【题型4 等比数列的应用】
【方法点拨】
对于等比数列有关的数学文化、实际问题，读懂其中蕴含的数学语言，建立合适的等比数列，利用等比数
列的通项公式、求和公式进行求解.
【例4】（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少16，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）
A．10×6868-58B．10×6768-58
C．80×6768-58D．10×6668-58
【变式4-1】（2022·四川省高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为14里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
【变式4-2】（2022·陕西·模拟预测（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（ ）
A．192里B．96里C．12里D．6里
【变式4-3】（2022·山东青岛·高二期中）集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前n次操作中共去掉的线段长度之和不小于2930，则n的最小值为（ ）
（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
A．9B．8C．7D．6
【题型5 等差、等比数列的综合应用】
根据具体条件，借助等差、等比数列的通项公式、性质、求和公式等进行转化求解即可.
【例5】（2022·四川·高三期中）已知等差数列an​和等比数列bn​满足a1=b1=1​，a2+a4=10​，b2b4=a5​.
(1)求an​的通项公式；
(2)求和：b1+b3+b5+⋯+b2n-1​.
【变式5-1】（2022·河北·高三阶段练习）已知在等比数列an中，a1+a2=4，且a1,a2+2,a3成等差数列，数列bn满足bn>0,b1=1，bn+12-bn2=2bn+1+bn.
(1)求an的通项公式；
(2)设cn=2bn-an，求数列cn的前n项和Tn.
【变式5-2】（2022·山西·高三期中）记等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，等比数列bn的公比为q(q>0)，已知a1=b2=4，q=23d，S9=9b4.
(1)求an，bn的通项公式；
(2)将an，bn中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列cn，求cn的前100项和.
【变式5-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a1+a3=6，a2+a4=10，各项均为正数的等比数列bn满足b1+b3=54，b2b4=116．
(1)求数列an与bn的通项公式；
(2)设cn=3an+54⋅bn，数列cn的前n项和为Tn，求Tn．
【题型6 数列的求和】
【方法点拨】
对于具体的数列求和问题，选择合适的数列求和方法，进行求解.
【例6】已知数列an的首项a1=1，且满足an+1+an=4×3nn∈N*.
(1)求证：an-3n是等比数列；
(2)求数列an的前n项和Sn.
【变式6-1】数列an的前n项和Sn满足Sn=2an-n．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn为等差数列，且b3=a2，b7=a3，求数列anbn的前n项Tn．
【变式6-2】（2022·安徽·高三阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn,a1=3,n-1Sn=nSn-1+n2-n(n≥2)．
(1)求数列an的通项公式；
(2)令bn=an2n，求数列bn的前n项和Tn．
【变式6-3】（2022·江苏·高二期中）已知数列an中，a1=1，a2=2，an+1=3an-2an-1n≥2,n∈N*.设bn=an+1-an.
(1)证明：数列bn是等比数列；
(2)设数列an的前n项的和为Sn，求Sn.
(3)设cn=an+11+bn⋅2+Sn，设数列cn的前n项和Tn，求证：Tn