高考数学第二轮复习专题练习专题4.11 数学归纳法（重难点题型精讲）（学生版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题4.11 数学归纳法（重难点题型精讲）（学生版），共8页。试卷主要包含了归纳法，数学归纳法，数学归纳法的重要结论及适用范围等内容，欢迎下载使用。

1．归纳法
由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想
的一种方法.
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.
2．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；
第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.
上述证明方法称为数学归纳法.
3．数学归纳法的重要结论及适用范围

【题型1 数学归纳法的证明步骤】
【方法点拨】
结合所给条件，根据数学归纳法的证明步骤，进行求解即可.
【例1】（2022·上海·高二专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-12+13-14+⋯+1n-1>21n+2+1n+4+⋯+12n时，若已假设n=k（k≥2，且k为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（ ）
A．n=k+1时不等式成立B．n=k+2时不等式成立
C．n=2k+2时不等式成立D．n=2k+2时不等式成立
【变式1-1】（2022·吉林·模拟预测（理））用数学归纳法证明1+a+a2+⋯+an+1=1-an+21-a,(a≠1)时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ）
A．1=1-a31-aB．1+a=1-a31-aC．1+a2=1-a31-aD．1+a+a2=1-a31-a
【变式1-2】（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)⋅⋯⋅(n+n)=2n⋅1⋅3⋅⋯⋅(2n-1) n∈N*，从k到k+1左端需要增乘的代数式为（ ）
A．2k+1B．22k+1
C．2k+1k+1D．2k+3k+1
【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：n+1n+2⋯n+n=2n⋅1⋅3⋯2n-1，（n为正整数）的过程中，从“k到k+1”左边需增乘的代数式为（ ）
A．2k+2B．2k+12k+2
C．2k+22k+1D．22k+1
【题型2 用数学归纳法证明恒等式】
【方法点拨】
数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命
题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题.
【例2】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×2+2×5+⋅⋅⋅+n3n-1=n2n+1（n∈N,n≥1）．
【变式2-1】（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：12+1+22+2+⋯+n2+n=13n(n+1)(n+2)（n为正整数）．
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).
【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×22+2×32+3×42+⋅⋅⋅+nn+12=nn+1123n2+11n+10，其中n∈N*.
【题型3 用数学归纳法证明不等式】
【方法点拨】
1.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行
证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻
求变量的取值范围.
2.在证明由n=k到n=k+1成立时，一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证
明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等.
【例3】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+12+13+…+12n≤12+n(n∈N*).
【变式3-1】（2021·全国·高二专题练习）求证：(1+13)(1+15)⋯(1+12n-1)>2n+12(n≥2,n∈N*).
【变式3-2】证明不等式1＋12＋13＋…＋1nn2n∈N*，恒成立.
【题型4 用数学归纳法证明几何问题】
【方法点拨】
用数学归纳法证明几何问题，关键是找出从n=k到n=k+1时图形的变化.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝12n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.
【变式4-1】（2022·江苏·高二课时练习）平面内有n(n≥2)条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数f(n)=n(n-1)2.
【变式4-2】（2022·全国·高二课时练习）平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2-n+2个区域．
【变式4-3】在平面直角坐标系中，函数f（x）＝1﹣x2在第一象限内的图象如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间[0，1]等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f（x）＝1﹣x2的图象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和．
（1）求ak的表达式；
（2）利用数学归纳法证明12+22+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)，并求出Sn的表达式；
【题型5 用数学归纳法证明整除问题】
【方法点拨】
用数学归纳法证明整除问题的关键是把n=k+1时的被除数分解成n=k时的式子及含有除数的式子的形式.
【例5】（2022·上海·高二专题练习）证明：当n∈N*时，fn=32n+2-8n-9能被64整除．
【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：n3+5nn∈N*能被哪些自然数整除？
【变式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）证明：n3+5n(n∈N*)能够被6整除．
【变式5-3】（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：n3+n+13+n+23能被9整除n∈N*.
【题型6 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】
【方法点拨】
在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，利用不完全归纳法得出结论，然
后利用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提，常见的等差数列、等比数列的有关结论是归纳的桥
梁，而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿.
【例6】（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an=Snn(2n-1)且a1=13(n∈N*).
(1)试求：a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式an；
(2)用数学归纳法加以证明.
【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列an的前n项和为Sn，a2=14，且an=12+1nSn-2n-1n∈N*.
（1）求S12、S24、S38；
（2）由（1）猜想数列Sn2n的通项公式，并用数学归纳法证明.
【变式6-2】已知数列{an}中，a1＝1且an+1=an2an+1．
（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
【变式6-3】（2022·广西·高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①Sn-1+an=n2(n∈N,n≥2)
②an+1=nan-2n2+3n+1(n∈N,n≥1)
已知数列an的前n项和为Sn，且S1=1，_______.
(1)求a2,a3,a4；
(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明.