数学选择性必修 第二册等比数列优秀第2课时教案设计

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4.3.2等比数列的前n项和（第2课时）
一、教学目标
(1)能灵活运用等比数列的前n项和公式进行求和，发展数学运算素养.
(2)能在实际的问题情境中，抽象出等比数列模型，并能运用等比数列的概念、通项公式和前n项和公式、性质解决一些综合问题，发展数学建模和逻辑推理素养.
二、重点难点
重点：等比数列的前n项和公式性质及其应用.
难点：等比数列模型的建立，等差数列与等比数列的前n项和公式的综合应用.
三、教学过程
环节一：复习旧知，导入新课
问题1：上节课我们学习了等比数列前n项和公式，你能写出公式并说明运用公式时需要注意什问题吗?
追问：等比数列的前n项和有怎样的函数特征？
3.错位相减法
环节二：学习新知
问题2：在学习了等差数列的前n项和公式后，我们研究了等差数列的前n项和的一些性质，你能类比等差数列前n项和的性质，得到等比数列前n项和的一些性质吗？
一般地，为等差数列的前n项和，则成等差数列，公差为，类比该性质，你能推广到等比数列么？
例3 已知等比数列的公比，前项和为．证明，，成等比数列，并求这个数列的公比．
思考1：不用分类讨论的方式能否证明该结论？
思考2：同学们想一想为什么题目条件中强调“公比”?
追问：你还能得到等比数列前n项和的哪些性质？
（2）你能否用等比数列中的，来表示？
环节三 例题练习，巩固理解
例1 如图4.3-2，正方形的边长为，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
思考1：从第一个正方形开始，后面一个正方形的面积和前一个正方形的面积存在怎样的关系?如用数学符号表示你发现的这个关系?
思考2：第(1)小题求10个正方形面积之和，相当于是一个什么数学问题?
思考3：如何理解题中的“如果这个作图过程可以一直继续下去”?并请同学们给出第(2)问的解答.
例2 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．
例3：某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…．
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数；
（3）求的值(精确到1)．
环节四：新知再认识，能力提升
题型一：等比数列的前n项公式的性质应用
角度一——片段和性质
例：设是等比数列的前项和，若，，则= .
角度二——奇偶项的关系
例：已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式训练：
1．（1）在等比数列中，已知，求；
（2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数.
题型二：分组求和法
例：数列满足：，数列的前项和记为，则 ．
变式训练：
已知正项等差数列满足：且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，，求数列的前项和.
环节五：凝练升华，课堂小结
问题：回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
(1)用等比数列前n项和公式解决实际问题时，基本方法是什么?
(2)在探究既不是等差数列又不是等比数列的数列求和问题过程中，蕴含着什么数学思想方法?师生活动学生先独立思考，然后在小组内交流，小组派代表发言，师生共同完善.
环节六：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第40页练习第1、2、3、4题
教科书第41页习题第5、6、7、8题
练习（第40页）
1．某教育网站本月的用户为500人．网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人（精确到1)?
2．一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍．
（1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到1cm)?
（2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400cm?（参考数据，，）
3．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元)?
4．已知数列的前项和为，若，求．
习题4.3
5．已知是等比数列的前项和，，，成等差数列．求证：，，成等差数列．
6．求下列数列的一个通项公式和一个前项和公式：
1，11，111，1111，11111，…．
7．已知数列的首项，且满足．
（1）求证：是等比数列．
（2）求数列的前项和．
8．若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和．