徐州卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份徐州卷-2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共32页。试卷主要包含了考试时间，因式分解等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：140分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣3的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．若一个正多边形的内角和是，则该多边形是（ ）
A．正四边形B．正五边形C．正六边形D．正八边形
6．将抛物线向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
7．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（ ）．
A．这组数据的中位数是B．这组数据的平均数是
C．这组数据的众数是D．这组数据的方差是
8．如图，函数y=3x和y=ax+4的图像相交于点A（m，3），则不等式3x≤ax+4的解集为（ ）
A．x≤1B．x＞3C．x≤3D．x≥1
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．南海是我国固有领海，她的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为3600000平方千米．把数3600000用科学记数法可表示为．
10．因式分解：3x3﹣12x=．
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．
12．若，，则．
13．如图，是的直径，是的弦，若，则．
14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为．

15．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，若反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点，则的值为．

17．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP=_______．
18．如图，正方形ABCD中，，，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）；（2）．
20．（1）化简：；（2）解不等式组．
21．为了解学生体育训练的情况，某市从全市九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级；优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是____________；
（2）扇形图中的度数是____________，并把条形统计图补充完整；
（3）对A，B，C，D四个等级依次赋分为90，75，65，55（单位：分），比如：等级为A的同学体育得分为90分，…，依此类推．该市九年级共有学生21000名，如果全部参加这次体育测试，则测试等级为D的共有__________人；该市九年级学生体育平均成绩为___________分．
22．为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是：
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．
23．如图，菱形的对角线交于点O，点E是菱形外一点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交于点F，当，时，求的长度．
24．随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间．

25．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）
26．按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）

（1）如图1，正方形网格中的圆经过格点A、B，请利用无刻度直尺画出该圆的圆心；
（2）如图2，的顶点A、B在上，点C在内，利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使与相似；
（3）如图3，利用无刻度直尺和圆规，以边上一点O为圆心作，使过点C，且与相切．
27．如图，矩形ABCD中，，．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）．
（1）求AP的取值范围；
（2）连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当时，求AP的长．
28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，连接．

（1）求二次函数的函数表达式；
（2）设二次函数的图象的顶点为，求直线的函数表达式以及的值；
（3）若点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（本题3分）﹣3的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
3．（本题3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法和完全平方公式，根据同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法和完全平方公式运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
4．（本题3分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键．
5．（本题3分）若一个正多边形的内角和是，则该多边形是（ ）
A．正四边形B．正五边形C．正六边形D．正八边形
【答案】C
【分析】本题考查多边形的内角和，设此多边形边数为，根据多边形的内角和公式可得方程，求解即可．解题的关键是掌握多边形内角和定理：（且为整数）．
【详解】解：设此多边形边数为，
依题意，得：，
解得：．
故选：C．
6．（本题3分）将抛物线向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可得出答案．
【详解】向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换,，理解“上加下减，左加右减”是解题关键．
7．（本题3分）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（ ）．
A．这组数据的中位数是B．这组数据的平均数是
C．这组数据的众数是D．这组数据的方差是
【答案】D
【分析】本题考查了中位数，平均数，众数和方差，根据方差公式可得这一组数据为，，，，，再由中位数，平均数，众数和方差的定义逐项即可求解，熟练掌握相关概念是解题的关键．
【详解】根据方差公式可得这一组数据为，，，，，
、这组数据的中位数是，原选项不符合题意；
、这组数据的平均数是，原选项不符合题意；
、由于出现次数最多，则这组数据的众数是，原选项不符合题意；
、∵这组数据的平均数是，
∴，
∴原选项符合题意；
故选：．
8．（本题3分）如图，函数y=3x和y=ax+4的图像相交于点A（m，3），则不等式3x≤ax+4的解集为（ ）
A．x≤1B．x＞3C．x≤3D．x≥1
【答案】A
【分析】根据题意，计算出交点坐标，然后根据图像进行判断即可；
【详解】解：∵点A在y=3x上
∴3=3m
∴m=1，
由图像知，在点A及点A的左侧，y=3x的图像不高于y=ax+4的图像，
∴当时，
故答案为A
【点睛】本题考查了一次函数的图像与不等式的关系，掌握并熟练使用相关知识，精准识图，数形结合是本题的解题关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．（本题3分）南海是我国固有领海，她的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为3600000平方千米．把数3600000用科学记数法可表示为．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
10．（本题3分）因式分解：3x3﹣12x=．
【答案】3x（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2），
故答案为3x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11．（本题3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．
【答案】x≠1．
【分析】根据分母不能为0，可得x−1≠0，即可解答．
【详解】解：根据题意得：x−1≠0，
解得：x≠1．
故答案是：x≠1．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是明确分母不能为0．
12．（本题3分）若，，则．
【答案】15
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为15
【点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．
13．（本题3分）如图，是的直径，是的弦，若，则．
【答案】58
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余．连接，由是的直径可得，又由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
14．（本题3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为．

【答案】2
【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r．
【详解】解：由题意得：母线长l为，，
，
∴，
故答案为：2．
15．（本题3分）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为．
【答案】．
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则DE：AB＝3：4，再证明△DEF∽△BAF，利用相似比得到，然后根据三角形面积公式求△DEF的面积与△DAF的面积之比．
【详解】四边形为平行四边形，
，平行四边形性质，
，
，相似三角形对应边成比例，
，，，
与同高，
，，
故答案为：3:4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，若反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点，则的值为．

【答案】21
【分析】作轴于，，由正方形的性质可得，由等角的余角相等可得，根据“”可证明，可得到，从而可得出点的坐标，即可得到的值．
【详解】解：如图，作轴于，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的特征，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的特征，添加适当的辅助线，是解题的关键．
17．（本题3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP=_______．
【答案】
【分析】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．先根据勾股定理得到AC的长，再根据AQ=AD，得出CP=CQ=2，进而得到BP的长，最后在Rt△ABP中，依据勾股定理即可得到AP的长．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3=BC，
∴AC=5，
又∵AQ=AD=3，AD∥CP，
∴CQ=5﹣3=2，∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ，
∴CP=CQ=2，
∴BP=3﹣2=1，
∴Rt△ABP中，AP===，
故答案为：．
18．（本题3分）如图，正方形ABCD中，，，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为．
【答案】4
【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ=y，BP=x，则CP=12-x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，PQ⊥EP，
∴∠B=∠C=90°，∠EPQ=90°，
∴∠BEP+∠BPE=90°，∠QPC+∠BPE=90°，
∴∠BEP=∠CPQ．
又∵∠B=∠C=90°，
∴△BPE∽△CQP．
∴．
设CQ=y，BP=x，则CP=12-x.
∴，化简得，
整理得，
所以当x=6时，y有最大值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，用二次函数最值表示CQ是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题10分）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，零指数幂和求特殊角三角函数值：
（1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
或
解得．
20．（本题10分）（1）化简：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的混合计算：
（1）先把小括号内的式子通分化简，然后把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
21．（本题7分）为了解学生体育训练的情况，某市从全市九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级；优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是____________；
（2）扇形图中的度数是____________，并把条形统计图补充完整；
（3）对A，B，C，D四个等级依次赋分为90，75，65，55（单位：分），比如：等级为A的同学体育得分为90分，…，依此类推．该市九年级共有学生21000名，如果全部参加这次体育测试，则测试等级为D的共有__________人；该市九年级学生体育平均成绩为___________分．
【答案】（1）400；（2）108°，统计图见解析；（3）2100，75.5
【分析】（1）根据B级的频数和百分比求出学生人数；
（2）求出A级的百分比，360°乘百分比即为∠α的度数，再求出等级为C的人数，进而可补全统计图；
（3）求出四个等级的百分比，求出测试等级为D的总人数，运用加权平均数的求法求出九年级学生体育平均成绩．
【详解】解：（1）160÷40%=400人，
∴本次抽样测试的学生人数是400；
（2）120÷400×360°=108°，
C等级人数为：400-120-160-40=80（人），
补全条形图如图：
（3）40÷400×21000=2100人，90×30%+75×40%+65×20%+55×10%=75.5．
故答案为：2100，75.5．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（本题7分）为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是：
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．
【答案】（1）；（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果．
【详解】（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是；
故答案为；
（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，
∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
故答案为
【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．
23．（本题8分）如图，菱形的对角线交于点O，点E是菱形外一点，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接交于点F，当，时，求的长度．
【答案】（1）见解析
（2）
【分析】（1）根据，，，即可证明；
（2）连接，利用勾股定理得出，进一步证明出四边形是平行四边形，得到，，最后利用勾股定理计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理、含的直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质与判定、菱形的性质、矩形的性质与判定是解题的关键．
24．（本题8分）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间．

【答案】甲路线的行驶时间为．
【分析】设甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶事件为，根据“甲路线的平均速度为乙路线的倍”列分式方程求解即可．
【详解】解：甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶事件为，由题意可得，
，
解得，
经检验是原方程的解，
∴甲路线的行驶时间为，
答：甲路线的行驶时间为．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系列出相应的分式方程．
25．（本题8分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）
【答案】（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）宣传牌CD高约2.7米.
【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.
【详解】解：（1）过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，
∴∠BAH=30°
∴BH=AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5+15.
在Rt△ADE中，
∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15.
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
26．（本题8分）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）

（1）如图1，正方形网格中的圆经过格点A、B，请利用无刻度直尺画出该圆的圆心；
（2）如图2，的顶点A、B在上，点C在内，利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使与相似；
（3）如图3，利用无刻度直尺和圆规，以边上一点O为圆心作，使过点C，且与相切．
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
【分析】（1）根据圆经过格点A、B，且结合网格以及圆的对称性，得出为直径，则的中点，即为所求的圆心；
（2）运用圆周角定理，先连接并延长交圆上于一点D，延长交圆上于一点E，再连接，即为直径，故，则，因为，即，则，所以，即可作答．
（3）作角平分线，因为角平分线上的点到角的两边距离相等，满足过点C，且与相切，即可作答．
【详解】（1）解：该圆的圆心如图所示：

（2）解：如图：先连接并延长交圆上于一点D，延长交圆上于一点E，再连接，

∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
则，
所以，
（3）解：∵利用无刻度直尺和圆规，以边上一点O为圆心作，使过点C，且与相切
∴作的角平分线交于一点，即为圆心
如图：

【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本内容，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
27．（本题9分）如图，矩形ABCD中，，．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）．
（1）求AP的取值范围；
（2）连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当时，求AP的长．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据点P在AD上运动可判断出，点M落在CD上时，AP的长度达到最大．利用翻折的性质和勾股定理求出和长度，再利用，即可推断出最大长度，从而求出取值范围．
（2）利用已知条件和翻折性质推出，从而证明，得出，再根据翻折性质、矩形性质和等腰三角形性质推出，．在中，，即可求出长度．
【详解】（1）解：当M落在CD上时，AP的长度达到最大，如图所示，
四边形ABCD是矩形，
，，，
沿直线翻折，
，，
，．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
AP的取值范围是．
故答案为：．
（2）解：如图，
由折叠性质得：，
，
，
，
，
，
．
设，过M作于H，连接，
由折叠性质得：，，
．
，
．
．
，
．
，
MN为的中位线，则，
在中，，
，
．
．
．
（舍去）．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的综合题，涉及到的知识点有翻折性质、三角形相似、中位线定理和勾股定理．解题的关键在于是否能判断出M落在CD上时，AP的长度达到最大．解题的难点在于是否能正确画出图形，解题的易错点在于是否能排除的其中一个值．
28．（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，连接．

（1）求二次函数的函数表达式；
（2）设二次函数的图象的顶点为，求直线的函数表达式以及的值；
（3）若点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）；
（3）存在，点的坐标为：或或
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的函数表达式为；
（2）由，得，用待定系数法可得直线的函数表达式为：，设与轴交于，过点作于点，求得，，根据，得，及可得；
（3）由待定系数法可得直线解析式为，设，，根据是直角三角形，且，得到与相似，是直角三角形，且两直角边的比为，再分三种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
解得，
二次函数的函数表达式为；
（2）解：，
抛物线顶点；
设直线的函数表达式为，
，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
设与轴交于，过点作于点，如图，
，
在中，令得，
，
在中，令得，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：存在与相似，理由如下：
由得直线解析式为，
设，，
是直角三角形，且，
与相似，是直角三角形，且两直角边的比为，
①点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），不可能是直角；
②若是直角，则或，过作轴于，如图，
，，
，
∴，即，
若，则，
解得：，
∴；
若，则＝2，
解得：（此时不在线段上，舍去）；
③若为直角，则或，过作轴于，过作于，如图，
，
同理可得，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
当时，
，
解得：，
∴；
综上所述，点N的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法，锐角三角函数，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论的思想的应用．